Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 48
Текст из файла (страница 48)
29) находим, что коллинеарным конфигурациям соответствуют положи- тельные корни этих уравнений третьей степени аг(1+ з)(з ~ 2) + оз((1 л л)з — оз(1 ш 2з)з(1+ л) = О, (3.30) где 111 --12+Та, оз --11+Та глз -11+ Гз. Траектории касаются границ области физически возможного движения Ь = 0 в пространстве переменных (ЛХ1,М2,Мз) прн изменении интенсивностей различным образом (рпс. 30).
В зависимости от об устойчивости томсоповских конфигураций при ЛХ = 7 в пслипсйпом приближении остается открытым. Другая смена типа движения происходит при касании линии пересечении уровней интегралов (3.25) с кривыми, определяемыми уравнением Ь(ЛХ1, М2,Мз) = 0 (1/ЛХ; +,угМ =;/Мь), возникающими из неравенств треугольников и ограпичива1ощих физически допустимую область значений (см. рис. 30). Точкам касания отвечают коллинеарные конфигурации трех вихрей. Три вихря при атом располагаются на одной прямой и вращаются как единое целое вокруг центра завихренности.
Злпвчлннв 5. Коллинеарные и треугольные конфигурации в динамике трех вихрей имеют аналоги в классической псбсспой механикс (4). Им соответствуют зйлеровы и загранжевы частные решения проблемы трех тел. Коллипеарные копфигурацгш находятся из условий касания '2 о. Докование трех вихрей.
Общий компактный случай 279 Рнс. 31. Биффуркационныо кривые па плоскости длл случаев: а) трех различных пололгительных интенсивностей и Ь) одной отрицательной ннтенсивнос- Вычислоние угловой скорости томсоновских и коллиноарных конфигураций относительно центра завнхренности приведено. например в )117] Гс чГч лГг) 1Гт л111) 2хМ 2п11 Она монотонно убывает при увеличении полного момента (3.10) системы вихрей. В качестве меры устойчивости стационарных конфигураций могкпо припять квадрат нетривиального собственного зпачопин Л2 лицсаризованной системы уравнений движения трех вихрей (устойчивость относительного движения!).
Для томсоновских конфигураций неслоягно получить явную формулу 2 (ог ~ 112 ~ оз) Л = -3огазоз Пз (3.32) этого количество бифуркационных кривых тагыке будет различно. В частности, в случае, когда все интенсивности не равны друг другу Г1 ~ Гз ф Гз ~ Гг, будут существовать три ветви, соответствуюшпе коллинеарным движениям (рис, 31, а), При равенство двух из них, например., аг = оз ~ оз соответствуюшие две бифуркационные кривые сливаются. И, наконец, в случае равных интенсивностей аг — — аз — — аз все три кривые вырождаются в одну. 280 Гловв Ч нагорал показывает, что в случао положительных интенсивностей они устойчивы, в отличие ат коллинеарных, которые (как видно из рис. 32, а) неустойчивы.
Рнс. 32. Зависимость квадрата сабстасипога значения., апрсдслн)ащсга устойчивость и линейном орнблаженип от инчегрела полного момента лля стационарных конфигураций в компаьтаом случае а) при трех различных положительных интенсивностях; б) одной отрицательной интенсивности. Вообще говоря, справедливо следующее утверждение. подтверждаемое геометрической интерпретацией па рис. 30: если тол~сиповское решение устойчиво, то соответствующий набор лоллинеорных решений неустойчив, и наоборот.
Поэтому условие (3.32) определпет тип устойчивости не толька томсоиовских, по и коллинеарных конфигураций прп заданном значении Ю. Рассмотрим другой случай движения трех вихрей, при котором также выполнено условие (3.13). Предположим, что интенсивность одного из вихрей имеет противополо1кный знак по сравнению с двумя другими (например, Г1 = 1/иь < О). Условие (3.13) в этом случае означает, что — Г1 < Гз+Гз, т.
е. интснсивность выделенпога вихря больше интенсивности двух оставшихся. Нетрудно видеть, что все остальные возмоэкные случаи, при которых оно справедлпво, сводятся к двум рассматрипасмьчм (см. также Ч 6 гл. 4). Укажем только аспавпьчс отличии этой задачи от предыдущей. Прежде всего из формулы (3,32) для томсоновских конфигураций следуот, что они неустойчивы.
