Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 39
Текст из файла (страница 39)
однако, имеют существонныс отличия (см. т 6). Рассмотрим здесь более простую ситуацию относительные равновесия в задаче двух тел. Для краткости ограничимся рассмотрением стационарных конфигураций на я~ (на Аз анализ даже упрощается, твк как отсутствует ряд интересных закономерностей, возникающих на яз).
Ио доказанному предложению 2 стациопарпыс конфигурации явлнются критическими то псами функции баП = — — (т1 э1п 01 + тз а1п~ дэ)ыз — т1тг стд0. (5.18) 2 где В угол между телами. Исхода нз уравноний 05аП И~аП дф1 дфз г о. Задача двух тел в искривленном пространстве находим, что ~рг — грг = гц то есть частицы во времн движения должны оставатьсн в одной плоскостп (на одном меридиане) по разные стороны от оси г (см.
рпс. 7). П этом случае В . Вг + Вг. С учетом д1'сят С1Псрр .— О, находим уравнения, В~Рг д~Рг задающее возможныо углы Вг, Вг г тггаг гн, еш Вг сов Вгы =О, ейп (Вг + Вг) г иц'агг шг ешВг сов угго — = 0 ып (Вг + Вг) (539) Заметим, что при В < к/2 полу. чается конфигурации, когда более массивпоо тало движется по меныпему радиусу (при уменьшении кривизны эта конфигурация переходит в обычное частное круговое двикгенне двух тел на плоскости).
Прн больших взаимных расстоянинх В > к/2 более массивное тело движется по большей окружности. Ланному решению не соответствует никакая конфигурация в плоском случае и в пространстве Лобачевского Аг. Отметим, что вопрос о существовании замкнутых орбит в задаче двух тел на Вг(Хг) был поставлен в [269). Частичным ответом на этот вопрос являстсн Предложение 3. Расслготренное. выше часпгные решения являются единственными частнылт решениями задачи двух тел на сфере, дзи которых остаепгся постоянным расстояние мезнду пселами. Доказателъсгггво. Запишем уравнение движения задачи двух тол па Ьг в форме уравнений Гамильтона на алгебре е(3) .Зе(3).
Компоненты кинетических мо- ментов Ег и Ег н избыточные координаты х = (хы хг; хз) у = (уы Уг: уз) двух тел коммутируют между собой следующим образом (Егыйгз) = ечзяйгы (йгг,хгз) = ебяхни (хы,хнд) = О., (1м,йгд) = вць1м.. (Пщ,хг,) = ецнхгю (хщ,хгд) = О, (320) (Ан,Хг г) — — (Лы.хгз) = (л.гохгз) = (хы,хг ) = О, Глава у а функция Гамильтона имеет вид О = — 1г + — — 1г г+ 5'~~г~).
г = х — у. (5.21) 2гпг ' 2тг Реальное движение происходит па фиксированном уровне функций Ка- зимира структуры (5.2О): х' = у = 1, (Вы х) = (Ьг, у) = О. (5.22) М = Хг+Ьг. Х =, то = ги, +тиг. (5.23) тг1 г — тД г Уравнения движения примут вид Х = р'(~г )х х у, х= — ххМ+ — хх1ч, 1 1 т тг у=тухМ т ухХ, 1 1 (5 24) гдс У(,'г!) = —— /т! д!г,' В уравнениях (5.24) М лвляется постоянным вектором. В новых переменных первые интегралы системы запишутся в виде х =у =1, тг(х,М)+т(х,Ы) =О, гпг|», М) + гпту, М) = О, 2Н вЂ” 1ч + ГГЦг!) = Е = сопвС р, = тг + тг (5.25) В плоском пространстве соотвстствукицан замена приводила к разделению движения центра масс и движении вокруг центра масс точки приведенной массы рь На яг полного разделения пс происходит и кипотический момент М входит в уравнения ~5.24) в качестве параметра.
