Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 38
Текст из файла (страница 38)
(Комплексный вид уравнений в пространстве Лобачевского связан с невозможностью вещественного разложения ло(3. 1)). Отметим также, что уравнения с гамнльтопиапом (5.6) могут быть получены при рассмотрении задачи о взаимодействии двух шаровых волчков. Такал задача рассматривалась в (17). в которой приведен пример интегрируемой системы, потенциал которой однако це может быть представлен как функция взаимного расстояния можду тсламн. В этих переменных, как несложно заключить из рассуждений. приведенных ранее для одной материазьвой точки, уравнения движения можно записать как уравнения Гамильтона па прямой сумме алгсбр е(3) Ж е(3) (с(3, 1) ч с(3,1)) с гамильтонианом 215 1 Э.
Задача двух ишл в искривленном пространстве 11есложно обобщить предыдущие рассуждения на случай произвольного числа точек (или взаимодействующих волчков) и написать уравнения на прямой сумме алгебр е(4) (е(3, 1)). Так как функция Гамильтона (5.3) инвариантна относительно группы движений Яз(Ьз)., которая совпадает с ЯО(1)(ЯО(3,1)), суммарный кинетический момент двух тел сохраняется (5. 7) чг = чгз + чгз = сопз1, Ь = Ьз + 1з = сопа1. гпиун — о АаОЧи~ НО дуи (5.8) Эти интегралы ие пнволютивны, однако, всегда имеетси четыре независимых ипволютивпых интеграла (например, кз,зг; Аз,1з).
Для рассматриваемой задачи, обладеющей шестью степеннми свободы., для полной интегрируемостн не хватает еше одного дополнительного интеграла. В общем случае этого интеграла ве существует, хоти это строго н не доказано. 2. Инварнантные многообразия. Непосредственное изучение пространственной задачи двух тел довольно сложно, поэтому естественным является (аналогично плоскому случаю) нахождение инварнантных подмногообразнй системы и изучение динамики на ннх. Исследование системы на инварпантном многообразии (например, ее неинтегрируемость и стохастичность на нем) позволяет сделать соответствующие выводы дла всего фазового пространства (хотя бы на физическом уровне строгости).
Если в задаче п тел на 11з пнвариантными многообразиями явзяютсп плоскости,то длп задачи о, тел в искривленном пространстве многообразия являются сферами Яз (псовдосферами з з). Действительно, справедливо Предложение 1. Если потенциальная энергия системы взаимодействующих материальных точек в яз(ьз) завнснт лишь от взанмного расстояния .нехсду точками, то длп нее существуют ннварнантные лчногообразня, являющнеся сферами эз (псевдосферамн йз).
17рн этом через каждую точку пространства Я~(5~) проходит трехпараметрическос семейство этих многообразий. Дадим набросок доказательства этого утверждения. Действительно, запишем уравнение движении а-той точки в избыточных координа- тах 216 Глава 3 где С = «1шб(1,1,1,1) или С = «Пай(1.— 1.— 1,— 1) в зависимости от метрики объемлющего пространства, Л, - - неопределенный множитель Лагранжа. Зафиксируем некоторый четырехмерный вектор С в П«(М ) и зададим многообразие Х в пространстве координат и скоростей в ондс (для л,з вектор 5 должен лежать впс конуса дог — цг = 0).
Непосредственным дифференцированием соотношений, задающих Х вдоль траекторий системы (5.8) проверяется„что Х является инвариантным многообразнем. При этом траокторнн системы лея«ат в гиперплоскости (С,д) = О, КОтараН Псрсевнастея С 52(Е~) ПО ПОдМНОГООбраЗИЮ Яг(Е~). (5.9) 1 сМ,~ Дг — Лгсчг. П»2 Ч Оставляя потенциальную эпсрг»по У конечной и парохода к пределу тг †> оо. получаем уравнения движенил в видо «12 = — ЛгСвг, Ъ =,— — Л»СЯг. до' дтг (5.10) Очевидно также, что по все траектории первоначальной системы на Яз(л 2) принадлежат найденным инвариантным многообразилм. Для этого достаточно рассмотреть движение по геодезическим С = 0 на Яз(1,2).
