Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 51
Текст из файла (страница 51)
45. Рис. 45. Геометрическал интерпретации длл сферы при различных значениях параметроо,4, Я, Р. Темным цветом обозначена область положитольпых значений Ми > О, длл которой Ь~ > О. Случай А < О и 5 > О. Ереме томсоновской н коллннеарной конфигураций, имеющихсл в плоском случае, при В > О здесь возникают еще дво коллпнеарные конфигурации, понвляющиссл из задачи двух вихрей 1рис.
44, а). При продолжении по моменту одна из пих сливастсн сначала с томсоповской, которая исчезает при значении с!и,, а затем с коллинеарпой конфигурацией, имеющей аналог па плоскости, после ного также исчезает. При В > ~!з и Р < с)1 стационарных конфигураций не существует. Томсононские конфигурация н данном случае всегда неустойчивы 1рис. 46, а), а коллинеарные конфигурации устойчивы. Случай А < О и Я < О.
Здесь происходит слияние томсоновской ВОО и одной из коллинеарных (наиболее близких к томсоновской по энергии) конфигурации (рис. 44,Ь). Кроме того, возникают коллипеарные конфигурации из задачи двух вихрей (для одной из ннх Е -+ оо при совпадении вихрей из-за наличия одной отрицательной ип"гспсивпостн). Одна нз ннх продоикается в область положительных значений Р. Томсоновская конфигурация. как и в плоском случае. устойчива в линейном приближении (рис.
46. Ь). Устойчивыми явлпютск и некоторые из коллинеарных конфигураций. Одна из них становится устойчивой при слиянии с томсоновской, а другая -- теряет устойчивость прн слиянии с неустойчивой коллинеарной конфигурацией. Случай А < О и Я = О. Вместо одной коллинеарной конфигурации в случае плоскости при отрицательных значениях Р, в данном случае возникает три различных ветви коллинеарных конфигураций, причем две из ннх существуют также при Р > О (см. рис. 44, с). Решение с более высокой энергией неустойчиво при Р > О, с более низкой устойчиво, При Р < О ситуация обратная.
Как и на плоскости, томсоновские решения присутствуют лишь при Р = О. В этом случае все траектории являются коллапсирующими (рис. 45, Ь). Наконец„прн условии .4 = О, бпфуркациоппан диаграмма приведена на рис. 44,<1. Как и в плоском случае., стационарные решения существуют только при Р > О, (рис. 45,) — 1).
Отличие состоит в появлении коллинеарных конфигураций из задачи двух вихрей. Одна из таких конфигураций сливается с томсоновской, после чего они обе изчезают. Все коллинеарные решении устойчивы, а томсоновское — неустойчиво (рис. 46, 4). Зависимость угловой скорости вращсцин для перечисленных ситуаций представлена на рнс. 47. Как и в компактном случае происходит резкое увеличении частоты вращении при возникновение третьего вихря из задачи двух вихрей. Изучение динамики угла наклона оси вращения к плоскости вихрей показывает, что в первых двух перечисленных случаях происходит постепенное изменение угла наклона осн от нули до к/2, в результате чего ось вращения стремится занять положение в плоскости вихрей и соответствующая томсоновская конфигурация переходит в коллинеарную (рпс. 48).
3. Условие коллапса вихрей иа плоскости и сфере. Рассмотрим условия возникновения коллапса трех вихрей ца плоскости и сфере. Известно, что коллапс невозможен для взнтой отдельно лкхбой из пар ОО1 Деихеение трех вихрей. Некемнактнмй случай Рис. 46. Коэффициент устойчивости па сфере для случаев а) А < О и Я > О: б) А < О и Я < О:, с) А < О и Я = О: (1) А = О и Я > О. вихрей, поскольку при сближении такой пары влииние третьего (удалецкого) вихря пренебрежимо мало, а два вихря па плоскости (сфере) двигаются относительно друг друга так., что расстояние между ними сохреняется. Необходимым условием коллапса является выполнение В = О, так как при етом все Мь = И.
