Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 55
Текст из файла (страница 55)
приложение С). Следу!Ощее решение системы (5.36) коллинеарные конфигурации: Л' одинаковых вихрей на прямой вращаются с угловой Рис. 57 скоростью () вокруг оси, лежащей в плоскости. Такого рода коллипсарные конфигурации восходят еще к Стилтьесу [1171 и изучалпсь Калоджсро [213;. На сфере радиуса Л коллипоарпан конфигурация вращается вокруг оси 2 с угловой скоростью Й (см.
рис. 58). За исследование таких конфигураций Дж. Дж. Томсон был удостоен премии Адамса в 1883 г. [328]. сртн решения легли в основу пропагандировавшейся В. Кельвином (до создания квантовой механики) теории вихровых атомов. Аналогичная конфигурация вихрей равной интенсивности на сфере радиуса Л располагается, согласно уравнениям (2.7), на широте о = 0О, координаты !р связаны условиями:срь — !о! = (й — !)2я!)У (см. рис.
57). Угловая скорость вращения вокруг оси 2: Глава 4 Коллипсарпыс конфигурации па сфере указаны в (205). Их можно найти, используя следующее условие — коордиваты р„точечных вихрей имеют равные значения, или отличаются на я. При этом Ь; ~(М) = О, а координаты ав (О < О < 2я) являпггся корнями системы тригонометрических уравнений: ! (Ла.а(,=З'ГЛГ(" "), $1(~(Ж). аЛ9) 2 Рассмотрим балов подробно систему вихрей равной интенсивности Гь = 1, 1 = 1,, Ж. В этом случае корни Ов определяющие коллинеарпые конфигурации, мазано найти как полткеннп равновесия системы (т' частиц на окружности, задаваемой гамильтонианом Х Я я в= (Я)' (( яа~ ч гг ~ 1 ~ ( ') . (((а ' 1=1 в=1 цл=1 Действительно, положения равновесия та- Е кой цепочки частиц совпадают с корнями системы (5.39). Такая связь в плоском случае была отмечена Еалоджеро (213).
Попоженил одинаковых вихрей на прямой в плоском случае задаются пулями полипома 'о -- Эрмита Л'-ой степени. Система (5.40) при 11 = 0 рассматривалась в работах (230) при О изучении статистических свойств уровней энергии одномерного классического кулоновского газа. В книге (137) приведены результаты анализа положений равновесия систомы (5.40) при й = 0: О; = во + йтг/Ж, Й = 1,..., Ж на линейную устойчивость. Отметим, что задача, опредсляемая гаРис.
58 мильтонианом (5.40), в общем случае не является интегрируемой (как и в плоском случае (213,'). На рис. 59 приведен фазовый портрет отображения Пуанкаре при Ж = 2,Й ф О. Паличие областей стохасти шости свидетельствует о цеиптегрируемости гамильтоновых уравнений движения (5.40). Э»5 Разрешил»ы«лада«и дипажипв оихр«й на плоскости и сфере 327 Случай же цепочки «атомов» на окружности бгз «внешнего» потенциального поля (Й = О), взаимодействуанцих по закону (5АО), положения равновесия котор»лх совпадают со статической коллинеарной конфигурацией вихрей на мериди- р в 2 ' 4 '- 6 Рпс.
59 Рис. 60 ане, заслуживает особого рассмотрения. Более подробно вопрос о интегрируемости системы (5.40), называемой также системой Дайсона, обсуждаются в приложении Е. Опо оказывается также псиптсгрирусмой., но обладает «квазиинтеграломк хорошо аппроксимирующим поведение системы при малых значениях энергии. Ь. Статические конфигурации. Можно показать из условий (5.36), что конфигурации в~«хрей равной интенсивности, форь«ирующнс платоновы тола (правильные многогранники: тотраэдр, октаэдр, куб, икосаэдр, додеьаэдр) [47, ог0), также являются стациопарны- тстраэдр куб ми. Из соображений симметрии очевидно, что платоновы тела статичны.
то есть не вращаются. Действительно, произвольное расположение вихрей па сфере ведает начальные условия в фазовом пространстве (задачу 1(оши). В рассмат- икосаэдр риваемом случае угловая скорость вра- оптшэдр щения платонова тела будот равна нулю о силу отсутствия выделенной оси вращения. Заметим, что на плоскости не существует статических конфигураций из вихрей равной интенсивности (117).
Зливчлнив. Интересной, но и достаточно додекаэдо сложной, является проблема устойчивости статических конфигураций ва сфере. Даже в случае интегрируемой ситуации трех вихрей вопрос об их устойчивости не может быть рсшсп до конца в линейном приближении, вследствие наличия резонанса с нулевой частотой. Было бы интересно исследовать степень устойчивости пространственных сгвтических конфигураций (например тетраэдр, 328 Глава 3 в случае четырех вихрей) по сравнению с плоской конфигурацией (четыре вихря, рэспологггенные в вершинах квадрата). Очевидно, все эти вопросы имеют важное значение длн физвки атмосферы.
