Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Одна из центральных функций Ф(д) опредоллотся геометрическим соотношением (1.!). Вторая функция Казимира И'з строится с помощью четырехмерного вектора Паули Любанского [8): И/л = — ел ° 55РМ Р Л = 0:1 2 3 — — и~р (1.11) Кхо = (Ь,с5), ЪЪ = — Ч Е ~ |г х г5~ (1.12) при этом И' — = И'лИ" = ~(И'о)'+ (%,%). (1.1:5) Вычислим коммутационные соотношения вектора Паули Любав- ского с образующими алгебры (1.10). Ж,чо) = (И|.50) — О, (ИОЦ) =- еоаиа. (Ив.нл) = 30Ио, (И'о, ц') = (И о, О) = О, (И:о, 1.3) = О, (И'о,|г|) = т11',.
(1.14) где аллар четырехмерный антисимметричный тензор Леви |1ивита. Компоненты вектора (1.11) в данном случае могут быть представлены в виде: 189 Ч 1. Движение иеделятивисгпсиоо частицы ЕИ'я ННи„=о = О и определяют шестимерное пуассоново подмпогообразие. Отметим, что в евклидовом случае соотношение Ирз = 0 задает сингулярный симплектический лист, ранг которого равен шести, так как для е(4) условие И'з = 0 зквивалентно И' = О. Для алгебры Пуанкаре подмногообразие И' = 0 представлнет собой пересечение двух частей (для одной части И'о ) О, а длн другой .
— И'о < 0) особого снмплсктичсского листа — И'з = — Исоз †, Ъчсз = О, размерность которого равна восьми. Несложно проверить, использун (1.7), что векторы 1,л свнзаны соотношением 1 =~ — лхс1. 1 ,о (1.15) следовательно дла частицы в искривленном пространстве справедливы соотношения И'о = 0,1с = О,...,3. Это позволяет представить уравнения динамики частицы на дз(Аз) в виде ограничения фазового потока гамильтоновой системы (1.9) на инвариантное пуассоново подмногообразие 1И = 0 алгебры с(4) (е(3, 1)). Гамильтопиап (! .9) генерирует фазовый поток: дн„1 дИ, дЬ дл — х с1, дН дп днх Т одн д1 хч™ дЧ (тг,Н) = хл~ х1+ д1 дл (1.16) И Н) дн Ч = (Ч Н) = —, х Ч ~ —.с1о. дН дН д1 дл Любопьгтпо замститгч что кривизна пространства входит в функцию Гамильтона (1.9) и функцию Казимира (1.11), но не в уравнения (1.16).
ЗАмеченне 1. Уравнения (1.16) можно полу шть из общих уравнений Пуанкаре — -Четаева на группе 50(4) прн редукции на базу расслоения 50(4) со слоем ЯО(3) (см. з 1 гл. 1). Из (1.14) следует. что уравнения И'о = О, д = О, 1, 2, 3 задают векторное инвариантное соотношение И'о = О, т. е. для любого гамильтопиапа Н 190 Зливчлнив 2. Если ввести гномопические координаты зы зм аз вместо избы- точных Ч". ц, соответствующие двузначному центральному проепировапию сферы (пссвдосфсры) пе касательную плосность к точке сс южного полюса, ко формулам гг (1.17) получим алгебру (1.10) в переменных Ь„гг„;гн (Ь;,Ь,:» = г„;.ЬЮ (Ьбтб) г ЕПГ Ю (,,) = ХсеаЬЮ (1оег) = жзаиы (коих) = =гЛбе — зэзх/Л, (1.18) Алгебра (1.18) принедлежит к квадратичным ащ'ебрам Лкоби (бб, 206).
3. Редуцироваиивге уравнения для оз. Длн случая динамики точки на оз возмгпкна еще одна форма уравнений двилгения, которая связана с существованием вещественного разложения; ео(4) ао(3) Ю ао(3). Псрсмсппыо, соответствующие слагвомым, задаются формулами 2(' ")' ' 2(' (1.19) В таком представлении алгебра с(4) разлагаотся в сумму двух порссскающихся семимерных подалгебр 1(М, Ч). 1()ч, Ч). Важдая из них представлнот собой полупрнмую сумму алгебры вращопий ао(3) и аболспой алгебры трансляций К4 ао(4) с1„)йт: (1.
