Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Перейдем от псрсмоппых Оо, с1 к новым псрсмсппым по формулам О =р, д =ж, О = зсоа~р., о О = жг1 1с. Нетрудно проверить, гто координата ~р циклическая. Исключение сс по методу Реуса приводит к задаче о движении частицы по двумерной сфере из + уз + зз = 1 в силовом поле с приведенным потенциалом. Функция Рауса частицы имеет вид тс = 1 (ад+уз+ба) — 17„ где приведенный потенциал Мз 77„.
= — и ссй 0~ — уз с1д' Оз + 2зз (3.2) здесь ЛХ вЂ” обобщенный импульс (циклический интеграл), соответствующий координате р. Следуя [270], введем сфероконические координаты ~,0, как корпи уравнения ю — оз ю+11 го и(ж — оз)(и~ ~,д~) здесь 0 < ~з < жз, О < и < )эз.
Отсюда легко выразить ж..р,з, находя вычеты функции 7(ю) в точках аз, —,У,О и извлекая корни: ,л" -т х"::-ю ж = адп(ж) расположенных в точках (д, а, О, 0), (Д, — а, О,О)., причем оз + Дз = 1, (Для случая Яз интегрируемость этой задачи доказана в (270).) Потенциальная энергия частицы в этом случае равна (270) 5 А Интегрируемые ирослемы в нснривленном лристранстее 203 2 ( ~2+«~2 бз+г12 Приведенный потенциал (3.2) можно представить в виде г э)э +э) Л '-гТ(д' +г') + г1~ гц(*и~ — э)Л "г РХР:я м' 'г'и '+1-Э + Пз 2(гз + Оз) (3.0) Таким образом, переменные разделяются, гамильтониан (3.5) принад- лежит к лиувиллсвому типу и, следовательно, задача иптогрирусма.
Злмвчлннк 1. Задача Эйлера на трехмерной сфере допускает также алгебраи- ческое представление с нелинейной скобкой Пуассона (1.10) (З 5 гл. 5). Чтобы показать это, врсдставим потенциальную эпсрги~с (3.1) в виде УУ = 1У (гуе; уд) = — ти Дяэ 1 ™гу~ (1 — (бди+~у ) ) У Дяе — оуг ~2 (1 — (Дуэ — оуг) ) Отсюда следует, что с учетом замены (д -+ Л) система допускает интеграл (5.5) (55 гл.
2), и, следовательно, можег быть редуцнрсвана на алгебру 1(К, з) (5.10) (З 5 гл. 2). 1.2. Задача двух центров иа Ез. Аналогично рассмотрим задачу о двилгении частицы н поле двух центров в пространстве Лобачевского Аз, которос зададим как верхнюю полу гиперболоида (Чо)з — г(з = 1 в чстырсхмсрпом пространстве Минковского 1%4. Движением в У,з можно добиться, чтобы притягивающие центры располагались в точках гг = = ((З,гг,0,0), гз = (И,— гг,0,0), пРичем Дз — цз = 1, Потенциальнал энергия частицы имеет вид Для учета знака г полагаем — и < С < с00 < г( < У), а функция зйп используется длн того, чтобы учесть знаки х, у в каждой из четырох областей сферы Яэ: (х > О, д > 0), (х < О, у > 0), (х > О, ц < О), (х < О., р < 0). Функция Гамильтона в новых переменных 204 д = ш, д = асов'о, я = юзп1ф.
3= Ч Р~ (3.8) то координата у будет циклической. Исключая ее, получим задачу о движении частицы по плоскости Лобачевского Х~: уз — шз — аз = 1, функция Рауса которой те= — (д — х — 2 ) — Ь,, 1 .2 ° 2 .2 2 а приведенный потенциал 1; =12+ 2зз (3.9) где М имеет тот же смысл, что и в задаче о сфере. Псевдосферические координаты (,г1 являются корнями уравнении 1( ) (3.