траектории которых будут «скрещиватьсл». авалогично прямым в случае плоского пространства 2«2. 3. Ограниченная задача двух тел. В евклидовом пространстве йз существует предельный переход в задаче двух тел, при котором масса одного из тел стремится к бесконечности, а энергил взаимодействия остается конечной. Прн этом предельной задачей является задача Кеплера, так как существует инерциальная система отсчета, связаннан с «массивной» частнцой. Рассмотрим аналою«шый предельный переход на Я~(1,2). Лагранжевы уравнения движения двух тел можно записать в виде (5.8) 217 5 51 Задача доро твл о иввровлвнновч пространстве Из уравнений (5.1В) следует, что перная частица движетсн свободно (по геодезической), а вторая частица движетсн в поло первой.
Если перейти в систему отсчета, связанную с первой частицей, то получается задача о материальной точке, двивкущейся под действием неподвизкного центра н гироскопических сил. Функция Лагранжа для такой системы имеет вид : 2Л ы~оцо'1" 2Л ыо й ы~ "Ь г(с1)~ 1.г, 1ч,, 1ч о.» Х = — с1~ + (с1, ы х с1) + — (со х с1) — Н(с1). (5.12) где со постоянный вектор угловой скорости системы отсчета, связанной с первой частицей, Переходя к гамильтонову формализму с учетом связи с1~ = 1 получим функцию Гамильтова Н = — (р — (р,с1) ) + (р х с1,со) + 17(с1), (5 УВ) Введем новые переменные (М, 7) при помоп1и отобравкения 7'*Вз -ч -ч е(3), задаваемого формулами М = с1 х р, 7 = с1 (см.
Б 6,7 гл. 2). Таким образом двумерную ограниченную задачу двух тел хчолсно представить в виде гамильтоновой системы на алгебре в(3) (уравнения Кирхгофа., см. З! гл. 2) с гамильтоннаном Н = — Мз + (М, со) —, Н( 7). (5.14) где ы = )(ычв)! — матрица угловой скорости системы отсчета (см.
Х 7). В данном случае ы Е ЯО(4) длн Яз и ы Е ЯО(3, 1) длн Х~. 4. Ограниченная задача двух тел на Яз. Паличис ипвариаптных многообразий в общей задаче двух тел позволяет также рассматривать ограпичсппусо постановку задачи па пих. Рассмотрим белое подробно компактный случай двумерную сферу. В ограниченной задаче ка Яз «массивная» частица движется по некоторому лсерссдиану (движение азегкойо частицы не снсазывает на нее влияния).
В системе отсчета. в которой она неподвижна (и находитси в саперном полюсе) фупкцня Лагранжа елогкойо частицы имеет вид 1лааа 3 Траектории, соответствующие реальным движениям, находятся на снмплектическом листе, задаваемом соотношениями (М, г) = О. (у~) 1 Для анализа снстслаы (5.14) па нптсгрирусмость мало пригодны известнью до настоящего времени аналитические методы [ОЦ. Поэтому воспользуемся чнсленнымн методами, основанными на исследовании отображевия Пуанкаре. На четырехмерном спмплектнческом листе исследуемой системы можно ввести систему канонических переменных, Одной из таких систом являются углы дйлора и сопряагоппые нм канонические импульсы. Другой системой канонических переменных являются переменные Андуайе Депри (Х, С,1,д), применяемые в динамике твердого тела (ч 8., гл.
2). Наиболее естественными кандидатами на интегрируемость являются случаи ньютоновского (Еу = усг80) и гуковского (Е/ = утйзр) потенциалов. В случае ы = О этн системы вырождены и имеют «слишком» много интегралов. ш .„'ф~~: .. 'вея' " ~ ~0,".~" Ряс. 6 Как показывают численные расчеты, проведенные для регуляризовапных уравнений движения, оба этих потенциала при ы ~ О не приводят к интегрируемой системс (см.
