Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 41
Текст из файла (страница 41)
18. Критическое значение п«может быггч в зависимости от отношения масс, как мсш,шс так н больше чем аь, что видно из рнс. 19. Кривые а«()вз/гп») и а*(«из/«иг) на этом рисунке ограничивают области равного количества точек либрацин. В областях П, 1У существует 4 точки либрацин. а в областях 1, 1П 2 и 6 соответственно. З 7. Осраниченнан задачи трех тел в искривленное нростринстее 265 3 у'2 0 яу2 ', л/2 0' а 3 згс'4 -зт'2 Ь) Неколлинеарные точки либрации. сч < зг/2.
Псколлипоарпыс точки либрации определякзтся системой уравнений: к сов 0; из Л сов 0 = 7 з кач вш о; 3 в(п дс в1п ен з сов счз в1п 01 — сов оз в(зс дз совд -= вша (7.6) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 тп, ст, где о; — угловое расстояние между легкой частицей и 1-ым телом. При тпз = зпз система (7.6) имеет решеРис. 19 ние, для которого аз = аз, однако в отличие от плоского случая еи р:о расстоянию между центрами, и при чпз р': пзз соотношение ох =- из не выполняется (т.
е. точки лежат па разных расстояниях от центров). Правая часть первого уравнения системы (7.6) всегда больше нуля. Отсюда следует, что все лагранжевы точки всегда лежат в верхней полуплоскости. Кроме того, в силу симметрии задачи каждой точке 1 соответствует парная точка А' симметрячная ей относительно плоскости, 236 1'лава Я в которой лежат массивные тела и ось вращении. Поэтому ограничимся рассмотрением лишь одной полусферы у Е [О, я[. 2 АЗ я!3 хйб 0 л'3 гп„/гц=0.6 Рнс, 20 Па рис.
20 изображены кривые на развертке сферы, по которым движутся точки лпбрации при увеличении гг. Точками с одинаковыми цифрами показаны положения, соответствующне одинаковым значениям а. При малых значенпнх о существует одна точка либрации близкая к северному полосу. Затем при увеличении о в точкс 2 рождастсн две точки либрации, одна из которых сразу уходит на главный меридиан и сливается с эйлеровской точкой либрации, меняя при этом ес характер с седла функции 1! на минимум. При некотором критическом значении отношении масс точка 2 пропадает, и лагранжева точка либрацпи рогкдается прямо из эйлеровской. После этого две оставшиеся лагранжевы точки либрации движутся по кривой 1 и при некотором критическом значении а = а' сливаются и исчезают.
На рис. 21 показаны области равных количеств точек либрации. В области 1У лагранжевых точек либрации нет, а в областях 1, 11 н 1П 1, 3 и 2 точки соответственно. а > и/2. Значениям о > я/2 на рис, 20 отвечает криван П. При некотором критичоскком значении а в системе рождается пара лагранжевых точек либрапшл. Одна из которых при увеличении а стремится к глав- 'з 7. Ограни генная эадачп трех тел е искривленном пространстве 237 1 0.8 0.6 тп,гггн, 0.4 0.2 0 а Рис.
21 неллу меридиану и сливается с центральной эйлеровской точкой . При дальнейшем увсличспии о оставшаяся точка либрацин двигается к зкватору. Таким образом в области у" (рис. 21) точек либрации нот, а в областях 1г1 и чг11 . две и одна соответственно. 3.
Точки либрации на плоскости Лобачевского. Для плоскости Лобачевского Ез в уравнениях (7.6) и (7.6) следует заменить тригонометрические функции гиперболическими, Анализ полученых таким образом уравнений показывает, что при всех значениях параметров существует 3 зйлеровские и 2 лагранжевы точки либрации, которые при Х вЂ” 1 оо переходят в классические точки либрацин.
Паличие кривизны пространства в данном случае приводит лишь к смещению положений точек либрации относительно их пололгения на плоскости, Качественное же измонение картины в случае яз является результатом сочетания компактности пространства и его кривизны. 4. Лагранжевы точки либрации в случае равных масс, Рассмотрим отдельно случай. когда массы «тяжелыхв частиц равны. При етом, в силу дополнительной симметрии, анализ поведения точек либрации можно провести аналитически.
Случай Яз. Положив в (7.6) ют = тг и как следствие (бт = ~рт~ получим, что от = оз = схе. Таким образом, система (7.6) сводится к уравнению от одной переменной еойаа гбп аа = С. з (7.7) где С = ьчп о сове ~, -- константа, зависящая от гх.