20) Отметим изоморфизм подалгебры 1(ЛХн Чо, ц) (1.20) и алгебры (2.7) 'з'2 гл. 2 зада ги о движении твердого тела в кватернионном описании (при этом ЛХг — г ЛХЛ Чд -+ Ад). (ЛХ0 Ч') = — -(ецаЧ -г Ч д,,), 2 (Мб ЛХ,,) = — е;„:аМа, (ЛХОЧе) = 1Ч', (М~ )п1) = 0; Яь-, Ч') =, (сцаЧх — Чебц), 2 ( тз, 'тх) = е;;юлю (А, о) 1 (Че.,Че) = 0. З 1. Задача Кеплера Уравнения движения на алгебре 1(М, О) имеют вид: М=мх —,+ —, — и — о —, +гйх —, дН 1 дН е дН 1 дН дМ 2 ~ дно дч) 2 дч' 'о 1) дН( - 1 „дН+1 едН Ч 2 \с1'дМ) ' Ч 2Ч дм+ 2Ч дм' (1.21) Аналогично можно записать уравнения движении на подалгсбре 1(Х, а), учитывая, что на сингулярной орбите Мз = Хз. Для случая пространства Лобачовского аналогичное представление уравнений движения частицы на семимерпой подалгебре невозможно в силу того, что алгебра эо(1,3) не разлагается в прямую сумму алгебр над полем вещественных чисел.
Для решения конкретных задач нообходимо задать вид потенциала (г(О). В следующих параграфах приведены различные типы потенциалов, являющихся аналогами соответствующих потенциалов в евклпдовом пространстве Ез и разобраны обобщения задач классической небесной механики. ЗАнечлние 3.
Указанное разложение позволяет установить аналогию между задачей о движении частицы в 5 и задачей о движении сферического волчка вокруг неподвижной точки (З О, гл. 2). Для этого выразим гамнльтоннан (1.9) (для Я~) через М по формуле к . 'В = 4М', которая справедлива только на симплектическом листе И'~ = О: Н = 2М Е 17(а). 22. Задача Кеплера. Алгебра интегралов, регуляризация, переменные действие-угол. Задача о движения маториальпой точки в пространстве постоянной кривизны впервые изучалась И. И. Лобачевским. который с помощью гоомстричсских соображопий обобщил закон всомирпого тяготения (точнее, получил аналог силы ньютоновского притяжения) для про- Аналогия между движением сферического волчка и точки не трехмерной сфере другими способами была установлена в работах (17.
81), В (811 с помощью этой аналогии отмечен интегрируемый потенциал четвертой степени на Ь', порождаемый одной интегрируемой задачей в динамике твердого тела (см, з 10 гл. 2). улова й странства постоянной отрицательной кривизны (пространства Лобечевского). Интегрируемость задачи Кеплера на трехмерной сфере Я~, которую А. Эйнштейн предлагал использоввть в качестве модели реального пространства, была указана Э. Шрсдипгсром [167].
Оп такжо провсл сс предварительное исследование, необходимое для целей последующего квантования. Ипторссно привести его соображопия по этому поводу: «Может показотьсп безрассудным принял«ать во внимание ничптжную кривизну Вселенной, имея дело с атомом водорода, потому что влияние даже таких знпчнтельно более с льных гравнтаиионных нолей, при но гичии ко~иорых в дейспьвительности происходят все ниши наб гюдения, пренебрезк мо мало. Но эта задача, вследствие, возможности стирания в ве рамках резкой границы между «эллиптичегкилт и гиперболи чески.ни орбитамиь (классические орбиты здесь все зал«кнуты) и прейс«павлония непрерывного спектра посрвдспьвом густо заполненного линейчатого спетпра.