С) ш — ф н~ — гг и~ ш(ш — аз)(ш — дз) Координатные линии г = сонат, О = сопа1 получаются пересечением поверхностей р — ш — л =1, 3 2 3 ш Р +з ,г 3 3 з ~з (1з ~з ~г' рз 2 з 2 з' (12+ 2 3+ 2 з' (3.11) Находя вычеты функции Дш) в точках аз, йз, О из (3.!О), и извлекая корни с учетом знаков, получаем т '-еи**гг) т = лдп(к) лз* — Риз* е) у= сп о(3 ' (3.12) «Углы» опРеделакзтсп следУющим обРазом: гона = (9,га) = Щ— — (г1, ге), где д, ге РадиУс-вектоРы частицы и а-того центРа соответственно. (, ) скалярное произведение в пространстве Минковского. Если ввести координаты (ш,ро гп р) по формулам з 3. интесрирремъж проблемы и искривленном нростринспьее 205 Здесь — гл < с < си 0 < й < ос. Легко провернется, что новые координаты ортогональны на псевдосфере (в смысле метрикп Лобачевского), и гамильтониан имеет вид (о — ~")ф — ~-) з (а +71 )(/3 +г1 ) с~ рцз н + ъ) сБ' + сБР ~ ~') ~2+, 3 с (сь — ), Т '-гни*:сч и мл и- +и-) + + 1'+ г1' 2(~'+ г1з) (3.13) Также как и в предыдущем случае переменные разделяютсн и уравнения интегрируются в квадратурах.
2. Задача Лагранжа в пространстве Лобачевского. Извостно, что задача Зйлера о двух неподвижных центрах в трехмерном пространстве имеет интегрируемый предельный случай, когда один из зарядов относится на бесконечность, при этом величина зарнда также бесконечно увеличивается. В пределе частица движется в постоянном однородном поло и поло точочпого заряда. Эта задача впервые рассматривалась Лагранжем.
Ее анализ содержитсн в книге [36) в связи с исследованием классической модели движении электрона в атоме, помещенногн в однородное электрическое поле (эффект Штарке). Выполним аналогичный предельный переход для пространства Лобачовского (для сферы такого продольного случая нс существует в силу ее компактности). Пусть два точечвых заряда тд, Гз в пространстве Лобачевского Ез расположены в точках гь = (1, О, О, 0). гз = (сЬ с, в1~ с, О, О). Потенциальная энергия частицы имеет вид С = ~/г+ (/з. В данном слу- чае С: — р ОВ" — и ьч -1' 10с1 1 ~1 з1,сс 1Гз = — 7зс11гох = — тх Приведенный потенциал с учетом знаков в областях к < 0 и к ) 0 представим в форме 206 Тлава З' Устремляя С к бесконечности и переопределня величину заряда по за- кону 2 ехр( — 2р)7г — г -7г получим следующий внд полн лбесконечно уда- ленного» заряда — аналог однородного полн в искривленном простран- стве: г' 1 (Ч Ч) Введем в пространстве координаты по формулам (3.8).
Псрсмспнан аг нвляегсн циклической. После редукции Реуса получим задачу о движении частицы по плоскости Лобачевского: уг — щг — зг = 1 в потенциальном поле !У,= — 'уг 7г г+ г' у 1 ЛХг ~/Ю' — 1 (у — ) (3.14) Длн пахолгденнн системы координат, в которых переменнью разделянзтсн, выполним предельный переход для псевдосфероконических координат на плоскости Лобачевского, введенных ранее, как пересечение поверхностей (3.11).
Новая система поверхностей имеет внд 2ж(у — к) =,иг(у — ж) 7г г „г 2ж(у — л) = и (у — л) + —, г1 у — т. — з .=:1, г г г (3.16) г г а соответствуннцие им координаты 7л, и изменнютсн в пределах р, й (О,со)., Р Е ( — 1,1). Координаты ж,уа а выражаются через д,н по формулам: з о. Лнтеериррел1ме нроалел1м е иенриаленном ироетранетиое 207 ерункция Гамильтона в новых переменных имеет вид П =,, ' Р ((1+ ~Р)рог+ (1 — иг)р„г) + 1е'+ рг (3.17) егег + "/1 + +7г(Р +р )+ (д +р ) 1+ г 1 г 2 Чтобы разделить переменнные представим множитель стоящий перед скобками в оидс (1 — ")(1 + Л') ( г + г ) 1 г 1 + г и система снова приводится к лиувизлеву виду. 3.