Система с гамильтопиапом (5.21) имеет векторный иптсграл полного момента М = Ьт и Ег. Им можно воспользоваться для уменьшения числа уравнений'. Действительно, введем повыс псрсмсппыс 226 В 5. Задача двух шел в аскривленнож ароетраншаое Дифференцируя, в силу системы (5.24), условие неизменности расстояния между частицами (х,у) = совд = сопвС с учетом интегралов (5.25), получим следующие соотношении (х,у) = сопев, (хукМ)=О., (5.26) — лч~(х, у) - Ъ'(/г$)(х х у) + — (х, М)(у, М) = О, (х, М к Х) = О. Из второго и четвертого уравнений (5.26) следует, что векторы х, у, М и Х лежат в одной плоскости.
Выразив М, Х через х, у по формулам (М, х) — сов д(М., у) (М, у) — сов д(М, х) х+ ' у, гйп д в1п~ д (5.27) (лч, х) — сов д(тч, у) (лч, у) — сов д(лч, х) в|пад вш д после подстановки в (5.25) и (5.26), получим соотношения (М,х) = сопев, (М,у) = сопев Таким образом частицы дошкиы вращаться по окружностим вокруг некоторой оси, определяемой вектором М, оставаясь в одной плоскости с втой осью. Между параметрами М и д, задающими стационарную конфигураци|о, сущсствуст связь, которая в случае ньютоновского потенциала à — тттт,ттез сгйб имеет вид 1 Ттпв (пм + тпз — тпз) 2 втпз д втп 2д (5.28) Как несложно заметить, частные Решении на лв, длн котоРых д = сот1втв образупзт трсхпарамстричсскос ссмсйство (их можно характеризовать либо компонентами вектора М, либо направлениетн осн, вокруг которой вращаются частицы и взаимным углом д).
В плоском случае соответствующее семейство является четырех- параметрическим, так как наряду с вектором полного импульса р, ха- 224 151ава 0 Х = 17Цг/)х х у, х= ---ххах. 1 7й1 у — — — у х Х. 1 7йг (о.29) Соотношения (5.25) также имеют более простой вид х = у =- 1, (х,Я) =- (у.,Х) = О. (5.30) Из (5.30) следует, что Х = /Х/и, гце и = . Дифференцихху )хху! руя вектор п в силу системы (5.29), получим и = О, то ость два тела двигаются по сфоро в плоскости. проходящей через центр сферы (по меридиану).
Это задача двух тел на окружности. Для ее анализа составим фупкцгпо Лагранжа, взяв за обобщсппыс координаты углы О, и 02 на этои Окр1жности Х = —,(7й101+ гйгдг) ухй17712 сСИ0, 0 = 01 — 02. 2 (5.31) Для системы (5.31) могкно ввести понятие центра масс с угловой коордИнатой 7(7 = (7й101 + гй202),1(гй1 — 7йг).
В псрсмсппых 050 получим систему Угй1вйг ф = О, 0 — (Р11 — ' 7й2) В1П (5.32) Зависимость угла 0 от времени получается обращением квадрату- ры (5.33) 1О, й = сопз$, которая находится в элементарных функциях. рактеризующего движение центра масс и полным моментом М, относительно центра масс, остается свободный параметр, определяющий прямую па плоскости, вдоль которой двилются центр масс системы. 6. Задача двух тел при нулевом суммарном моменте.
Столкновнтельные траектории. Ураппапия (5.24) удобно использовать для интегрировании задачи двух тел при М = О (см. и. 4), В этом случае они упрощаются 225 'З 6. Смещение неригелия Из анализа этой квадратуры следует, что в системе центра масс всегда происходит соударсние, причем зависимость угла д от времени в точке соударспия может быть прадставлена в виде рядов Пюизо Отметим, что не для всех столкповитсльпых траекторий суммарный момент М равен нулю. Можно Рис. 8 только показать, что в точке соударенин е1с Я всегда долгкно выполняться соотношение (М,с1) =- О. 2 Аналогично задача двух тел на окружности (являющейся инвариантным многообразием) можно рассмотреть движенио системы п-тел, которая описывается гамильтониантом Н:..— — ~> р; + у ~> п~.„пН сФй[дг — д„,). е —...1 г<д Для притнгивающего потенциала (у < О) в общем случае система будет эволюционировать к взаимному столкновению пар частиц.
