Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 49
Текст из файла (страница 49)
также приложение Н). Обобщение для различных интенсивностей не представлнет принципиальных трудностей. Наиболее простой вид скобка О1.3) имеет в случае трех равных интен- сивностей па пулевом уровне линейной функции Казимира 11 = О. После пс- Глаза 3 рехода (дзя линеаризации скобка (2.! 6)) к каноническому базису (по класси- фикации Бьянки (61;), скобку (2.16) можно представить в виде (е12е2) — аз+ Л(ез е2) (е 2ез) =е!! (ез, е1) = ег — — езез.
1 Л (3.37) Любопытно отъ!етит!ч !то нелинейные слагаемые. входящие в скобку (3.37), аналогичны членам, возникающим и интеграле Ковалевской уравнений Эйлера Пуассона. Симплектические координаты для пуасссоновой структуры (3.37) построим следующим образом. Выберем в качестве переменной действия А = е!. Из условия (!2А) = 1 следует. что угловая переменная является параметром времени вдоль интегральной кривой гамнльтоцова векторного поля: — = (ез! Ц = — ез — — (ез — ез). г(аз 1 2 гй ' 2Л (3.38) Без 1 = (ез.Ц = е2 Ле2ез. Фь(У) 1С = фь(У) = г — ! — У вЂ” — У . 2 2 1 з ЗЛ '1'аким образом симплсктичсскис координаты скобки (3.37) даются обращением эллиптического интеграла (3.40) и при Л вЂ” 2 ж переходят в обычпыс выражения (3.33).
Одно нз главных сечений симплектического листа для случая Г1 = Гз = =- Гз показано на рис. 36 в зависимости от кривизны к = 12!Л. При л = О, Рис. 36. Пеформация сечения симплектического листа дзя лииеаризованной алгебры вихрей па сфере в зависимости от изменения ее радиуса кривиз- ны Для интегрировании (3.38) воспользуемся функцией Казимира Г = Ь -ьез+ ез -ь — ез — — езез. (3.39) 2 2 2 1 2 1 2 ЗЛ Л Разрешая соотношение (3.39) на уровне Г = С' н полагая ш = ез, У = ез, получим 1 Я. Даилгелие трал аитрей.
Общий иаллаитиий слугай 287 симплектический лист определен алгеброй зо(8) и являетсн сферой. Изменение й приводит к поверхности. связная комнопопта которой гомеоморфпа сфере. Интересно было бы исследовать топологии1 снмллектического листа при различных значенинх интенсивностей и значениях интеграла момента Р, который принимает значения в ограниченной области. Последнее соображение позволяет отбросить некомпактные компоненты симплектических листов, так как движспио па сфере всегда фипитпо. Зливчлнив 8.
Нелинейная алгебра скобок Пуассона (2.7) не может быть изучена столь же подробно, как в плоском случае. Пннейиан аппроксимация этой структуры способна сделать некоторые качественные выводы лишь лля ситуации близкой к олповрсмсшюму коллапсу (то ость когда расстояние между вихрямн является малым по отношению к радиусу кривизны). Из этого, тем не менее можно сделать вывод о том, что необходимые условия одновременного коллапса вихрей на плоскости также справедливы и для случая сферы, так как влияние нелинейных членов вблизи коллапса пренебрежимо мало.
М1 = Мг = Мз. Условия существованин коллинеарных конфигураций (22 = Ь = 0) в случае сферы сводятся к системс из трех алгебраических уравнений. Вводя константы о1 = ~ 3 + 1 2 ог = 1 1 + 1 з~ гхз = 1 2 + 1 1., 131 ГЗ вЂ” 12, )32 11 — 13,,~2 12 11, запишем систему уравнений в ниде 2(1111М2 + М1М3 + М2М3) (М1 + 1% + 1Мз) Лг и1 Мг —, пгМЗ азМз — Р— О, (МЗ вЂ” Мг) (М1 — МЗ) (М2 — М1) 2(гт1 + сг + его + М1 з (г 1 у1 + Дгмг + 1 ЗМЗ) 2 0 1 (3.41) Обшнм приемом приведенной ниже классификации движений вихрей па сфере является продолжение по параметру полного момента стационарных конфигураций.
известных вбчизи Р - О, В последнем случае влияние кривизны пс значительно, что соответствует ужо изученной плоской задаче (это также эквивалентно рассмотрению линейной аппроксимации структуры (2.16)). Условил для томсоповских конфигураций на сфере аналогичны условиям на плоскости где Р— постоянная интеграла момента. Система (3.41) может быть решена численно. Результаты численного построения бифуркационных диаграмм для случаев различных соотношений интенсивностей представлопы па рис. 34. Зливчлнпв 9. Как н в случае плоскости нас интересуют только положитсльпыс корпи уравнений [3.41). Кромс того. заметим, что область значений функций, определяемых иптезралами энергии и момента ограничены сверху значениями 21„, и г,'„„ 2(азиз + агаз + азаз) г азигиз - =(4лг)'"" П (,222+ аг+ аз "; изигаз/а,'.
В последнем случае соответствующее значение полного момента вычисляется по формуле В„, = (4Л2)(аз + аг - аз) ~~ (из + и2 + из —; 222и2из /222) В качестве начального приближения для решений уравнений (3.41) при малых значениях полного момента выбирались корпи уравнений (3.30). Продолжение бифуркацнонпых кривых при возрастании момента (взаимных расстояний) производилось прсдиктор-коррскторпым методом с использованием итерационной процедуры Ньютона.
