Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Согласно (4.10), физическая область при а1 у. '1,оз у': 1 (таких, что А < О) представляет собой внутренность острого угла, целиком расположенного внутри квадранта йХ, > О,Мз > О. Если а1 — — 1 (оз — — 1), одна нз сторон физической области совпадает с осью ОЯХх (ОМх). В случае ох = аз = 1 движение разрешено во всем квадранте Мл > О, Мз > О. Сравнивая возможные типы траекторий (при А < О, Ю 0) с типами областей движения с учетом того, что при достижении границы двигается по той же траектории в обратном направлении, заключаем: 'з' о. Разрешимые задачи дека.илии вихрей ио ииосиости и сфере 307 Уравнения движения для них имеют вид ь хь ..'сь((Гг — Гз)г:ь + Ггхг — Ггхг), (4,12) а соотношение, ограпичипаьощос физическую область ьзг > О, по измо- нится 2(хьхг + хьхз + хгхз) — хь — хг — хз > 0 (4.13) Выберем, как и выше аг = — 1, аг,аз > О.
Траек|ория в пространстве переменных х„хг,хг задается интегралами момента Р и энергии С., которые можно представить в форме ьььхь ь ььгхг г азтз Рзггьгг ьз (4,14) хе.-е,-ьхе,—.г-ь, ьче,че, = Г = С. 1 г 1 При Р = 0 ьилы траекторий (раздел 3, случаи 1', 2', 3'), определнемые (4,14), аналогичны разобраным выше. Неоднородному рассеяпиьо !' в система трех вихрей соответствует неоднородный коллапс в системе (4.12). прп условиях а) аь = 1, 6) аг = 1, с) оь = аг = 1. Однородный коллапс и рассеяние 3' в переменных М; остаютсн однородными в системс хь, меняется только направление движения по траекториям. Явные квадратуры и анализ абсолютного движения в этом случае приведены в [105].
Числсььпос исследование при Р ф 0 также показывает, что в системе (4.12) существуют только траектории типов 1', 2', 3' предыдущего пункта. В связи с этим, по видимому, наличие в системе вихревой лары (аь = 1 или аг = 1) явлаетсн необходимым и достаточным условием рассеяния. В 5. Разрешимые задачи динамики вихрей на плоскости и сфере В отличие от задач двух и трех вихрей, систома четырех вихрей на плоскости в общем случае уже не является интегрируемой [218ь 127, 117]. На сфере имеет место аналогичная ситуация,"б, 14, 193].
Для задачи четырех вихрей на плоскости имеются частные случаи интегрируемости. достаточно полный обзор которых содерэььится в книге [117]. Известны также частные решения (стационарные и статические конфигурации) системы гь вихрей па плоскости [117]. Их сферические аналоги 308 1йааа З указаны в [200).
Здесь мы остановимся на наиболее известных решениях с точки зрения методов. развитых в предыдущих параграфах. 1. Частный случай задачи Х вихрей, сведение к задаче (Х вЂ” Ц вихрей. Существует частный случай задачи Ю вихрей па плоскости и сфере, для которого она может быть сведена к системе (Х вЂ” Ц вихрей с той же алгеброй скобок Пуассона, но приведенной функцией 1'амильтона. Процедура редукции в гамильтоновом описании соответствует ограничению системы на пуассоново подмногообразие Я 1 гл. Ц, которое определпетсн в данном случае услоизями инволютивности интегралов (1.4), (2.10). Для плоскости они принимают вид Г;=О, !1=Р=О, =ь Р=О, (Ь.
Ц где !1, Р— абсолкзные координаты центра завпхренности на плоскос- ти (1.4). Для сферы аналогично получаем Рз =Гз = Рз =О, сз Р =Р,„= 2(Л~~~ Гз) . (ш2) Здесь Г; интегралы (2.10) длн сферических вихрей. Зливчлнив 1. Геометрический смысл уравнений (б.1) состоит в том. что каждый вихрь находится в центре взвихренности всех остальных вихрей. к.з Действительно, выражая, например, Гн = — ~ Г, из (6.Ц получаем, что ,=1 абсолютные координаты Х вЂ” го вихря определяются выражениями л-1 Г,г, =1 ~„Г; На сфере геометрический смысл соотношений (5.2) несколько иной, он закл~очается в том, что центр завихрсвиости системы Я вихрей совпадает с геометрическим центром сферы.
Указанное нилзе сведение происходит вследствие возмолзности определения положения Ж вихрей по положению всего (Ж вЂ” Ц-го вихря. Для нахождении дополнительных инвариантных соотношений длн "2 о. Разреишжме задано динажили вихрей на ллоелоети и е4ере 309 относительных переменных воспользуемся тождествами (117] Т1,(М ь — Мгл) = Р(ге — х.) + 11(ре — дд) 1 2 (5.3) н длн плоскости, которые выполняются лишь при условии ~~ Г; = О, и 1=1 их обобщениями для сферы (205) 1"ь(М11 — Мгл) = В®(х, хе) ~ Рз(Ш йд) 1 Рз(21 " 21)).