Условия существования устойчивых стационарных (статичесшгх) конфигураций. найденных для модели идеальной жидкости, справедливы и при наличии небольшой вязкости (эта модель лвляется хорошим приближением для атмосферы Земли). Вихри (циклоны, смерчи) будут стремитьсл пгпшсть в эти состоянии и находиться в них достаточно долго. Если в электростатике запрет на существование устойчивых конфигураций зарядов накладывается в трехмерном случае теоремой Ирншоу, то вопрос о возможности устойчивых статических конфигураций вихрей произвольных интенсивностей на сфере остается пока открытым. Кельвин разрабатывал вихрсвуго статику, развивая концепцииг плоских вихревых атомов [329], Трудно сказать, знал ли он о сферических конфнгурацях, но несомненно они ближе к наглядным представленинм Демокрита об атомах.
9 б. Классификация и алгебраическая интерпретация системы и-вихрей на плоскости В 3 1 было пргипедено наивное описание динамики точечных вихрей па плоскости с полющью псрсмсппых расстояний и площадей, которые определяют структуру Ли Пуассона. В этой главе мы рассмотрим более формальные построения;198'.. Зададим координаты вихрей шы дь, Й = 1,..., и комплексными числами лл = шь — ' гйь, гс = 1,..., ги Набор в = (лгг...,ло) определяет вектор и комплексном линейном пространстве Сэ.
в котором имеется эрмитова форма вида (т,ш)г — — ~~г Ггзгйгг, Г; с В. (6.1) г=г Мнимая часть (6.1) задает спмплектнчоскую форму, соответствующую скобке Пуассона (1.3) )зэ, р1) = —. Оказывается, что в перемен- Г;' ных М,Ь получается скобка Ли -Пуассона (1.10), линейно зависящая от обратных интенсивностей. 1. Вихревая алгебра и ливны пучки, Для определения вещестоопцого типа соотпстстпугощсй алгебры Ли укажем явный изоморфнзм с некоторым лиевым пучком Я 5 гл.
1, 39 гл. 2). 'З б. Классификация и ал«ебраическая интерпретация 329 Рассмотрим пространство косоэрмитовых матриц размера и х и и надпространство А в вем, порол«денное матрицами следукнцего вида: О 1 — 1 — 1 О ! 1 — 1 О ч — 1 , Мил= «и — ! гзт,р, = т 16.2) Приведем осповпыс свойства этого надпространства, которые проверяются прямым вычислением. Предложение 1.
1) Нодпрошпршпипво 1, является подвлгеброй Ли, 2) Эта подалгибра изоморфна и!и — Ц, У) Беитро.н этой пвдалгебр«я яишется злелшкт вида 2 М ~кд Л) Элементы Ь|,яя порождают подалгебРУ в Х изол«оРфнУю эо1«с — 1), з) Лмее«п лшгто следующее соотношение для любых к,1, г«и ис Ьыы + «2мкк + Ьшк+ Ь«ык = О, б) Коммутационные соотношения в алгебре Ь совпадают с «вихревой скобкой» (1.10) для слу шя, когда все интенсивности равны между собой (и равны единице). Следовательно., !6.2) задаат и-морпос !унитарное) липойпоо прод- ставление алгебры Ли и!«с — !).
Таких неприводимых представлений не существует, поэтому опо разлагастся и сумму стандартного и — 1 представления и одномерного тривиального представления. Это разложение устроено следующим образом. Предложение 2. Пространство првдгтавления Ъ' = С" разлагаепгся в ««рялщю сумму инвариантых подпространсзпв 1г = Ъ~ 611г, где 1 з = С" задается уравнением хч+хз+ ° .+хо = О, а одномерное ««ог)простра««ство 1гз = С натянуто иа век«пор яо = )1.1. ° °,1). .'ИО Глава 4 Перейдем к случаю произвольных интенсивностей Г»,,Г„. Рассмотрим лиса пучок не алгебре косоэрмитовых 1»1 х Х вЂ” матриц, порожденный коммутаторами вида Х,1)г., = ХГ-1à — ГГ-»Х.
(б.З) где Г вещественная диагопельная матрице виде 1 г, 1 г, à — 1 (6.4) Замечательным явлвется тот факт, что цодалгебра ! является замкнутой относительно коммутатора [ч [г- и, следовательно, семейство коммутаторов порождает некоторый лиев пучок па В. Более того, ограничивая на Е коммутатор [, )г -, мы получаем алгебру Ли, изоморфпу»о «вихревой алгебре» Ьг, отвечающей интенсивностям Г«,...,Г„. Таким обрезом, можно установить симметричный изоморфизм между семейством вихревых алгебр и несложным лиевым пучком. Пользуясь этой конструкцией, опишем свойства вихревых алгебр.
Предложение 3. При иоложительн»1х Г; вихревая алгебра изол«орд»- иа и(я — 1). Доказательство. Соотвстству1ощий изоморфизм строится слсду1ощим образом. Пусть все интенсивности равны единице. Все матрицы (6.2) являютса косоэРмитовыми, УДовлствоРЯ1от слсДУ1ошсмУ свойствУ Алв = О, где хв --. вектор с координатами (1, 1, ..., Ц.
Другими словами, этот вектор инвариантен под действием вихревой алгебры. Следовательно, инвариантно и его ортогональное дополнение, то есть гиперплоскость 11 = (я[ ) »1 = О). Рассмотрим все косоэрмитовы метрицы, обладающие этим свойством (то есть запуля»ощис фиксироваппыс вектор) — они образу1от подалгебру и(и — 1). Таким образом, вихревая подалгсбра вкладывается в и(и — 1). Но их размерности совпадая»т, поэтому совпадают и сами алгебры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
