Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Она связана с возгаожностью лннеаризации системы на многообразии Якоби. Особенно отметим интегрируемую на эо(4) систему (описывающую движение тела с полостями, имеющие вихревое жидкос заполнение уравнения Пуанкаре Жуковского), найденную Адлером, ванМсрбскс "177~ и Рсймапом, Семеновым-Тяп-Шанским [310] различными способами. Первые авторы исходили из метода Ковалевской и нашли дополнительный первый интеграл, имеющий сложную алгебраическую структуру н до снх пор не поддающийся упрощению. Вторые-- рассмотрели риманову симметрическу|о пару (Сз, ло(4)), и предъявилн представление в виде 1 — А-пары со спектральным параметром.
Кроме того, как заметил А.В.Волсннов, до работ ]177, 310] рассматриваемый случай был известен в общей конструкции сдвига аргумента (см. ~152]). Однако эквивалентность этих систем так и не была отмечена ~152]. Этот пример показывает также, что первые интегралы пс всегда являются наиболее простыми н естественными тензорными инвариантами системы. Формальные многомерные обобщении случая Ковалевской, связанные с системой двух взаимодействующих волчков на эо(Р) н зо(д), р > д н парой (ло(р,9), ло(Р) Ф «о(д)) получены в работах ]312]. ЗАМБЧАНИВ 3. Изложенным методом можно также получить представление Лекса- -Гайзенберга для волчке л1анакова на эо(п) и случая Клейна ва е(и), отличное от указанного в з 9.
1! К Доилееиие тиердоео тели ио гладкой илоекоети Большинство разобранных в двух последних разделах примеров так или иначе связаны с динамикой твердого тела и используют конструкции лисвых пучков и римапопых симметричных пар. Вопрос о применимости этих конструкций к другим задачам, например, многочастичным системам (гл. 5) остается открытым. Например, для цепочки Толы известно как Ь вЂ” А-представление, так и соответствукзщая бигамильтопопа (даже тригамильтопова) структура, однако связь между ними не является такой же естественной. Возможно, что происхождение бигамильтоновой структуры (и соответствующих ей тензорпых пнвирианток) связано в таких системах с бигамильтоновостью соответствующих бесконечномерных аналогов (типа уравноний Кортсвега — де Фриза). Хор<иле известно, что многочастичные системы могут быть получены из них при помощи дискротизацпи [322).
Соображения такого сорта вышеазаяы в [180, 181). Кроме того, предсталления Лаков Гейзенберга для многих систем (например, для волчка Ковалевской) могут быть получены другими способами и ке связаны непосредственно с групповой и алгебраической техникой. Приведенные в работах [234, 247, 160, 272] представления в виде Ь вЂ” А-пары имеют алгсбро-геометрическое происхождспис и пс наследуют сстсствопной алгобраической (в смысле структуры Ли Пуассона) структуры уравнений двиекения. Значение этих представлений динамики не совсем понятно. На этом пути возникакзт также возможнью обобщении представлений Лаков — Гсйзспбсрга вида 1. = [Ь, [Ь,А)~ или Ь = [Ье А) + В [195. 302, 330;.
Несомненно, что как первоначальная форма 1:: [1,А), так и ее обобщения требуют дополнительного изучения, как и проблема динамического значения семейства тензорных инвариантов системы. 311. Движение твердого тела по гладкой плоскости Рассмотрим еще один, более сложный пример, когда уравнения движения можно записать в виде уравнений Гамильтона на алгебре е(3). Речь идет о движении всюду выпуклого твердого тела (а таклге тслае касаюьцсгося плоскости по время движения одной спосй фиксированной точкой острым концом) по гладкой горизонтальной плоскости (без травил). Нри этом тело скользит по плоскости одной своей точной.
а реакция плоскости ей перпендикулярна. Если предполагать, что такан система находится и осссиммстричпом потенциальном поло Глава й сил. то можно показать (116', что уравнении движении зал исываим сл в каноническом гамильтоновом виде (нанример, взять за канонические координаты углы Эйлера и соответствующие им импульсы). Здесь мы приведем уравнении дик~кенни в квазикоордпнатах: проскцилх кинетического момента М = (Мы Мз, Мз) и единичного орта оси симметрии у = ( ум уз, уз) на оси связанной с телом системы координат. Предполагается, что орт у перпендикулярен горизонтальной плоскости, а потенциал имсст вид г' = г (7).
Функции Лагранжа рассматриваемой системы в переменных Эйлера — Пуассона (ш, у) имеет вид [116): (11.1) лгаг1 .г'(г) ~ Кга(! Г(г) ' (11.2) где через Р(г) = О обозначено уравнение. задающее поверхность. Если тело являстсл всюду выпуклым, то второе соотношение в (11.2) одно- значно разрешимо и позволяет найти г = г(у). Например, длл зллипсо- нда, уравнение которого Г(г) = 2,'шз/р) — 1 = О, можно получить з, т„= — ', у" = )у~раут. (г = (ш,,шз,тз)). Из кинематических соотношений легко показать, что г" = (г, у х ы) = (ы.г х у) = (ы,а)„а = г х у. (11.3) Уравнения движении с лагранжиапом (11.1) имеют вид уравнений Пу- анкаре иа группе 50(1) — — = — Хы+ —, х7, 7=7ХЫ. д дЬ дГ дГ д1 ды ды ду где Г обозначает расстояние от центра масс до горизонтальной плоскости. Б виде (11.1) лаграюкиан задачи мол<но представить в ииерциальной системе координат, для которой центр масс не имеет горизонтального (равномерного и прямолинейного) движения.
