Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Интересно, что возмущение по параметру 1/Лз вносится в алгебраической форме в скобку, а не в гамнльтониан. Естественным алгебраическим преобразованием перенести его в гамильтоииан нельзя. Соотношения между избыточными переменными на сфере аналогичны плоскому случаю (1.11), (1.12): Р)йм = 4 (Ьмь + Ьчм — Ьи — Ь| ь) 1 йз — — (МаМЯМхь — МЯМгьМ в + Ъ|аМыМхь + МаМнМЯ+ + МаМгьМ ~ — МиМгкМь~ + МиМгьМ ь + М ~МмМ;.— МфМы1Ць + МзтМчьМм > МзеМмМйь ' ' МЯМаМГ! + МВМн М,„. + МПМ„Мхь + МПМгь М,, + МПМ„,Мь,— М2М М Мз 44244 М Мз — МыМ1 — М„М„',) = 0, (2.17) Гць = 2Ьмь~ + (Мз + М„'ь + Мзь)— — 2 (МОМал + МчьМйь - МИМгь) (2.18) + — 870МйьМьч = 0.
1 оз Алгебра вихрей на плоскости (1.10) и соответствующие инвариантныс соотношения получаются предельным переходом из скобки (2.16) и функций (2.17), (2.18) при Й вЂ” ь ос. В отличие от скобки (1.10) в динамике вихрей па плоскости, скобка (2.14), (2.16) удовлетворяет тоячдеству Якоби лишь на многообразии определенном всели соотношениями (2.17) (2.18) (ср. с ()1).
При атом невулевые элементы тензора Якоби — —,1, ь:- (1х„л: ),хь) + +((ханхь),хе) + ((хь.хе),хД представляют собой тождества между хордами (2.12) и ориентированными объемами (2Л о) при произвольном расположении точек на сфере (см. такеке х 1). Приведем для примера со- Глаза 4 отношения для четырех вихрей, которые нам понадобятся ниже Д1 + Д2 + ДЗ+ Д4 (Д2М12 1 ,1д2 1 — (Д1М12 ,1д2 1 = — (Д1М13 йд2 1 — (Д1М14 ,1д2 ДЗМ13 + Д~4М14) 4. ДзМзз + Д4М24) = (2.19) + Д2М23 + Д4М34)— + Д2М24 + ДЗМ34) ~ (2.
20) Неравенства треугольников „/МП + „/Мл > ~/М44 также остаются в силе длл задачи о вихрях на сфере. Здесь треугольники образованы соответствующими хордами, соединяющими точечные вихри. 3. Проблема интегрируемости. Переход от уравнений движения (1. 1) и (2.7) к галлия ьтоцовой системс со скобкой (1.10) и (2.! 6), описывающей эволюцию взаимного расположения вихрей, соответствует редукции в алгебраической форме. Введение канонических (симплектических) координат для приведенной системы в предложенном подходе представляет собой ул1е проблему алгебры, а пе механики (см.
3'5). Размерность симплектического листа (в общем случае сингуллрного) приведенной системы (определяется соотношениями (2.17) и (2.18) и линейным интегралом (2.20)) равна 2Л" -4. По теореме Лиувилля (32 гл. 1) для ее интегрируемости необходимо Х вЂ” 3 дополнительных нивеля~тинных интеграла. Следовательно, система трех в14хрсй иптсгрируема при произвольных гамильтонианах (инвариантных относительно здесь Д1 = Дззл., Дз = Д314-, Дз = Д124, Дл — Дмз. Локазатольство этих геометрических соотпошевий методами сферической геометрии весьма громоздко, а сами соотношения неоченидны. Пуассоновы структуры дан1т, таким образом. некоторый алгоритм их получения.
Пля плоскости при Д вЂ” 4 ос получается обычное соотношение для ориентированных площадей в четырехугольнике. Скобка (2.14), (2.16) допускает также лицойпую функцию Казимира (1.!3), которая свнзана с интегралами (2Л0) соотношениями '2 у. дыивгсегггге трет вихрей. Ойгпггй ивлчлиитиычй случай 269 группы двидкоппя сфоры).
Для нптогрирусмости задачи чотырох вихрей не хватает лишь одного интеграла. Ограниченные задачи динамики вихрей сводятся, как правило. к исследонанию движенин одного вихря очень малой интенсивности под влиянием остальных вихрей, движущихсн независимо. Его движение связано с решением задачи адвекции та есть определения течения жидкости при заданном движении вихрей. Очевидно, что эта задача сводится к исследованию интсгрпруемасти гамильтоновой системы с полутора степеннмн снободы (одггостепеггной системе. содердкшцей янно время).
2 3. Движение трех вихрей. Общий компактный случай Задача о движении двух вихрей на плоскости была полностью изучена Г. Гельмгольцем [74, 1173 который установил, что в общем случае два вихря совершают равномерное вращательное движение вокруг центра завихрсппости 11Г1 + 12Г2 Г— (3.1) Г +Г с частотой О Г,+Г, 2хМ где Гд, Гз радиус-векторы первого и второго вихрей, Гь — интенсивности точечных вихрей. М вЂ” квадрат взаимного расстояния.
Центр завихренности при этом двидкется равномерно и прнмолинейно. При условии Гд = †.Гз центр завихрсппости находится па бесконечности, а дна вихря движутсн поступательно. Динамика двух вихрей на сфере вполне аналогична плоскому случаю. Здесь общей ситуацией является вращение вокруг оси, проходящей через дентр сферы и аналог центра завихренности (точка, расположенная на хорде, соединяющей два вихря с радиус-вектором (3.1)).
