Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 53
Текст из файла (страница 53)
а. Центрально-симметричное решение при П = О. Уравнения движения четырех вихрей па сфере Яй) (плоский случай получается предельным переходом В -+ ов) при условии Гз = Гз, Гл = Гл допуска- ГЭ Л. Раэреиэиээие задачи динажини пизрей на иэосноспш и сфере,'51:5 ют инвариантные соотношения ЛХ14 ™гз ™м — 15ХО ЛХэг — ЛХза — ЛХз~ (5. 7) э5гза .- ьзгзг =. азы сзгш — сизы "- эзг М, 1 Г, движения. Рис, 52 Уравнения, описывающие зволюцииэ сторон ЛХОЛХз и диагоналей Мш =- Мг, ЛХгз = ЛХа параллелограмма.
имеют вид — ~ +4ггй„ ЛХз ) — ~ + 4Ггсзэ 1 1 ЛХэ ) Мэ = 4Гг~г ( —— (,М, ЛХЗ = 4Г1эзг Г— /1 ЛХг — 81 г эбинг (,Мз ЛХа = 8Г,Ь, ~ —— Х 1 (,ЛХз (5. 8) Геометрические соотношения (2.19) с учетом (5.7) представим в форме Ьэ (4Л вЂ” ЛХг) + эзг (4ХХ~ — ЛХэ — Мз) = О, 5, (4ХХг М, — Мз) 5 5г (4Дг ЛХ,) (5.9) (Соотношения (5.7) определяют непуассоново подмногообразие). Геометричоский смысл уравнений (5.7) в том, что центрально- симметричная вонфигурация вихрей параллелограмм, сохраняет зту симметрию во все моменты времени (см.
рис. 52). Анализ центрально-симметричного решения в абсолютных переменных Г. прн помощи явных квадратур выполнен Д. Н. Горячевым (53) (см. также (182)). Мэ М, э Однако он мало прояснил качественные свойства движения и привел к очень 3 запутанной классификации. Приведем 1' М, Г, качественный анализ относительного Глава Х Система (5.9) разрешима относительно Ь1, Ьг при условии 2(ЛХ1 + ЛХз) — (Мг + М1) + —. (МгЛХ1 — (ЛХ1 + ЛХз) ) = О.
(5.10) 4111 Линейный интеграл уравнений (5.8), соотвстству1ощий функции Еази- мира (1.18), имеет вид Хг 21"1Гг(М1 + Мз) + Г1Мг + 1 г зХ4- (5.11) Л11 = -Ьг = Ь, 2(ЛХ1 + Мз) — (ЛХг + ЛХв) = 0 (5.12) Учитывая, что в (5.!1) О = О, находим уравнение, описывающее тра- екторию системы на плоскости М1, Мз (стороны параллелограмма) в(ЛХ1 ЛХ1 (2Г1Гг(М1 -! Мз) -! (Г, -' Гг)ЛХз) (5.13) в(Мз Мз (2Г1Гг(М1 + Мз) + (Г1 ' 11)М1) Решение этого уравнения имеет вид (Л!1 — ЛХ1) = (ЛХ1 + ЛХз) — С' (ЛХ1 + ЛХз) (5 !4) 11 ~ 11 гг =,, С = сонэк 1 г 1 г (показатель ж < О., в силу того, что прп Й = 0 интенсивности Г1.,Г1 разного знака).
В квадранте ЛХ1 > О., ЛХг > О, (который соответствует физической области), в зависимости от гл возможны три типа траекторий (5.14): С помощью соотношений (5,9), (5.10), (5.11) и рсгуляризации прсмспи система (5.8) может быть спсдспа к двум неоднородным уравнениям, описывающим эволюцию сторон параллелограмма М1, ЛХз. Для простоты ограпичимсн случаем Ю = О, являкзщимся также необходимым условием коллапса (!28). Геометрическая интерпретация на плоскости и сфере несколько отлича1отся, поэтому рассмотрим эти случаи по отдельности.