Существование такой системы обусловлено сохранением проекции импульса системы на горизонтальную плоскость. Если через г обозначить вектор, связывающий цонтр масс с точкой контакта (в проекциях на свлзанную с телом систему координат), то можно записать очевидные геометрические соотношении: 177 11!. двеженне теердоео гиена оо еендноя иеоеноотн Произведем преобразование Лежандра в квазиимпульсах М = —, = —, [-(1ье, ы) + -ги(ео, а) ) = 1ы + гиа(а ы) (11А) д1 д /1 1 ды ды [.2 ' 2 и.
составляя функцию Гамильтона Н = [ г-,ы — 7[ -«мн (ОТ, [,дгы' (11 ") получим выражение П = 1(1АМ, АМ) -ь — яи(а, АМ)з -ь еид(г, 7), 2 2 (116) А = (1+ гиа З к) Уравнения движения твердого тела имеют вид (1.5) Я1), а скобка Пуассона опрсдслнстся коммутационными соотпошспинми алгебры е(:Ц. Поэтому для интегрирования системы недостает еще одного дополнительного интеграла.
Тривиальным случаом интегрнруемости является аналог случая Лагранжа. При этом 1, = 1з, г = (О, О, е), а само тело имеет осевую симметрию. Если тело является шаром, то гамильтониан (~1.6) совпадаот с гамильтопиапом уравнений Эйлера Пуассона, для которых имсютсн известные случаи интегрируемости. Необходимые условия интегрнруемости, в случае, если тело ограничено трехосным эллппсоидом, были получены в работе [88[. Однако, как показал численный эксперимент, этп условия пе явлнются достаточными и не обеспечивают существования дополнительного интеграла. В работе [122] указана неьоторан аналогии, родственная [78), которая существует между системой (11.6) на нулевом уровне интеграла площадей при 1 = Е и уравнениями движении точки по некоторой поверхности в определенном силовом поле.
Однако, эта аналогия ( в отличие от [78~) связывает две неинтегрируемые задачи и поэтому является малосодсржатсльпой. Интересно было бы исследовать нптсгрирусмость уравнений (1.5) с гамнльтонианом (11.6) в случае отсутствия силового поля к = О. Отметим., что такан простая форма записи уравнений скольжения твердого тела по плоскости уяее невозможна для более сшнкной поверхности (например, сферы). Для плоскости это обстоятельство обусловлопо сохранением проекций импульса системы па горизонтальную 178 Глаеи 9 плоскость и существованием соответствующих нетеровских интегра- лов. Иптсгрируомость уравнений движении скользящего твердого тела по сфере изучена в работе [259). 9 12.
Ограниченные задачи динамики твердого тела и механика Дирака 1. Предельный переход и механика Дирака. В ~) 9 гл. 1 была описана процедура Дирака ограничения гампльтоновой системы на связи в фазовом пространстве. Применимость описанной процедуры в динамике может быть обоснована для систем с предельным переходом, когда лагранжиан становитсн вырожденным по сьоростнм (реализация связей прн помощи малых масс (4].) Рассмотрим голономную спетому с функцией Лаграюка „.дг Ел — — 1'е(Ч Ч.1Е)+ +е1- (Ч,Ч:Я е), (12. 1) где а —.
малый параметр. При е = О получастсн вырождоппан по 1) систома. Следуя ~9 гл. 1 получим связи и гамильтоновы уравнения движения. Первичной свнзыо будет служить Вторичная связь получается из условии совместности (Р.ЕЕо) = -', -'- =О, ВЯ (12. 2) (Р 11):. (Р,ЕЕе) р ': О: (Π— .1 ЕЕ) = (1 Но) — Л = О. где Но(Р,Ч,СЕ) = РЧ вЂ” Ее ~ч „, . Пусть Я = /'(р, Ч) — рсшспис уравнения (12.2). Это дает возмоязпость вторичную связь представить в виде уравнения Ф = ЕŠ— Е'(Ч,р) = О, причем (Р,Ф) = — 1 ~ О. Используем форму уравнений с неопределенным множителем.
Гамильтониан Н является суммой Но+ЛР+1л(сŠ— Е), а коэффициенты Л, д однозначно находятсл нз условий совместности З 18. Оедпничтднио дпдоли Лддддалдддки тоенлоео тела и ме:анника л7ддддакдд 179 Таким образом, Л = (н'Е) д(Е ' Уравнения Гамильтона со связями црнмут вид гОЕЕо р= ОЧ дЕХо Ч= д1д (12 3) Е' = О. где но(р: ч) = на(р; чд бЕ)!гз=т Обосдюваддпость механики Дирака вытекает из следующих рассуждений.
Если функцию Гамильтона полной системы (е ~ 0) обозначить через Н, то Н = Но(Рд Ч) -Ь вЂ” + еЕЕд(Р, Ч, Ед, е). Рз Соответствующие канонические уравнения будут ОНо ОНд Ед = — — — е —, Р дно Он, дЯ д4Е ' дЕЕ ОН д)= — +г— оЕд д"Р (12.4) Решением (12.4) служат формальные ряды Р = Ро(д ) + ерд(1) + ' ' ' Ч = Яо(д) + ед1д (д) + (12.
5) Р = ерд(д) + ''' ° а = Е(РО(д).ЧО(д)) - сЕЕд(д) где Ро(1). до(1) удовлетворяют уравнениям (12.3). Эти ряды не всегда сходлтся. Но в слу даед если для начальных данных выполнено условие дЕЕо~дГ~ О, определяющего вторичную связь, уравнения (12.4) перестают быть сингулярными, ряды будут сходиться, а вместо импульса Р следует взять новую цеременнуид Р/е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