Ь=-1 (5А) ~" гл(Лхд, — Мел) =0. (5 ) Их необходимо дополнить соотношениями для Ь;.1о которые также следуют из (5.1), (5.2). Иак можно показать пспосродствсппыми вычислениями, полный набор этих соотношений определяет пуассоново подмногообразио структур (1.10), (2.14), (2.16). Используя представление для М; в абсоллттных координатах (!.7), неслоз1но проверить, что среди уравнений (5.5) только Л' — 1 линейно независимых. С помощью них мо1кно выразить квадраты расстояний от всех вихрей до 12'-того вихри Ме12, 11 = 1,..., Х вЂ” ! через взаимные расстояния между Х вЂ” 1 вихрнми ЛХ11ч 1,1 = 1,...,111 — 1. Подставлян их затем в исходный гамильтониан, получим систему со скобкой задачи Л" — 1 вихря и приведенной функцией Гамильтона.
Для случаи четырех вихрей явные формулы квадратов расстояний от первых трех вихрей до четвертого вихря М14. Л1гш Мзе имеют вид Гцкз + Г2Мы + Г2Гз(М12 — Мгз + М12) 1 Мы— (5.6) (Г1 + Г2+ Гз)2 соответствующий приведенный гамнльтопиап получается подстанов- кой (5.6) в исходный (1.2). При условиях (5.1), (5,2) получаем Сзч инвариантных соотношений для М0 310 Глава з' Так как систсьла трех вихрей иптсгрирусма [впс зависимости от гамильтониана.
заданного на алгебре [3.3)), описанный случай соответствует частному слу абаю интегрируемости задачи четырех вихрей [восходнп1ему к Кирхгофу [74]). 0.5 0.5 Рис. 50. Фазовый портрет движения четырех вихрей на плоскости с нулевой суммарной интенсивностью для случаев а) а1 ~ аз ~ аз ф- а К Ь) а| = ал = аз. Влмечлнне 2, В работе [233] выполнено понижение порядка и приведены фазовые портреты интегрируемого случая задачи с пулевой суммарной интенсивностью и нулевым суммарным моментом. При этом использована каноническая форма записи уравнений движения.
В то же время яа симплектическом листе алгебры трех вихрей, определяемом появившемся [вследствне интегрируемости) инвариантным соотношением типа интеграла момента с константой Вм имеются стандартные каноянческие переменные Х, |. условие компактности симплсктичсского листа будет иметь очень простую форму --. З б. Разрешимые задачи динамики оилрей ка олослосто и сфере З11 три вихря из четырех имеют интенсивности одного знака. В компактном случае при различных значениях интенсивностей фазоные портреты представлены па рис. 50, а проекции траекторий па плоскость М>. Мз, Ме пз рис.
01. Н общей ситуации нарезных интенсивностей имеетсн шесть коллинеарных устойчивых решений н три неколлпневрных неустойчивых. Последние решении обобщают томсоновские конфигурации. однако расстояния между вихрлми не равны друг другу, Связь между энергией Е и моментом Е>> для стационарных рси>опий опрсдсляотя зависимостью — (Г +Г +Г) где 1(Г» Гз, Гз) — — некоторая функция> зависящая от интенсивностей.
Бифуркационный лнолич, состоящий в нахождении явного вида функции 1'(Г>, Гз, Ге), может быть выполнен аналогично З 3. В случае> осли имеются лишь две интенсивности одного зпонл, симплсктический лист некомнок>ен и м>пут существовать рассеивал>щне движении. Регулярное рассеяние> например> возможно в случае взаимодействия двух (вообще говоря, различных) вихревых пар (2ЗЗ) (рис. ЬЗ). Насколько нем известно, в общем случае условия ноллапса и рассеянии в рассматриваемой задаче пс изучены. Немкчлник 3.
Укнзонные частные случаи интегрнруемости соответствуют ситуации, при которой один из интегролон достигает своего экстре>аольного зночения. Очевидно, что при этом в системе обязательно появляются дополнительные инвориаптпые соотношения. Для интегрируемых систем зто приводит к дополнительному вырождению. Примером может служить случай Делоне для волчка Ковалевской. В этом случве интеграл Ковалевской, являющийся суммой двух полных квадратов обращоетсн в ноль, и двумерные торы вырождаются а одномерные (периодические и асимптотические решения). 2. Частные решения в звдаче 4-х вихрей.
Общие уравценин движения вихрей (Я1,2) прн некоторых ограничениях на интенсивности Г; допускает конечную группу симметрий, элементами которой явлнются перестановки и отрвжения в некоторых плоскостях. Такие дискрстпыо симметрии пс приладят к существованию общих интегралов движения и не позволяют понизить порядок системы. Однако налично этих симметрий спнзвцо с ипнвривптцыми подмпогообразиями, рещение нв которых может быть, как правило, получено в квадратурах (117„",.
Рассмотрим две звдачи динамики четырех вихрей ца плоскости и сфере, обладающих двумя типами симметрии центрнчьно- Глаза з' ь) Рис. йт. Геометрическая проекция для случая 4 вихрей на плоскости при нулевой суммарной завихренности; а) аз = юз = аз, б) аз = аз ~ оз; в) азу ззХ з. симметричная и зеркально-симметричная (для плоскости также — осссимметричная).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
