Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 42
Текст из файла (страница 42)
27 вильные многоугольники. Аналогичные конфигурации существуют и в искривленных пространствах. В отличие от Е~ и 3о» топология Я» обуславливает существование статических конфигураций в задаче и тел. На двумерной сфере такие конфигурации для равных масс зада1отся вершинами правильных многогранников (платоновы тела). Вследствие существования антиподального центра разрешены не все платоновы тела, а только тетраэдр и додекаэдр. «Пространственные» равновесные конфигурации дли равных масс спнзапы с классификацией правильных многогранников. Опа бьт- 'з 7.
Ограниченнан задача трех тел в иснривленно,н ироетранстое 243 ла получена Шлефли в 1830 г. (для номерного случая) и содержится в книге [47]. Вопрос об устойчивости указанных положений равновесия мозкет быть решен с помощью обобщения теоремы Ирншоу па Яз, Аз. ~Теорема Ирпшоу для евклидова пространства утверждает, что всякая равновесная конфпгурацин зарядов с кулоновским взаимодействием нвляотся неустойчивой.) Ко обоб»попив несложно извлечь из рассуждений работы )85), в которой даже доказано более сильное утверждение о неустойчивости для систем с гармоническим потенциалом. Для трехмерной сферы Я~ вывод о неустойчивости являетсн в некотором смысле неожиданным, так как в силу компактности она обеспечивает финитпость всех траекторий. Заметим также., что существование равновесных )хотя и неустойчивых) конфигураций делает осмысленной постановку задачи и центров на У (движение «легкой» частицы в поле и неподвижных ньютоновских центров . — при и = 2 см.
З 3 гл. 3), в отличие от побоспой мохапики в плоском пространстве. где, вообще говорл, такая физическая модель малосодержательна. В общем необходимо отметить. что компактность трехмерной сферы обуславливает многие неозкиданные эффекты, отсутствующие в евклидовом пространстве и пространстве Лобачевского, которос, в некотором смысло, ближе к свклндову прострапстпу. В этой книге мы не будем подробно останавливатьсн на изучении частных решений задачи и тел для Яз и Вз. Заметим, что дазке для евклидовой небесной механики отыскание всех относительных равновесий (центральных конфигураций )4)) является пока псрсшоппой алгебраической задачей.
В случае и = 3 для Яз и х ~ существуют «коллинеарные» (эйлеровы) и «треугольпыс» (лагранзкевы) частные решении. Как было показано в этом параграфе для ограниченной задачи трех тел на яз при малых кривизнах сущоству1от три различпью «коллипсарпыс» конфигурации. Зти решения остаются также в неограниченной задаче при малой массе одной из частиц, поэтому для Вз не справедлива теорема Мультона ~4), которая в случае евклидова пространства утверждает., что длн любой нумерации масс точек существет единственная коллинеарная конфигурация, в которой точки в заданном цорндке располол«еыы на одной прямой таких конфигураций и!/2, Лагранл«евы решения при неравных массах точек уже не будут образовывать (вращающийся) равносторонний треугольник.В случае рав- Глава 0 ных масс легко показать, что для допустимых и, (и > 2) существуют конфигурации, представляющие собой правильные многоугольники, равномерна вращающиеся относительно оси, перпендикулярной их плоскости.
~ри этом угловая скорость вращения в зависимости от широты 0 вычисляется по формуле (для яг) ,,г 1 ™ (7 15) еш 29 эш 0 вш — ~1 — эш 0 эш — ) ° г ° гя;г гк' в ' ' и Таким образом. угловая скорость стремится к бесконечности па полюсах и экваторе. Однако иа экваторе существуют равновесные конфигурапин равносторонние правильные многоугольники, вращающиеся с произвольной угловой скоростью. Эти решения пс могут быть получены предельным переходом в формуле (7.15) ~они появляются вследствие того, что У -- инвариантное многообразие на аз, отсутсвующее на л,з). В гл. 4 будут указаны стационарные и статические конфигурации систом пихропой динамики.
Опи имоют много общага с соответствующими конфигурациями в задаче и, тел. В 8. Движение твердого тела с гиростатом в искривленном пространстве. Стационарные движения для евклидова пространства уравнения движения твердого тела с уравновешенным гиростатом, двнжущемсл по инерции, были получены Н. Е. Жуковским ~63) и проиптсгрировапы В. Вольтсрра ~333) в эллиптических функциях.
В искривленном пространстве уравнения гиростата в общем случае не являютсн интегрируемыми. 1. Свободное движение тела в эг. Рассмотрим сначала уравнения свободного движения твердого тела на трехмерной сфере Яз, Заметим., что положение двумерного твердого тала па поверхности обычной двумерной сферы Ьг может быть охарактеризовано с помощью элемента группы аО(3), который указывает положение тела на сфере и его ориентацию по отношению к неподвижным осям, Эта наглядная иллюстрация оказывается полезной для понимания взанмосвязи движения свободного твердого тела ка Яг и вращением четырехмерного твердого тела вокруг неподвижной тачки (уравнения Эйлера на ЯО(4)). З д. Движение твердого тела с гироетатот Трехмерную сферу будем представлнть себе как поверхность в Кл: доз + Чг = 1.