1) Соотношения (5,9), (5.10) длн плоскости (Л вЂ” 1 ос) имеют вид 23. Разроишосио задачи дииазсики оизреп иа иаосаоосии и ссХсоро 315 1'. — 1 < сз < О все траектории замкнуты, выходят из начала координат. касаясь осей ОМс ОМз (см. рис. 53,а) (неоднородный коллапс). 2'. сс < — 1 . траектории —. кривые, асимптотически приближающиеся к координатным осям ( см. рис.
53, Ь). 0.2 0.4 06 М, Гс = -0.183, 'о) Гс = 2.0, Ус = 0.0. 0.2 0,4 М, Гс = -0.183, М, 1 Гс = — 1.5 з) Гс = 2.0, к = 0.0. с'.) Гс = 0.083, /с = 0.0. Рнс. 53 Физи сескан область на плоскости ЛХы Мз определяется той частью положительного квадранта (Мд > О, ЛХз > 0), для которой выполнено неравенство сзз > О. При достижении траекторией границы Ь~ = И в уравнении (5.13)„необходимо поменять знак (отразить), зто соответствует той же траектории, проходимой в обратном порядка.
Как легко показать, ураннепио сзз = О опрсделяот дпе прнмые на плоскости ЛХы Мз, которые при любых интенсивностях ГмГз располагаются внутри квадранта ЛХс > О, Мз > О. Следовательно, за исклкзчением случаи 3* вихри двиокутся в ограниченной области без столкновений и разбегания. В случае 3' в системе либо происходит однородный коллапс всех вихрей, либо однородное разбегание. Для плоской задачи каждой точке, траокторни па плоскости ЛХО Мз соотпстствусот две конфигурации вих- 3'.
сс = --1 все траектории прямые, проходнщне через начало координат (см. рис. о3,с) (однородный коллапс) (128). Глава 4 рой, которью отлича<отсн лишь поростапопкой: 1 е+ 34 либо 2 4+ 4 (см, рис '22) Злигчзнив 4. Условие однородного коллапса (и —. — 1) из анализа движении в абсолютных переменных получено в (128]. В силу квазиоднородности уравнений его можно получить. исследуя условия сущестоованип у системы решений вида М, = СП<, С, = сопш. Зликчлшш б. Для плоскости система (б.8) при помощи регулпрнзацни 442 ЛХ<МЗЛХз Мл приводится к однородной гамнльтоповой системс <ХМ< дт 1 <М<М4(МЗ М2) ~ Г2М<ЛХ2(М4 МЗ) ДМ, <Зт = 1 <МЗМ4(М2 М<) 4 Г2М2МЗ(ЛХ< МЗ)< <ХМЗ <Хт = 2Г2М2ЛХ4(М< — МЗ), <1ЛХ4 <Хт = 2Г<ЛХЗЛХЗ(Мз — М<) со скобкой Пуассона вида (М<, М4) . — — М<МЗЛХзМ4< 1 Гз (ЛХЗ< М4) = —,М<МЗМЗЛХ4 1 Гг (б Гб) и гамильтоннаном Н = 2Г<1 2 1пМ<+ Г, 1пМЗ-Ь 2ГЗГЗ!п Из+ 12!и |ЪЬ.
Пуассонову структуру (5.1б) можно получить, использул общую схему редукции, излол<снную в б 8 гл. 1. Ранг скобки (б.15) равен двум, слсдоватслыю, поделив па М<ЛХЗМЗЛХ4, сс можно свести к постоннной без нарушенип таз<пестов Нкоби. 2) Длк центрально-симметричной конфигурации на сфере также рассмотрим проекцию траекторий па плоскость МЗ,МЗ (см. рнс. 54). Помимо того, что меняется вид физической области, определяемой неравенствами <л~ > О. з' = 1,2, возникают 1М<, МЗ) = — М<МЗМз М<, 1 ГЗ (МЗ МЗ) — М<ЛХ22"ХЗМ4< 1 Г (М, М4) = О. (М< Мз) —" — ( — — — ) М<МЗМЗЛХ4. 2 (Г< ГЗ) 3' д.