Коллипаарпая конфигурации, соответствующая точке Г (рис. 30, Ь) (их уже не три, а всего одна) при этом, наобо- 'З д. деижекие трех еехрей. Общий кажеакткий случай 281 ед .--. Ь. ег — тЯ2 1.,2 ьдп 1 с, = тУБ~: 1,2соз1. (3.33) Выражения для переменных Мд, Ллг,Мз в канонических координатах имеют вид Ме = — <-2Р(и - аь)У'~( ".з1п1 у а ч аз р,, дгА чдс2 А + (а (и — а;) 1 из(из — ад)) соз1, 4Р в где А = адаг 1 плпз + изид: В = (ад — аг) 4 (иг — из) 1 (ид — аз), 1 =~/С: В частном случае равных интенсивностей из полученных выраздений (3.34) следует выралдение для гампльтониана, приведешюе в 1188, 258), В последней работе используется классический способ редукции к задача с одной степенью свободы для продизддольпых интенсивностей (типа исключения узла по Якоби). рот, является устойчивой (рпс.
32, Ь). Бифуркапионная кривая, соответствундщан единственной коллинеарной конфигурации (см. рис. 31,1д)д находится над кривой, соответствующей томсоновской конфигурации (несложно показать, что при условии (3Л 3) полный мамонт всегда больше нуля), а область возможного движения совпадает со всем квадрантом11>0, Ь>0. Симплектические координаты длн вихрей на плоскости. Чтобы получить более полное продставлспис о рассмотренных движониях, изучим фазовый портрет системы трех вихрей на плоскости в симплектпческпх координатах. В случае (3.13) симплектнческие листы представляют собой двумерные сферы (3.!7), в качестве канонических координат удобно использовать цилиндрические координаты 1,Б (сохраним для них обозначения координат Аддгдуайс — Дспри, припнтыс в динамика твордого тела 14. 5)) для алгебры ео(3): Гласе 0' 05 -0.5 -0.5 -0.5 ) Рис, ,'И. Фазовая плоскость даа случаев: а) положительных равных интенсивностей; б) случай а5 = аз ~ аз; с) трех положительных различных интенсивностей; 0!) одной отрицательной интенсивности.
Фазовый портрет в канонических координатах описывает движение изображающей точки (А,5) по поверхности двумерной сферы. Импульс А имеет смысл ориентированной площади параллелограмма, построенного на трех вихрях (Х = 2Ь). Развертка фазового портрета представлена на рис. 33.а — д для четырех различных конкретных случаев соотношения интенсивностей вихрей. Приведенные рисунки иллюстрируют аналогию мелсду двил0ением трех вихрей и динамикой твердого тела. Сравниван рис. ЗЗ,а (в случае равных пптопснвпостсй) с фазовым портретом задачи Эйлера Пуапсо (см., например, (б, 281)5 можно связать коллннеарные конфигурации (лежащие на прямой Ь = 0) с неустойчивыми перманентными движениями твердого тела вокруг средней оси зллипсоида инерции, томсоновские решения (при которых Х/С =- 1) с вращениями вокруг большой (малой) оси зллипсоида инерции.
Периодические решения задачи двух вихрей (два из трех вихрей всегда находятся в одной точке, а их интенсивности складываютсн), лежащие иа прямой 1 = О, можно свивать с устойчивыми перманентными вращениями вокруг малой (большой) оси вллипсоида инерции. При прото>клепки системой коллипеарного поло- 3 о. Движение трех вихрей. Общий компактный случай 283 ЛаСтЬ от~(ЛХЫ 11ХЗ, МЗ) > О. ДВИЖЕНИЕ ВИХрЕй ПрОИСХОдИт ТОЛЬКО ПО ЭтОй части, поскольку при подходе траекторий границы области (и достижении вихрнми коллинеарного состояния) в уравнениях (3.9) необходимо изменить знак времени. Вид этой области несколько различен для плоскости и сферы (формулы (3.11) и (3.36)) и представлен на рис. 35. 10 10 Рнс.
35. Геометрическая картина изоморфизма задачи трех вихрей и задачи Лоттки — Вольтерра. Часть фазовой плоскости задачи Лоттки — Вольтерра, ограниченная контуром, соответствует физической области задачи трех вихрей: а) на плоскости: Ь) на сфере. Значении интенсивностей а обоих случзнх одинаковы. Злмвчлнпк б. Лпалогия с системой Лотки †Вольтер пвллетсл очень полезной при изучении проблемы коллавса вихрей и родственна регуляризапии Болина в задаче Кеплера (4) (с тем отличием, что не фиксируетсл постолпная уровня ввергни).