имеет весьма интересные черты, кон«орые оказгявоютсв зоесь едоо ли более г тлснымп, чем в плоском случае«. Со своой стороны заметим, что нзучоние динамики в искривленном пространстве ва«кно хотя бы потому, что позволяет глубл«е понять динамику в обы ~нем плоском пространстве, уравнения движения в котором обладак>т дополнительной замечательной симметрией — они инвариантны относительно группы преобразований Галилея.
Обобщение законов Кеплера для Яз и з з приведено в работах Н. А. Черникова [221] (для 7.з) и В. В. Козлова [90] [для Яз и з,з). Аналог уравнения Кеплера для движения в Нз несколько ранее был получен в работе П. Хиггса [200] с использованием гномоннческой проекции. В работах [90,,'518] аналог ньютоновского и гуковского потенциалов получены из теоремы Бертрана для Яз и указана аналогия с движением шарового волчка. В работа [270] доказана иптсгрируомость движопия част~лцы на двумерной сфере яз в поле двух неподвижных гравитирующих пькэтоповских центров (задача Эйлера). Свободное дпнжспис дпуморпого твердого теле па плоскости Лобачевского изучалось И.Е.
Жуковским [62]. Он показал, что уже в этой простой ситуации не справедлива теорема Бернулли. согласно которой в плоском пространстве движение центра масс твердого тола отделяется от вращения вокруг центра масс. Отсутствие понятии центра масс в искривленном пространство приводит, вообще говоря, к различному поведению классических задвч и их аналогов в искривленном пространство. 193 я уб Задача Кеплера 1. Алгебра интегралов задачи Кеплера. Остаповкмся балас подробно на задаче Ееплера на трехмерной сфере и в пространстве Лобачевского.
В случао плоской задачи Коллора (в ьчз) хорошо известна природа ньютоновского (кулоноаского) вырождения, обусловленная повышенной (так называемой «скрытой») симметрией задачи Кеплера. Еак было показано Баргманом, известные интегралы движения — момент М и вектор Лапласа Рунге Ленца А образуют в этом пространства алгебру о(1) для отрицатольпых энергий и о(3, 1) длн положительных энергий [137]. Уравнения задачи Ееплера на единичной трехмерной сфере 5з (пространстве Лобачевского) ма»яно записать в виде системы (1.16) с гамильтонианом (для Яз и Хз) (1.9): Н= 1(1.' ~лез) -,1:, Ъ' = ус18д = у~~, (Ъ' = ус1ЬК), (2.1) где мы полагаем, что притягивающий центр помещен в один из полюсов сферы. а «угол» д может быть найден из параметризации обычными сферическими (псевдосферическими) координатами.
щ = Вя1пдяша»яш»9 »уз = Вьшдяш~рсояЧУ, — 93) цз = В я»п О сая ~а, де — — В соя 6. (2.2) аг = ВяЬРкшч»яшф., «уз = ВяЬОяшусояш, ( 73) дз = В яЬ д соя ч». йо = В сЬ О. В дальнейшем. для простоты мы ограничимся рассмотрением Бз, все результаты будут также справедливы длн уз при учате смены знаков и замене тригонометрических функций аа гиперболические. Физическое обоснование задания ньютоновского потенциала в виде (2.1), а гуковского в виде 1г 718»д содержится в работах 90, 270, 318).
Эти аналоги могут быть получены из обобщения теоремы Бертрана для пространств постоянной кривизны — только для указапаых потенциалов все траектории частицы замкнуты. Ньютоновский (кулоиовский) потенциал является также решением уравнеиил Глава В Лапласа — Бельтрами для искривленного пространства з1я О')р + —,— () длит. 152 1,. ашз Ва1н 1в г255 +, — 0 для Х, 712 1 з11'д з1н' у 751' которое инвариантно относительно группы ЯО(3) (нс зевисит от углов 5в, ф) н имеет особенность в полюсе В = И. (Для сферы Яз, вследствие компактности, особенность возникает такжо в противоположном полюсе д = я). Эти особенности можно рассматривать как обобщение нонятия точечной массы (заряда) в пространстве постоянной кривизны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