Разрешилчые задачи дина,нани вихрей на нлосности и сфере 317 два отличия от плоского случая, свнзанные с нелинейностью уравнения (5.10). Во-первых, каждой точке ЛХыМз соответствуют два решения уравнения (5.10), и следовательно два различных (пространственных) параллелограмма с заданными сторонами на сфере, которые не сводятся друг к другу перестановкой 1 4 3 (2 -г 4). Во-вторых, система (5.8) не сводится к двум квазиоднородным уравнениям, Выразим г54 и г52 из (5.9) с сохранением однородности ~г = (ЛХ4 — ЛА — ЛХз)Ь, Ьг = (Мг — Мг — Мз)43. (5.16) и сделаем замену 4Ь М ЛХ Получается система, описывающая эволюцию псрсмсппых Мы ЛХ2, Мз, М4 ( Мг М1 Мз)(ЛХЗ ™2) ЛХ4 =- Мг Гг + .
(М4 — Мг — ЛХ3)(ЛХз — М4) +Г2 М4 ЛХз = ЛХз Г1 (ЛХ2 М1 ЛХ3 ) (М2 ЛХг ) < + (5.17) (М4 М1 Мз)Я4 ЛХг) М Мг = 2Гг(Мг ЛХг Мз)(Мг Мз) М4 = 2Гг(М4 — ЛХг — Мз)(Мг — ЛХз) Приведем линейную замену. переменных, сводящую систему (5.17) к двум дифференциальным уравнениям в наиболее простой форме. Выберем переменные 2:, р, ЛХ, гч': х 1 1М2 — Г2М4~ н 13М2 Г2ЛХ4, (5.18) М = Мг + ЛХз: ЛХ = Мг — ЛХз. С помощью соотношения (5.11) прн В = 0 и (5.10), которое принимает вид (5.10) 167(2Г4Г2(Г4 + Гг) Глава 4 — У (213дХ вЂ” Гд + Гг)(2ЙУ(Гд + 21'г) — Гд(1'д + 31'г)(1'д + Гг))) + (5. 20) Г,Р:д+Г,(Г, +Г,)) „чддр д', дд хдд„(д, ддд) дд.(д. Хд)в', ддз)~.
Проекция траектории у(1), ду(д) па плоскость М,,ЛХз опРеделЯетсЯ фоРмУлами Мд = — (М + ддд), ЛХз 1 2 — (М вЂ” ддд) где 2 ,,г у г г г. (ГдГг < О). (5.21) 2ГдГг(Гд + Гг) ' 16К'ГдГг(Гд + Г,) Уравнение (5.21) допускает вешественные решения лишь при М < (Гд — Гг) < ЛХ„„,,„, = — Лд. Поэтому в случае сферы физически доступ- Г,Г пая область на плоскости определяется неравенствами (5.22) Мд т ЛХз < М„„,, 4д3 =2(МдЛХз - МзМд+ МдМз)— — М вЂ” М вЂ” М вЂ” — МдМзМл > 0 г г г 1 з л Лг 4дзг — — 2(М,Мг ™зМг + ЛХ,Мз)— д% % дЛХг г Мд ЛХзМг > 0.
ХХг (5.23) В области (5.22) уравнение (5.21) имоет два корня, поэтому на плоскость Мд, Мз проектируются две различимо области возможных расположопий вихрей, опрсдсляомыс порапспствами (5.23) и уравнениями (5.21). Если области (5.23) не достигают исключим ад ЛХ из (5.17). В результате получаются уравнения для эволюции уды — = 4(Гд + Гг)удд', ду Вт "3 6. Разрешимые задачи динажиии оизреа на иооеноети и сфере 319 Мз 02 о4М, Г, = -0.163., а) Гг = 2.0, 4 = 0.6. 02 04 Р1 = — 1.6, Ь) Гг = 2.0, й = 0.0. 0,2 0.4 М, Г1 = -ои63, М, с) 1'3 = 0.683, 0 = 0.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
