Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Несложно проверить, что в силу инвариантности гамильтониана относительно вращений вокруг фиксированной оси в 2~, нроходяшей через полюса (преобразований группы ЯО(3)), уравнения движения имеют векторный интеграл момента 1 .- сопэ1, (1.7) компоненты которого образуют алгебру во(3): (Хь Х ) = в; вал. Аналог вектора Лапласа — Рунге — Ленца, обусловленный скрытой симметрией, длн этих уравнений был найден в '551; (2.3) Коммутационные соотношения между Ь и А имеют вид (2.4) Эти коммутационные соотношения задают нелинейную (бесконечномсрную) алгебру Ли (яо терминологии [55) алгебру Лкоби). Ес ранг З 2. Задача ааааара равен четырем и она обладает двумн центральными функциями гз .. (1,А), Г. = А'+ (Ьз+1)(Бз+1+2Н) — чз+1. В действительном движении выполняется 1р1 = О. Ез = О. Для плоского пространства нелинейный член в (2.4) исчезает, и па уровне Н Е получается алгебра Ли, изоморфная о(4) для Н < О или о(3, 1) для Е > О.
Если рассматриваются уравнения, получающиеся при ограничении системы на сингулярную орбиту, то в формулах (2.4) надо предполагать компоненты Х . А, выраженными через М, д по формулам (2.10) з 2 гл. 2. 2. Регуляризация. В плоском случае (на ьх~) известна регуляризация Болина (называемая также регуляризацией Леви .. Чивита) задачи Кеплера, приводнщап систему (2.1) на уровне энергии при замене времени к уравнениям гармонического осциллятора.
Для случая сферы Яз, ипвариаптпыми поворхпостями па которой в случае задачи Кеплера являются двумерные сферы. аналогичная регуляризация не приводит к такому наглядному результату. Рассмотрим гномоническую проекцшо из центра сферы на плоскость Жз. При этой проекции балычке дуги на сфере переводптся в отрезки прямых на плоскости. Однако, кроме точек на главном меридиане (при проецировании уходящими в бесконечность), прообразом каждой точки па Вз будут две точки на оз, Формулы, задающие зту проокцию, могут быть записаны в видо ац =+------ — '------ —, 1 = 1,2. 1-(чЕЛг где Ч двумерный вектор. Гамильтониан (2.1) в переменных х = (т,, аз) и соответствующих нм канонических импульсах у = (дыра) может быть продставлен в вндс '(1 т лг )(у А(у х) ) (2.О) где Л = 1/Н вЂ” — кривизна сферы, гз = з~ + х~~.
Глава 3 Произведем (следуя Бадину) в (2.6) каноническое преобразование (у,х) + (и,з): 1 2 г =-( — ) 2 п>121 — п>ггг 91 = 2+ 2 1 2 (2.7) ьвгг> — и>122 1/2 = г+ г -г зг = 2>гг при котором 2,,2 п>1+и>2 2,2 ! 2 г г 91+92 ) ~1+ >2 (21+22) 22+ 2 1 2 (у,х) = —,,(зв,к). Гамильтониан (2.6) при таком преобразовании примет вид Н = -(1+ ма ) (и> + м(ъв,я) а"~ + Ьа . 2 (2.9) При этом >амильтопиан гармонического осциллятора на Я~ (его потен- циал г — Й Фц~ 6) имеет форму Н 1(1+ 2) ~ 2+ ( )21+~ 2 2 (2.10) При Л = о = О, переход от (2.8) к (2.10) соответствует регуляризую>нему преобразованию Болина н связываот задачу Кеплера с гармоническим осциллятором. Прн Л ф 0 потопциал (2.9) пе совпадаот с (2.10), но имеет осцилляторный тип с тем отличием, что кривизна в (2.9) в отличие от (2.10) изменяется по закону >г(2~ + ъг).
Аналогичным оГ>разом не могут быть так просто интерпретированы для искривленного пространства регуляризацин Мозера [4> 137) здесь и = Л>>4. После замены вРемени >11/дт = г = (22 + ггг) на УРовне энергии Н = Ь гамильтониан регуляризованпой системы может быть представлен в виде 197 З и. Задача Келлера и Ь Я-преобразование [168) (см. Ч 4).
После перехода к декартовым координатам при помощи гномонической проекции и замене времени на уровне энергии, регуляризация уравнений задачи Кеплера будет достигнута, однако, с помощью этих преобразований мы пс получим геодезический поток на сфере '137] или четырехмерный осциллятор (168). Возможно, что этот способ не нвляется самым удачным дтн регуляризации. но к сожалению, эта н другие постановки задачи совсем пе изучены. 3.
Бифуркациониая диаграмма задачи Кеплера. Рассмотрим систему (2.1) па ипвариаптпой поверхности, опрсдолясмой векторным интегралом Ь = гопзь (1.7). Длн Бз зта поверхность совпадает с двумерной сферой Вз, а для 1з с плоскостью Лобачевского Аз. В стандартных сферических (псевдосферических) координатах после редукции Рауса задача Кеплера приводится к системе с одной степенью свободы 2 2Яз 1 зйэ а) тг (2.11) яа 1~, оа — ( — ~ — ) — —, =Е. 2па .з Лэ г '- (2.12) Следовательно, построение бифуркационных диаграмм (см. рис.