В случае отталкивания (ч > О) возможны нелинейные колебательные режимы, и траектории обладают свойством возвращаемости. Как показывают компьютерные эксперименты (рис. Х)., проведенные для трех одинаковых отталкивающихся зарядов, фазовый портрет отображения Пуанкаре имеет области стохастичпости, что препятствует сущоствованию дополнительного аналитического интеграла движения. 9 6. Смещение неригелия Одним из экспериментов, подтверждающих теорию относительности является наблюдение смещения пернгелня Меркурил [169]. Это смещение свнзано с искривлением пространства вблизи гравптнрующего тела. Покажем, что в ньютоновской механикс искривленного пространства кеплеровская орбита также прецосснрует., хотя н по другим законам [219~, В качестве модельной, рассмотрим ограниченную задачу 226 12ава у двух тел, которая не является интегрируемой, но при малой скорости движения тяжелого тела (выбираемой как малый параметр), допускает анализ по теории возмущений.
Здесь мы никоим образом не стараемся поколебать фундамент общей теории относительности., по только укажем, что некоторые факты практической небесной механики допускают и другие интерпретации (наряду с несферичностью планет, рефракцией атмосферы и пр.). Рассмотрим ограниченную задачу двух тел на яз (Хз) я 5), которые полагаем стандартно вложенными в Рз (»«1»): (Ч = (*. и, з) ~ (Ч, Ч) = лз + йз ~ зз = ~Л»).
Пусть «массивпан» частица (притягивающий центр) движется по геодезической в плоскости иг. В инерпиальной системе координат, жестко связанной с притягивающим центром, который поместил«в северный полюс сферы (псовдосфоры) ез = (О, О, 1), функция Лагранжа «легкой» частицы (материальной точки) имеет вид (б.!2) — 2(ч,ч) ~т ..., +(ч: ч) ~( ч, ч). 1 .. (ез,«1) ъ~л2 Т (ез, Ч)з (6.1) Здесь те — матрица угловой скорости спстемы отсчета и = О О О Для анализа по теории возмущений выберем в качестве координат на сфере (псевдосфере) г = Лгд0 (г = ЛСПО) и азимутальный угол ~р и представим (6.1) в виде гз«» 1~ — ' Йз (6.2) ,2 2 соыр+;.
—" яп ~р. 2 1+ Лз Здесь гв имеет порндок 1/Л. При Л вЂ” ~ ео задача сводится к плоской задаче Кеплера. 227 г( е. Сиеигепие перепилил Линейные по скоростям слагаемые в (6,2) имеют порядок — и не 1 дг могут быть опущены. Длн исследования эволюции формы орбиты, соответствующей невозмущенной задаче Кеплера. представим уравнения движопин системы (6.2) в псрсмсшннх Р,ы, с.ье. Здесь с — эксцсптриситет, ы — долгота перицентра орбиты, гг — азимутальный угол, р параметр орбиты, связанный с энергией Е нсвозмущснной задачи Кеплера по формуле 1 — е Р 2Р 2дг (6.3) Новые переменные выражаются через координаты и скорости по фор- мулам (далее полагаем 7 = 1) р г ее,'п(р и,) ггр 1 + е сое(Р— ы) гг игр ' гг (6А) дг дг — — яш ее яш(р — ы): 4ш Р' д г 1~ —" дг (Р,е) = — 2 Р+ — яш р соя(~о — ы); 4 Ре д,л 1~ — ", дг г Р (6.6) — 2г/р: 2 соя(у — ы) + е + е сояг ( р — ы) Я я1п(р — ы)(2+ есоя(р — ы)) е Гр ( р)— Здесь и ниже длн сокращения записи мы не подставляем выражение г чоРсз Р, е,ы, Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