Условие В = И позволяет перейти от четырехмерной алгебры Ли к трехмерной при атом реальная динамика происходит па сингулярном симплсктнчсскоы листе, причем нетривиальный сингулярный симплектический лист (поверхность конуса) будет соответствовать только алгебре ео(2, 1). Аяалогичные утверждения справедливы и длл одновременного коллапса и вихрей., который почти не изучен (исключаи случаи о = 4, б) (128). Условия коллапса вихрей на сфере, очевидно, будут совпадать с условиями для плоскости, так как на малых расстояниях влияние кривизны на динамику вихрей несущественно.
Рмикчкнин 1. Проблеме коллапса является одной из нвиболсс ицтсрссвых Раааа 1 Рис. 47, угловая скорость на сфере для случаев а) А < 0 н Я > 0: Ь) А < 0 и .э<0;с) А<0нЯ=О:с1) А —.-Ои5>0. проблем, связанных с вихрями и представляет большой интерес для теоретической гндромеханики как одна из моделей, на которой может быть понят сценарий перехода к турбулентности., заключенный в неединственности решений гидродинамическпх уравнений Эйлера. Действительно, теоремы существования и единственности для этих уравнений доказаны в предположении достаточной гладкости первоначального поля скоростей. С математической точки зрения процесс коллапса вихрей, представляющий собой слинние особых решений уравнения Эйлера типа д-функции.
при обращении времени будет определять распад оихрсй с соответствующей потерей единственности. Поэтому большой интерес представляет изучение этой проблемы с то лки зрения регуляризацин столкновений аналогично тому, как это делается в классической небесной механике,4]. Для физики атмосферы явление коллапса может рассматриваться как модель формирования крупных атмосферных вихрей. 11сследуем сначала возможность однородного коллапса для трех вихрей. При однородном коллапсе все расстоянин между вихрями оди- Днилсение трех вихрей.
Неиолсиилтный случай Рнс. 48. Угол наклона на сфере для случаев а) А < О н Я > О; Ь) А < О н Я < О. паковым образом зависят от времени и находятся в постоявяой пропорции [128]. Используя изоморфнзм с задачей Лоттки Вольтерра (зй), рассмотрим однородную систему уравнений вида = ГсМз(Мз — Мз). с)Мз с1т (4.3) Однородные асимптотичесьие решения (4.3) будем искать в виде т ' С (4.4) С+ аз С вЂ” аз т' С (4.5) где С вЂ . произвольная постолнная.
Решение (4.5) уже нвияетсн полнопнраметрическим и содержит только коллапсирующие и разбегающиеся (для плоскости) траектории. Однако, существует еще особое решение Мз . Мз -- Мз — сопле, описывающее томсоповскис конфигурации, которые в атом случае являчотсн вырожденными. Пользуясь соотношением 2чсМчМзМз 1 Ь (4.8) Отметим, что такие решении используются в методе Ковалевской для построения полпопарамстрнчсского лораповского разложения. Нетривиальные решении такого вида возможны только при условии аз -с аз + аз = О. Если зто условие выполняется, то решение может быть записано н виде ОО4 Глава 4 мо2кно получить асимптотику решения (4.б) в роальном времеяи 1.
для плоскости: 1 —, Ы, — С 1; 2. для сферы: 2 = .4Л ~1 — 1 —— 2 В таз М;=Р2В2 1 — 1— (~ 'Г,)1- Г" — Г~' О, (4.7) находим, что выделяется два случая 2 Г; = О и 2 Г, ~ О. Без ограни- чения общности положим Гз = оз = -1, оы аз; 1ы 12 > О (ов = 1/12). Из условия 2 Г„= О слсдуот Р = Ц = О. Это озпечаот, что тротий вихрь находится в центре взвихренности первых двух вихрей, враща- ющихся равномерно с частотой вокруг точки с радиус-вектором Г',г2 + Г.',гз, (Г2 + Г2), (Гь + Г2) Г'(Г' ' ' Г ' 2 Г 1 2 1 2 где Мдз -- квадрат расстояния ме2кду первым и вторым вихрями, а гп Г; — соответствующие им радиус-векторы и интенсивности.