рнс. 6). Для гамильтоновой системы (5.14) остается открытым вопрос о существовании интегрируемых потенциалов, зависящих от расстояния до полюса. Пока ни одного такого потенциала не найдено. Неинтегрнруемость ограниченной задачи приводит, вообще говоря, к отсутствию общей ннтегрируемостп неограниченных постановок задачи двух тел на Н~(Хз) илн Яз(Ьз). Постановка задачи о существовании интегрнру- 219 1 й. Задача дарг тел а игкрггаггеккам просгпранстэе емых лотеициалов, зависящих от расстояиия в системе двух тел, иа двумерной сфере Яз прииадлелчит Е. И. Куч утону.
Система с гамильтоииааом (5.13) имеет четыре степени свободы и для ее иитегрируемости ис хватает еще трех независимых ииволютивпых интегралов. В силу силчмстрии относительно ловоротоо систомы вокруг произвольной оси., лроходящей через центр сферы, сохраииется вектор суммариого кинетического лчомеита частиц (б 13) М = Рг х Чг — Рз х Чг. Однако компоненты вектора ие находятся в ииволюции (ЛХг, и.) = = гггьлХгп Из пих можио построить лишь два ииволютивиых независимых иггтеграла (иаиример ЛХ~., Мз). Еще одного дополнительного ив геграла в задаче 11угушсва до сих лор пс найдено ли ври одной зависимости лотеициала Хг от расстояния (возможио, что ои всегда отсутствует).
Существует, однако., простейший случай частной иитегрируемостиг лри котором ЛХг = 0 (1 = 1г 2. 3), и компоненты момента находятся в ииволюции (см. п. 6). 5. Частные решения задачи двух тел на Яз н 1,з. Рассмотрим семейство частиых решений задачи и тел иа оз(йз)г которые являются аналогами относительных равиовесий в задаче и тел иа плоскости [4). Зафиксируем некоторую ось г в Пз(Мз) так, что уравнения сферы и лсевдосферы будут соответственно гз+яз+уз - Я~г гз — дз — кз . ХХ~, и рассмотрим фиксировашгую конфигурацию п-тел, которал равномерно вращается вокруг оси г. Предложение 2. Раеколгерко ерагцающаяся ггонуггггурацггл п, тел (полазггегчие относительного равновесии системы) лелаетсп часткым решением тогда и толька тогг)щ когда опа яелнетсл кршпической точкой приеедеикого (эдгдгеитггакого) потенциала Мз ~-П где М вЂ” ееличпки момента сггг: гемы атиасигггельно осп гг 1 — сумлгаркьсй мамеклс инерции систелчы отпосипгелько оси г.
Даказагпельсгпаа. Перейдем в систему, равномерно вращающунзся с угловой скорос- 220 1лава 3 тью ы вокруг оси ж Функция Лагранжа в ней имеот вид + э1п 0,у10) + ы ~~ т;у, гйп д; — С~~П для Я~, г=1 и + э1~3 0;Аз) + Е т,А 852 О, — ЕГ„П для Е,з, (5.16) Здесь 1 соответствует номеру частицы. Уравнения движения имеют вид т„.д; " — т,; в1п 2дк5" -' щт, э1п 20;ф,— (5.17) (э1п д;у; + щгп;, щп 0;) 3... 2 05~П 0~о~ Отсюда слодуот, что условие отпоситолького равновесия д;=0;=А=Д=6 эквивалентно условию экстремума для Й70П Для плоскости анализ относительных равновесий задачи трех тел был проведен Эйлером и Лагранжем, которые обнаружили коллинеарные и треугольные центральные конфигурации (4). В искривленном пространстве также существуют аналогичные конфигурации, которые.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