6) сво- дится ь исслсдовапшо квадратного уравнения оа Ь +тг — — = О. д Ф 2нэ (2.18) где о, = р„= 17з5аэщ~0 (ое = р„= Лз55лй~д) квадрат вектора момента 1.з = сопзФ. Исследуем топологические перестройки областей возможного движении (ОВД) в зависимости от постонаной эноргнп 11 = г1 и момента оь . Произведем в (2.11) замену г = Втй а (г = ЛСЬа), тогда ОВД при фиксированных Ь и о определяются неравенством Глава 3 Рнс. 5 о где 6 = Е+ ---. Бифуркационное множество (то есть множество зна- 2Лз чений (К, о, ) при которых области возможного движения меняют свой топологнческий тип) состоит из кривых а 2из Если оба корня т1 и тз уравнения (2.13) — комплексные (область 1 на рис.
5), то движение невозмозкно. Если оба корни — вещественные и положительные (П), то допустимые значения т определяютсн неравенствами т, < т ( тз. Это соответствует движению в кольце Ол ( О < Оз, пРичем длЯ Яз О < дз,дз < Е. Если меньший из коРней., (лл) —. от- 2' рнцателеп (П1), то для реальных движений на плоскости Лобачевского тз < т, а па сфоро тз < т, л < тм поскольку значениям О от — до х соответствует отрицательные т. Это означает, что на 1 ~ движение происходит во внепшости круга О = Оз, а на Яз — в кольцо Ол ( 0 < Ом но теперьО<Ол < ~, т (Од <я. 2' 2 4. Переменные действие — угол и аналог элементов Делоне.
Запишем гамнльтоннан системы (2.1) в сферических коордпнетах (2.2) , 2 Н = а ра + з р„+ ' — — сад О. (2.14) Переменные разделяются по Лиувиллю, причем выполннются соотношения о 2 3, е :=р н =р а'ш ~р (2.15) 199 1 е. Задача Кеплера где жй имеет смысл пРоекции момента Ь на ось г1ы отк — квадРат момента Тг, Е постоянная энергии. (Для плоскости Лобачевского все тригонометрические фупкпии от О нужно заменить па гиперболические). Переменные действия вводятся по формулам (2) 1О = — у> уьг,гЦ; 1 = — ур. 4г: 1в = — у рвдЯ: (216) 2лд ' ' '"' 2т1' Я ' ' 2лд (2.17) 1, =гг, — 1й.
Для вычислении третьего интеграла (2.16) произведем замену т = = В 18 О (т = Впй О) и воспользуемся уравнением орбиты т(и) (4] т= Р 1-г есоагр (2.18) 2ог параметр орбиты., г = 1 т,кй . -- эксцсптриситст. 7 о г гдор = 7 Находим Г-2ь г ч7" — ' Ж вЂ” Е 1, — — ~' г1,, Я / „(11 „г)лг) (2.19) где гг = , тг = Р Р 1+с 1 — е где интегрирование ведется по полному циклу изменения координат. Так как рй = сонат, то длн первого из интегралов (2.16) получаем 1в = р,г, = гге.
Кинетическая энергия в сферических координатах па,Оз нмсст вид Т = —,(РвО+ Р„~Р+ Реги), а в кооРдинатах на сфеРе огг в котоРой лежит 2 орбита, Т = — (рвО ' о и), где и — истинная аномалия, то есть азиму- 1 2 тальный угол на ипвариантной поверхности о~. Приравнивая эти два выражения, получаом р г1ев = отгйа — 1ег1гв. Координаты и и ф за один оборот по орбите изменяются па 2;г, поэтому после интегрирования по- лучим Глава 3 Интегрируя, получаем (6 находится из (2.13)): для оз г1~/гг + Л + гг~/гг + Л 1в .- и — 26 ,/гггг для 1з (2. 20) УчитываЯ (2.17) и соотношенил гг + гг = — —, г7гг = — — ~, найДем ДлЯ '7 6' 26' гамильтониан»: Н вЂ” 7 (в Ф) (' 21) 2(1в + 1 + 1е)г 2Лг 1в 1а С=1е Ь1В Н=1а (2.
22) 1= и)в, А" = ша — ваа, 6 = ша — ва,. В новых переменных гамильтоннан запишется в виде г Н= — 7 21г 2Лг (2.23) из (2.23) и (2.22) получаем 1= — ю~ ~- /е'7~' Й ь7а' ' Как н в случае пространства йз, гамильтониан зависит только от ЛН суммы 1в + 1, + 1а, то ость частоты ~, =,, 1 = О,у,ф, соответствующие переменным 1в, 1„, 1, совпадают. Это случай полного вырождения все трехмерные торы Лиувиллн Арнольда расслоены на одномерные. Введем переменные 1„С, Н, (, е, 6, аналогичные переменным Делона в классической небесной механике (36), по формулам: 202 7эааа э' (3.1) 77 = 7~ с$в О~ + 7з сто дг, здесь д; угол между радиус-вектором частицы и радиус-вектором 1-того центра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