Следовательно, коллапс при пулевой суммарной интенсивности невозможен. где 4,В,С;,Р,Р; = сопз2. Для сферы абсолютпоо дппжспнс вихрой при условиях Р = О и В = О заключается в разбегании вихрей нз одной точка до момента достижения экватора н дальнейшем сближении в другой точке Проанализируем возможность коллапса в системе трех вихрей на плоскости в общем неоднородном с.ву 2ае. Записывая необходимое условие коллапса Р—.
О в абсолютных переменных (21) 305 'з 4. Доижение трех енхреп. Нено ннантний елрнай При условии ~ Ге ~ 0 коллапс возможен лишь при условии не- компактности алгебры вихрей А = а1аз — а1 — аз ( О, поскольку в компактном случае симплектический лист (сфера) не проходит через начало координат М; = О. Для нахождения достаточных условий коллапса рассмотрим проекцию траекторий иа плоскость МыЛХю Выразим Мз нз интеграла полного момента (при В - 0) (4.8) Мз = о~Л4~ + озМм Физическая область на плоскости ЛХыМз при О = 0 ограничена прямыми, проходящими через ноль и имеющими коэффициенты наклона 1с иà — А (4.9) Траектория регулнризованной системы определяется соотношением (4.8) и уравпаписм для энергии систсьиы, которос можно представить в ниде (4.10) М М (азМг + озЛХ2) = С = совет Анализ уравнения (4.10) показывает, что при различных значениях параметров ам аз существует три типа траекторий: 1*.
а1 + аз < 1 все траектории компактны, имеют вид петель, выходящих из начала координат, касаясь осей Г)ЛХ1 и ОЛ4з (рис. 41, е): 2'. от+аз > 1 — все траектории некомпактны, уходят на бесконечность, асимптотическп касаясь осей ОМ1 и ОМз (рис. 41, Ь); 3'.
о1 + оз = 1 — псе траектории являются прямыми линиями. вы- ходящими из начала координат под разными углами (рис. 41, Ь). 800 Х'лана 4 ° В системе трех вихрей возмозкен узке изученный однородньш коллапс (разбеганис), при этом между обратными интенсивностями выполняется соотношение а1 + аз = 1, ° рассеяние вихрей возможно лишь ири условиях а| =- 1, ав = 1, ат = аг = 1 (в последнем случае вихри при движении никогда пе проходят через коллинеарнук> конфигурацию). ° Нри других значениих обратных интенсивностей а; движение вихрей заключено между двумя коллинеарными конфигурациями, а рвсстотгис между пимн ограничено (см. рис. 41,Ь,с). Злмгчлнив. Задача о движении трех вихрей на сфере с помощью традици- онного подхода изучалось в (260, 261), а также н [284, 285).
Почти все эти результаты существенно перекрываютсн в работах (205. 206, 207). вышедших одновременно с (260, 261, 284, 28ос'. 4. Рассеяние вихрей на плоскости. В систомо трех вихрей рассеивающимися назовем траектории, для которых, по крайней мере, одно из взаимных расстонний (Мы ЛХз, ЛХз) бесконечно увеличивается. В отличие от коллапса, рассеяние может происходить при Р ф О. Определим поные переменные, с помощью которых задача о разбогании вихрей на плоскости может быть сведена к исследованию коллапса: 1 М;М (4.1Ц Отметим на плоскости параметров ам но области, соответствующие даню ~м типам траекторий [рис. 49). Необходимо отмсткть на этой плоскости также значения параметров, характеризующих различный вид физической области.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