Как и в плоском случае, расстояние между вихрями остаетсн постонппым. Углован скорость такого вращения и= 1 2чгМ 13.2) 270 Глава 4 где й — радиус кривизны сферы, М квадрат расстояния (хорды) между вихрями. При условии Гт "- — Гз, два вихри двизкутсн по сфере по двум одинаковым параллелям, расположенным по разные стороны от экватора, что было отмечено Громекой [56]. Первой нетривиальной интегрируемой системой вихревого двпягения на плоскости явлиется задача о трех вихрях. Несмотря на многочисленные работы, первыми из которых являются диссертация В.
Гребли 1877 г.[243] и исследования Грипхилла [242], достаточно полной и наглядной классификации движения не существует до сих пор. С точки зрения проблем иптсгрирусмости ца зту задачу обратил внимание Пуанкаре в трактате по теории вихрей [306,'. Им был явно выписан полный набор некоммутативпых интегралов. Замечательный исторический обзор результатов классиков., полученных дли задачи трех вихрей, содержится в работе [189]. В современный период задача движении трех вихрей па плоскости изучалась в работах [325., 126, 184, 327, 313], с точки зрения топо- логического анализа — — в [145, 173]. К сожалению, зти работы мало что прибавили к достижениям классиков как в наглндности, так и в полноте описания движения. Их основное содержание сводится либо к громоздкой геометрической интерпретации движении и компьютерному моделированию отдельных траекторий, либо к некоторым общим топологическим конструкциям, не увязанным с физическим поведением системы [145].
Отчасти зто связано с тем, что задача трех вихрей па плоскости пс принадлежит к тем интегрируемым системам, полный анализ которых возможен в классе достаточно простых [например. эллиптических) специальных функций (из-за логарифмических слагаемых в гам1ильташиане, общее рещение имеет бесконечно-листнае ветвление на комплексной плоскости времени), Исключоние составляют некоторые частные случаи, наприьлер, случай равных интенсивности вихрей, достаточно подробно исследованные.
По сравнению с задачей трех вихрей па плоскости, движение трех вихрей па сфере, также являющееся интегрируемым, практически не изучено. Злмкчлник. Задача трех пихрсй яплястса иптсгрирусмой и па плоскости Лобачевского. На ней мы не остапаолиеаемсн вследствие отсутствие реальной физической интерпретации. Отметим только. что в этом случае динамвка пихрей утрачивает многие интересные особенности.
присущие движению вихрей на сфере. Как и в небесной механике., эта система более родственна плоской ситуации. Мы даем здесь попый анализ [206], осповаппьш па алгсбро- 'З й. Двнокемие осрех вихрей. Общий компактный случай 271 1. Аналогия между системой трех вихрей и системой Вольтерра, Рассмотрим подробней алгебру скобок (2.16) задачи трех вихрей на сфере (случай плоскости получается предельным переходом ХХ -+ сю).
(МЗ М,) ':: — 4аьсЛ, (МЗ,Ь) = (аз — аь)М, + (аг+ аь)(МХ вЂ” Мь) + ' (аьМЗ вЂ” а;Мо), М; 2712 (ЛХ1 М2 ) — Ь ° (МЗ ° М1 1 — А (Мгч МЗ) — А ° 4 1 4 4 ГЗ Г2 Г1 (3.3) Здесь Мь = ЛХсй — квадраты расстояний между вихрями, Ь вЂ” удвоенная ориентированная площадь треугольника, натянутого на три вихря, аз = 1/Гн обратные интенсивности. Здесь и далог будем полагать, что индексы 1, .1. й принимают соответственно значения 1. 2, 3 и нх циклические перестановки.
Эта скобка якобиева без вслкнх ограничений. Ранг пуассоновой структуры (З.З) равен двум, и имеются две независимые центральные Функции Х7 =аЗМ1 + агМ2+ азМЗ, (2 к)~ Мг, Мг+ ЛХЗ вЂ” 2(ЛХ1МЗ ~- М1Мз -> М2МЗ) т --;.ЛХ1МгМЗ. 1 ог (3.4) Гамнльтониан задачи трех вихрей ХХ = — — (Г2ГЗ 1п М1 + Г1 ГЗ 1н ЛХ2 + Г1Г2 1н МЗ) 1 Зт (3 3) геометрическом исследовании приведенной системы (1.9), (2.13) а ватам и абсолютного движения, без использования явных квадратур.
Такой подход, опирающийся на представленио уравнений движения на алгебре (206), позволяет установить некоторые аналогии между задачей трех вихрей и случаем Эйлера. Пуаясо в динамике твердого тела, а также получить более наглядное описание движений системы при помощи аналогии с системой Лотки Вол1тсрра (49). 272 Глава 4 генерирует фазовый поток: 2п 1,М. Мьу Ь = (Ь,П) = — 1 (Мз — Мз)-' /Гз+Гз Вп 1 Мг ((Гз — Гз)ЛХг + (Гг — Гз)мз + (Гз — Гх)мз). 1 16 .оз (3.6) М, — ' М;(Му — М,), Г,Ь и 1 з 3 (3.7) если внести регуляризующее время т: Йт Ь (3.8) нй 2пмг Мз Мз то для и; получим уравнения типа Вольтерра (Ь 4, гл.
5): г(мв Йт '-' = — Г;М,(М, — Иь). (3.9) Уравнения (3.6) обладают стандартной инварпантной мерой (61т т = 0). Кроме того, они обладают тремя независимыми интегралами, поэтому система (3.6) являетсп тригямнльтоновой (см. Ч 5 гл. 1), для которой, как несложно проверить, две оставшиеся пуассоновы структуры являются дробно-рациональными. ЗАмеЧАНие 1. Вопрос о представлении уравнений движения трех вихрей в виде Š— А пары со спектральным параметром пока остается открытым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