Положение и оРисптацин тела по отношению к кооРдинатам йр задается элементом группы ЯО(4), тем самым задача о свободном дппжспии твердого тсла в Яз сводится к задаче о движении четырехмерного твердого тела с закрепленной точкой в плоском пространстве %е. Уравнения свободного вращения чотырсхмсрпого твордого тала запишем в виде уравнений Эйлера на алгебре Лн во(4) следующим образом. Введем систему отсчета, жестко связанную с телом. Еоордипаты жр в ней связаны с координатами неподвижного пространства ар по формулам (8.1) чр — Вроги~ где Вр„компоненты ортогональной матрицы из группы ВО(4).
Функция Лагранжа свободного твердого тела В равна сумме кинетических энергий точек составлнющнх тело Т 1 н — / гп Вою Вр ~ ~и. 2 г- т Она молеет быть представлена как функции квазискоростей ог ~18): 1 В = — Уриигроигио. 2' (8.2) Ъ4 = [М,иг), (8.3) здесь (ч ] матричный коммутатор, а элементы матрицы момента и определяются формулой: где игр„= — ог „= В„зВ нвляются элементами алгебры во(4) и ,Ур„= ~ ~ьчлраи проекции тензора моментов инерции на оси жестко т связанные с телом. Записывая уравнении Пуанкаре Четаева па группе ВО(4) Я 6, гл. 1), получим следующие коммутационные уравнения Глава Я Запишем систему с помощью векторов Ь, аг, компоненты которых связаны с компонентами матрицы кинетического момента М по фор- мулам Ь; = — е41ьМ ю я; = Моб 1, 1, й = 1, 2, 3. 1 2 (8.4) В векторном виде ь=1 хдн+пхдо д1 дя' 7Г -7ГХ дИ+Г,Х длл дь+ д (8.5) Н = —, (1,АЬ) + —, (тг, Втг), (8.6) где А = гПад 1 ! ! Лз + Лз' Л1 -ь Лз' Лг + Лз ю = с!!ая ~ ~ь 1 1 1 Ло + Лг Ло + Лз' Ло + Лз Эти уравнении были изучены и проинтегрированы в прошлом веке В.Фрамом и Ф.Шоттки (см.
~1 гл. 2). Необходимо отметить, что в отличие от свободного двилгения твердого тела в евклидовом пространстве (задача Эйлера Пуансо), случай иптсгрируомости ипорцпоппого движения па яз и 1.з, явлнотся существенно более сложным как с точки зрения процедуры интегрирования, так и качественного (топологического) анализа двиягения [134]. С некоторой долей неточности можно сказать, что отличие от плоского пространства заключается в том, что движение тела по сфере дз и его иращение теперь ие разделнются, поэтому вращение тела оказывает влинние на движение системы как целого.
(Этот эффект для л з был отмечен ощс Н.Е. Жуковским [621.) Уравнения (8.5) нвляются уравнениями Гамильтона на алгебре оо(4) в стапда!зтном матричном представлении (см. З' 1 гл. 2). При выборе системы координат., связанной с телом, в которой 3 = йа8(Ло., Лы Ло, Лз), функция Гамильтона свободного твердого тела в переменных Ь,я может быть записана в виде '«8. Допжонао п«оердо»о»п«лп с трос пеплом 2.
Движение связки двух тел, Уравновешенный гиростат. Рассмотрим уравновешенный гиростат в яз механическую систему, состоящую нз двух тел: «пасущего» Т1 и «несомого» '1ю скроплснных так, что распределение масс системы не меняется со временем. Свяжем с каждым из тел свою систему координат. Пусть В, Ц матрицы перехода от абсолютной системы координат (д) к системе «несу- 2ого щего» тела (х), и От и1стемы «несущего» тши к сист~ме «несомого» (д) соответственно гяг — ~!и 2 р~ ! г' — г«!г,!|и" (8.7) Введем следующие обозначении: ,7„= ~, тх„х„компоненты матрицы моментов инерции т, «-т, всей системы в системе координат несущего тела (здесь ~ обозна- т,,-т, чает суммирование по элементам первого и второго тела); (,гз)„, = ~ туну„— моменты инеРЦии несомого тела в свЯзанной т, с пим системе осей; (71)˄— ~ К тла И (72)„г ~ тгвял„-- МОМЕНТЫ ИНЕрцИИ НЕСУ- т, т» щсго и несомого тела в системс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