Вопросы рсгулярнзацни столкновения вихрей (коллапса), возникающие только в яекомпактаых слу ~аях, будут разобраны в следующел1 параграфе. Злмьчлш1в 7. Вопрос сведения задачи трех вихрей ка сфере к канонической гамильтоновой системс с одной степенью свободы является довольно сложным. Если пользоваться канонической формой записи (см. 3 2), то получается шестимерная гамильтонова система, имеющая в качестве интегралов функцию Галчильтона и аекоммутативный набор интегралов момента, каждый из которых является нелинейной функцией фазовых переменных (в отличие от случая плоскости, рассмотренного в [253)).
Канонизация редуцированной системы в переменных (ЛХ,сх) равносильна введению коорлинат Дарбу на двумерном симплектическом листе, определяемом общим уровнем функций Казимира. Опишем подробнее алгоритм построения таких координат для случая равных интенсивностей (см также приложение Н). Обобщение для различных интенсивностей не представляет принципиальных трудностей. Наиболее простой вид скобка (3.3) имеет в случае трех равных интен- сивностей на нулевом уровне линейной функции Казимира В = О.
После пе- 284 1лааа .,' Рис. 34. Бифуркационные диаграммы для случаев: я) различных положительных интенсивностей; Ь) положительных интенсивностей (дяе совпадают); с) равных положительных интенсивностей; Й) одной отрицательной интенсивности. Обозначения кривых совпадают с рис. 31. (кубичнан) имеет вид г:= (2~) + (Мз + Мг + Мз ) 1 (3.36) — 2(МзМг+ МгЛ|ь + МгМз) + — МзМгМз = 0 пг и гамильтонианом (3.3).
Геометрическая интерпретация для плоскости, представленная на рнс. 30., может быть также псрспссспа па сферу. Любопытным фактом нвляется то, что фазовые траектории в переменных Мз, Мг, Мз для случая сферы и плоскости, при заданных интенсивностях. совпаданзт с фазовыми траекторипми системы Лотки Вольтерра (3.0). При этом основные эффекты в динамике вихрей определяютсн тем, какан часть фазовых траекторий системы Лотки-- Вольтсрра попадаот в об- 'З рь движение трех еихрей. Общий компактный случай 285 пасть чзз1ЛХы Мз. 5~~) > О. Движение вихрей происходит только по этой части, поскольку при подходе траекторий границы области (и достижении вихрнми коллинеарного состоянии) в уравнениях (3.9) необходимо изменить знак времени.
Вид этой обдасти несколько различен длп плоскости и сферы 1формулы 13.11) и 13.36)) и представлен на рис. 35. 5у 10 10 1. 5 а) 10 Рис..'1о. Геометрическая картина изоморфизма задачи трех вихрей п задачи Лоттки-.Вольтерра. Часть фазовой плоскости задачи Лоттки -Вольтерра, ограниченная контуром, соответствует физической области задачи трех вихрей: в) на плоскости; Ъ) иа сфере. Значения интенсивностей в обоих случаях одинаковы. Замечании О. Аналогия с системой Лотки Вольтерра являетсн очень полезной прн изучении проблемы коллапса вихрей н родственна ржулярн:шцнн Болцна в задаче Кеплера )4) 1с тем отличием, что не фиксируетсп постонппан уровня энергии). Вопросы регулярнзации столкновения вихрей 1коллапса), возникающие только в некомпактных случаях, будут разобраны в следующем параграфе.
Злмвчлнив 7. Вопрос сведения задачи трех вихрей па сфере к канонической гамилыоновой системе с одной степеньп~ свободы авляется довольно сложным. Если пользоватьсн канонической формой записи 1см. 1 2), то получается шестнмерная гамильтонова система, имеющая в качестве интегралов функцшо Гамильтона и некоммутативный набор интегралов момента, калгдый из которых валяется нелинейной функцией фазовых переменных (в отличие от случая плоскости, рассмотренного в )2ас8)). Канонизация редуцированной системы в переменных 1М, Ь) ревносильна введению координат Ларбу на двумерном симплектическом листе, определяемом общим уровнем функций Казимира. Опишем подробнее алгоритм построения таких координат длп случая равных интенсивностей 1см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