С помощью численных расчетов для каждого набора интенсивностей, при которых построены бифуркационные диаграммы, могут быть получены другие характористикн относительного и абсолютного двизкенип (величина угловой скорости, угол наклона плоскости вихрей по отношению к оси вращении, квадрат собственного значении, определяющий устойчивость линеарнзованной системы), Замечательным эффектом сферического движения вихрей, отсутствующим в плоском случае. является рождение новых (и в рассматриваемом случае устойчивых) коллинеарных конфигураций из задачи двух вихрей.
Так при увеличении Р происходит распад одного вихря суммарной интенсивности Г;+Г па два с интенсивностями Г, и Г . Как показано ца рис. 37, при дальнейшем увеличении Р зти конфигурации стремятся слиться с коллпнеарными конфигурациями, получающимися при продолжении по параметру из плоской задачи (при малых Р/22~), а затем перестают существовать. 'З У.
Даилселие трех аихуеп. Оба>ай холиааитиа случай 289 а) Рис. 37. 1оомстрнчсская картина рождспил коллинсарпых рсшспвй пз задачи двух вихрей. Последовательные рисунки а),!>), с) показывают изменение точек касания гранины физически допустимой области при увеличении полного момента. Обозначении соответствуют рвс. 30.
Рассмотрим бифуркационную диаграмму дзя случал Г> /. Г Гч ф 1'> (см. рис. 34,а). Томсоповскис конфигурации (штрихпупктирпая кривая) существуют лишь при энергиях Е < Ет. При )> = Пт, достигнув максимально возможного значения Ет < Е,„, томсонов- скал конфигурацил сливаетсл (точка А) с коллинеарной конфигурацией, опредсллемой наиболее нижней из веток (рис. 31, а бифуркациопиой диаграммы длл плоскости). При этом все три вихрл ле>кат в экваториальной плоскости, но расстояние между ними пе равны друг другу.
Проходя через максимум энергии Еш при 11 = с(„„эта конфигурация в дальнейшем эволюционирует по море увеличенил 1> к задаче двух вихрей (при Р = сГз). две другие ьоллииеариые конфигурации, соответствующие двум ясрхним сплошным нрпным рис. 31, а длп плоскости, сливал>гся с коллннеарными копфигурацилмп, возникал>шими из задачи двух вихрей при значениях момента г)г,с(з (распад одного вихря). Такие возникающие конфигурации отсутствуют в случае плоскости.
Их понвленпе ставовитсн понятным из рис. 37, на котором показан отрыв физической области от границ ЛХь = О. В случае. когда выло>шепа соотношение Гг = Г ~ Гз, в точке А происходит слияние не только томсоновской и коллипеариой веток, ана- 290 !йаеа 4 Рис. 38. Зависимость углов наклона нормали к плоскости вихрей по отношению к оси вращения для коллинеарных (сплошная линия) и томсоновских (штрихпунктарная) конфигураций в случае различных положительных интенсивностей Рис. 39. Угловые скорости для случаев а) различных положительных интенсивностей; Ь) положительных интенсивностей (две совпадают); с) равных полозкительных интенсивностей; Ь) одной отрицательной интенсивности.
логичных случаю плоскости, но н коллинеарной конфигурации, возникающей при В = пз — — дз (см. рис. 34,Ь). Наконец для трех равных интенсивностей все возможные конфигу- З Я.,7оиженце трех оихрей. Общий ножлоьетлый случай йьП рации сливаются вместе в точке А прн максимальном значении энергии Е = Ет = Ет и момента О = дт. В абсопотпом дни»копии при уволичопин момента (пзаимььььх расстояний) угловая скорость вращения томсоновскнх конфигураций монотонно умопьщастсн (см. рис. 39).
а угол наклона нормали треугольника к оси вращения монотонно возрастает от нуля (ьеак для плоскости) до значения х/2 п момент слияния томсоповскнх и коллипсарпых конфигураций Ьрис. 38) за исключением случая равных интенсивностей, когда наклон оси вообще не изменяется. Зливчлннв ! О. Единственно возможными стационарными конфигурациями Ь ьо есть конфигурациями., цри которых расстояние между вихрями не меняется) являются вращения вокруг некоторой неподвижной оси.
Это следствие представимости уравнений вихревой динамики в виде уравнений цереого порядка относительно динамических переменных. При этом, если три вихря находятся в экваториальной плоскости, то вектор углоеььй скорости всегда лежит в этой плоскости. В отличие от томсоновских конфигураций, ось вращения для коллинеарных конфигураций всегда лежит в плоскости вихрей и не меняется нн прн каких значениях момента. Поведение угловой скорости вращения коллинеарных конфигураций от момента В является достаточно сложным (39).
На монотонное спадание графиков, характерное для плоского случая. накладывается их слияние, что приводит к достаточно запутанным кривым. Стоит отметить большую величину угловой скорости, возникающую в момент рождения нового вихря из задачи двух вихрей. В рамках принятой модели это уволиченпе угловой скорости относитсн к разным траекториям, по осли присутствует еьслабая» диссипация и константы энергии и момента медленно эвольоционнруют, то их возможно наблюдать и для конкретного двнжопнн Ьпри этом в системс происходит такжо скачки давления). Конечно, дополнительным условием наблюдаемостн таких эффсктоп и физической ситуации является устойчивость соответствующих стационарных движений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