Функция в левой 2' Иыте мы рассматривалн одну полусферу„поатолгу следует учитывать, что на самом деле происходит слилние не двух, а трех точек — двух лагрвнагевых и одной вйлгровсиой. части уравнения (77) имеет максимум при ао:.: т~й со значением йьЛ С' = —. Таким образом существует три возможности: 16 ' 1. С(а) > С* — лагранжевы точки отсутствуют: 2. С(а) = С" - . одна лагранжева точка; 3. С(а) < С' дво лаграпжспы точки (как и вьппс рассматриваем одну полусферу), Очевидно, при достаточно малых а выполнено третье условие, и существует две точки Лаграюка. Устремллллл в уравнении (7.7) а -л 0 (ть'-+ оо), для двух его решений получим ао, — л а; ае, — л лллл2 лл'2 а,' а, Рнс.
22 Таким образом, одна точка в пределе становится классической точкой Лагранжа, а вторая при этом стремптсн к экватору. На рис. 22 показана зависимость положения точек либрации от а. Прлл увеличении а от пулл до лл'" две лагранжевы точки сближаются и в конце концов сливаются. Решая уравнение (7.8) зш асов — =С 2 5 7. Огрининепнип гпдпчп трех тел е иснриеленпол прострпнстее 229 получим два критических значения а' и а*. При а = а' = 0.81487... сов ае точки либрации сливаются и исчсза|от в точко (й" = атосов( ', ) = ~ сова~(2) = 0.9949 57', ~р' = а), а при а = аз = 1.8457... в точка 2'' (О" = атосов( ',' ) = 0.5945 24',со** = —,') рождается новая пара точек либрации. Как видно на рис.
22 в промежутке а с (а*,а') лаграижевых точек либрации нет. При увеличении а после рождения пары точек при а = а' одна из точек уходит на северный полюс и при а = аз — — атосов( — — 1) = 1.8680... сливается с эйлеровской точ- — з— кой либрации. Заметим, что уравнение (7.7) при этом имсст два корин, однако для одного корня не выполнено условие существования точки (а„аг) на сфере: )ал — сг! < аг < (атосов(сов(аз + а))(.
При дальнейшем увеличении а до я оставшалсл точка либрации стремится к экватору. а — ан 41п2 1 0 2 4 о Рис, 23 Случай Хз. для пространства Ьп в случае равенства масс аналог систсмгл (7.6) сводится к уравнению аналогичному (7.7) сйаов1л ао = С', (7.9) где С = пй~ а сЬз а, — константа, завислщан от а. Однако в отличие от 2' сферического случая уравпопис (7.9) имсст при любых а лишь один корень, причем это решение ае(а) всегда меньше а.
При малых а ае -г а, 240 Глава 3 а при больших оа — ь о — — 1п 2. На рпс. 23 показана зависимость (н — оа) 1 4 от сь 5. Малое отклонение от случая равных масс. Проследим асимптотическое поведение точек либрацин при примерно равных массах. То есть полагаем яьь — — т, тг —— т+ бььь. Случай 5~. Моькно показать, что при указанных выше условиях смещенил положений равновесия двух тел задается системой бд, 2 д = — — 'бд., 2 (7.10) гКо Ьи гл ' Положим сч = ое+доо Подставив зти соотношении в систему (7.6) с учетом уравнений (ь.7), в первом порядке по —,' получим Ьььь оь = по + ооььи ьхг = оо — боа, (7.1Ц ьйп 2 ~к ад ; гй 6 сова При о < ьг,ь2, очевидно, боо > О для любого оа, так как при равенстьье масс яо < я,ь2.
Следовательно, прн увеличении массы одного из тел лагранжевы точки смещаются к более массивному телу. При о > к,ь2 — - дна < 0 и лагранжевы точки смешаются к более лагьвььму теььу. Используем формулы перехода от координат (оь,ог) к сферическим координатам (д, р) сов нг вш дь — сов оь вьп дг совд = вйп о сов оь сов дг — севов сов дь вььь д сов ььг— вьп о длн того, чтобы проследить изменение кривой по которой движутся точки либрацпи в зависимости от соотношении масс (боо не дает полной З 7.