Движение зараженной частицы в поле магнитного монополи. В этом пункте показана интегрируемость задачи о движении частицги в поле магнитного монополя в искривленном пространстве. Модель магнитного монополя для евклидова пространства использовалась А. Пуанкаре длл описания движения заряженных частиц вблизи магнитных полюсов Земли. Пуанкаре показал, что задача является интегрируемой. а траектории представляют собой геодезические на двуморпом копусо.
Заметим, что болсо слогкпая задача — о движопии заряженной частицы в поле магнитного диполи (задача Штермера) уже ио является интегрируемой как в случае плоского, тек и для искривленного пространства. Получим аналог поля магнитного монополя для пространств постоянной кривизны. Тспзор электромагнитного поля в пустом пространстве удовлетворяет уравненнам Максвелла 0 Уйт + дд~';и + до Род = 0 (3.18) — гдл(~/ — ЙР' Л) = 0 1д = г ) — У да гдо 08' Л~ — метрика пространства-времени, о,(1, у = 0,...,3, д— определитель этой матрицы.
В пространстве постоянной положительной кривизны фз) в некоторой системе отсчета метрика пространства-времени имеет вид е1аг = огсз' — Пг(е10г- н1пг 9(дрг -~-н1пг~рдерг)), (Здй) 208 Тлава 0 а для пространства постоянной отрицательной кривизны (1з) двг = с~о1з — П~(40з апг 0(дрг+ з5п риф )). 13.20) Как и выше Я1 гл, 3), латинские буквы соответствукзт только пространственным индексам -- з,151.... = 1,2,3, а а, обозначает пространственную часть метрики со знаком минус.
Решение, соответствующее стационарному магнитному полю в таких пространствах будем искать в видо Го; = О.,/д",1г" = в" 'гдь5, (3.2Ц здесь еыь антисимметричный тензор Леви Чевиты. Подставляя (3,20) в (3.18), находим уравнение для неизвестной функции 1(к) дь(ьф,д"лд,,)') = О, (3.22) которое совпадает с уравнением Лапласа Кадырами (см. З 2). Магнитному монополи> соответствует решение уравнения 53.22) с особенностью, зависящее только от 0: 1' = 7с180+ о для 5, (3.23) либо 1 = 7сь!з0+ о для 1'. (3.24) Для составления уравнений Лагранжа Эйлера необходимо найти векторный потенциал из соотношения Г;. = д,Аз — д.А;. Этому уравнению удовлетворяет потенциал вида (3.25) Ав = О, Аи = О, Ар =711соа:р.
Таким образом, функция Лагранжа системы для дз равна 1 = — ~0~+ гйп 0(уз+Ми 5азР~)) — ' ф)совр, (3.26) 1 'г г з .г з е7ль а для Ез 1, = 1(0' + зй~ 0(~р' т а1н~ 5аф')) — ' „з5 соз р, (3.27) з г 'г е71з З о. Коатерннонная регуляригаиия Куетаанхепжо Штифеля 2119 суХХ, Ч Ч=, Ч" ЛЧ.
с ~з ,"е К о (3.28) здесь )Ч,'з = (Ч, Ч). Нетрудно проверить, что трехмерный воктор момента М=ЧхЧ вЂ” ' етЛ Ч ' <Ч1 (3.29) являетсн векторным первым интегралом. Для его компонент справедливы стапдартпыс коммутационные соотношения (ЛХ,, ЛХ ) = е; яМн. Из (3.29) следует, что траекторнн системы расположена на двумерной инвариантной поверхности, определяемой уравнением < М, — .= сопяФ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