Оераниченнан задача трех тел в аснривленнож пространстве 241 картины, так как сами тела при изменении масс тоже двигаютсн). В первом порядке по — ' получим Лгп сн сои глв зпз н Лр=, (1В сто — 3) — ' 2 ( .з .)Лгп бсонсслйсВо' е ' гп ' (7. 12) ои = но+ Лсхоз йз = йа — бааз (7.13) вЬ; 1Ьссо Лнс Лссо — —— бсЬсх зп ' В данном случае Лсчв < О узке для любых параметров, то есть точка либрации всегда будет смещаться к более легкому телу. Точно так же вычислив ЛО и Лаз получим ЛО = О, (7.14) с1з но иЬ вЂ”, и 2 1 В (тй сео+ 3) — „".
с ь о Как мы видим Лчз всегда больпю пуля, то ость точки либрации па плоскости (В, ~р) смещаются к более тяжелому телу. б. Области Хилла. Во вращающей системе координат для ограниченной задачи трех тел на оз уравнения движения допускают интеграл Якоби нз — + Ь в(О) = Ь = сопн1,. Как видно, при сев < зг/3(О < О*) и и < л/2 выполнено неравенство Лу < О, то есть кривая сдвигается в сторону легкого тела. При сьз > я/3 (О > В*), сс < з./2 в сторону тяжелого тела. А при о > я/2 наоборот, с точностью до замены В* на О**, что находится в полном соответствии с приведенными ранее результатами (рис.
20). Случай с,з. для л,з выполним аналогичное разложение по — „, в результате получаем выражение для Лао Рйява Я где Г„- приведенный потенциал. При фиксированном значении Ь, движение частицы происходит в области ~0 б Вз ! Ь - 77,(0) ) О), которая называется обласгяыо Хилла 4,'. На рисунке 24 изображена полнан бифуркационнан диаграмма длн точек либрации на эз. В таблице 1 приведены количества коллинеарных и неколлинеарных точек либрацкп в каждой из областей диаграммы 24.
Приведем здесь области Хилла лшпь для некоторых областей диаграммы 24, которые представляют наибольший интерес как случаи существования устойчивых точек либрации. На рисунках 25, 26 и 27 представлены области Хилла на Яз при значениях параметров, соответствуя>щих областям 1„П1„1У па рис.
24 соответственно. Мелкие детали диаграмм вынесены на отдельные рисунки. Точки 1-5 па всех рисунках нвляютсн обобщением классических точек Лагранжа и Эйлера. Точки 6, 7 и 10 — поные коллпнеарные точки, а 8 и 9 новые лагранжевы точки. В области 1 (рис. 24) точка 6 явлнется минимумом потенциальной энергки, точки 4 и 5 — — ее максимумами, а все остальные точки седлами. При переходе границы между областями ! и П рождаютсн еще 2 нары лагранжевых точек либрации, что однако не сказывается на устойчивости остальных точек. При переходе через границу 11-1П одна из вновь образовавшихсн пар лаграпжсвглх точек сливается с эйлеровской точкой и меняет ее тип на минимум эффективного потенциала.
Таким образом, в области 1П существует две устойчивые точки 6 и 7. Далее при переходе границы 1П-1Ч эйлеровские точки 2 н 6 слнвак~тся и исчезают. и в области 1У остается одна устойчивая эйлсровская точка либрации. 0.6 ж„~т, 0.4 0.2 храп СС Рис. 24 Таким образом, наличие кривизны пряводит к тому, что понвля- 5 7.
Ограннченная за74ана трех тал а аснрналеннаж арас~нранстве 243 Таблица 1. Количество точек либрации в областнх, прнееденых иа рис. 24. О 0.1 О 2 О.З О 4 О 5 О 5 1.54 1.55 1ЛО 1.57 Рнс. 25 ются новые эйлеровские точки либрацин, которые при определенных параметрах, в частности областях К Ш и 1У (рис. 24), явля1отся устойчивыми. Зливчлнив 2. Для плоскости Лобачевского Ь~. пользунсь аналогом однородного полн, приведенного в З б, можно получить уравнения Хилла в йз )4). 7. Частные решения неограниченной задачи и тел.
Длн евклидова пространства в задаче и тел, при произвольных массах, существук1т конфигурации, которые равномерно врап1антгся без изменения расстояний между телами. В частности, при равных массах на плоскости Вл положениями отпоситольпого рав1ювссия нвлн1отся пра- 244 Глаеи 3 0 05 1 15 2 2.5 3 135 1.4 1.«5 1.5 155 0 !О Рис. 26 о о 0 0.5 1 1.5 2 25 3 ОЯ ОЛ 1 1.11.21.31.«1.5 и 0 Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
