Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 58
Текст из файла (страница 58)
В безграничной среде и в отсутствие внешних потоков единственный вихрь Кирхгофа вращается вокруг оси, проходящей через его центр завнхреиностн, с постоянной угловой скоростью. При этом его форма не меняется и вихрь движется как твердое тело (110). Глава 4 (1+ 1 )е 8н с ' 4Лй йан / Нз — — — —. ~~~ 1'й1"р 1п Мй„, он й,р Нз:.= — „,й Яр соа(2(Вйр — ~йрр)) -~- й,р , 1 — А;з + Яй соь(2(Вйр — йрр)) (7.3) Рнс. 71 Полный гамильгониан представлнет нз себн: 1.
Н| — собственную энергию эллиптического вихра; 2. Нз энергию систомы эквивалентных точечных вихрси: где Гй, Яй — интенсивность и площадь эллиптического вихри с номером Й; Мйр квадрат расстоянии между центрами завихренности Й го и р-го вихрей; йрй -- угол наклона й-го эллипса к оси и; Вйр —. угол по отношению к оси л, под которым из центра Й-го эллипса виден центр р-го эллипса (см. рис.
71). 347 'З' 7. Родеетеенные заднее дннаеенни нихдеа 3. Нз — энергию взаимодействия различных вихрей, обусловленную порядком модели. Выражения для функции тока в безграничной среде вне области завнхренности для моментной модели второго порядка могут быть найдены в (289, 106). Уравнения (7Л), кроме гамильтопиапа Н обладают первыми ин- тегралами Р ~ ~1 7 ~ ~1 2+ 2+ л ь 4. ~„~: (7.4) выражающими трансляционную и вращательную инвариантность системы в абсолютном пространстве. Кроме интегралов (7.2), (7.4), и рамках модели сохраняется площадь каждого эллипса это следствие теоремы Кельвина о сохранении циркуляции в идеальной среде (106).
Интегралы Я,, Р коммутпруют согласно (1.5) (см. З1), поэтому их не хватает для интегрирования системы даже двух вихрей Кирхгофа. Однако модель взаимодействия одного вихря Кирхгофа и точечного вихря (система с тремя степенями свободы) уже является интегрируемой. Следуя общему рецепту (Я 1, 2), выделим относительную составляющую движения. Получающаяся при этом пуассонова структура может быль приведена к линейной. 2. Взаимодействие вихря Кирхгофа с точечным вихрем. В качестве относительных координат примем рт —— ; (Ьх~ Ьуз) соэ(2~Р) 1 Лхасу э1п(2~р), рз = -(Ьх~ — Ьуз) зп1(21е) — ЬхЬусоэ(2ее), 2 (7.5) где Ьх = хг — хы Ьр = уг — ум хь,ул —.
положения центров эллиптического и точечного вихря. Угол х соответствует наклону эллиптического вихря к оси х. Геометрически переменные р„.рз представляют собой квадраты проекций па главпыг оси эллипса вектора, сосдипяю- Глава 4 щего центры вихрей р1 . М сов(2(о — (о)), рз = — -- сов(2(й — (2)). М 2 (7.6) Используя дополнительные переменные й, 2 ц = (л -1,(л)с)2, (7.7) ЯГ1 где С' = *, получим замкнутую алгебру скобок 8л ' (М Р1) = 4(п1 + оз)рз,(М.
(12) = -4(а1 + ез)Р1, (рз,р1) = (п1+ оз) М.. (М,()) = О, (Ч~Р1) Р2~ ЕЧ~Р2) = Р1 (7.8) 1. линейную С1 = М+ 4(а1+ п2)7: 2. квадратичную С2 = р1+р2 — — М, причем Сз = 0 для реальных двил1ений. Первая из них представляет (относительный) интеграл момента, вторая отражает геометрическое соотношение между переменными (7.5) и (7,6), В относительных переменных гамильтоииан системы имеет вид Н = — — Г,1п(1О ~д+ т/Цз — С21() — — Г1Г2 (пМ+ — р1. Гз/ 1 Г, ~'дз — С' 8 7',) 8 2л М2 (7.()) Приводя полученную алгебру скобок Ли -Пуассона к каноническому виду, получим, что при условии (а1 + аз) ф 0 она сводится к прямои сумме алгебр 1х(е ло(2, 1). Действптельпо, выбирая базисные векторы в виде Р1 Рг М Е1 Ез сз = е =с +((, 2(о1+ о1) 2(а1+ аз) 4(а1 -(- аз) (7.10) здесь аь = 1(Гь. Структура Ли- .Пуассона (7.8) имеет две центральные функции 'З 7.
Радстаенние задачи динамики аихреа получим следунзщие скобки .'!и- — Пуассона (еа,еь) - О, (емег) .- — ез (изчез) =: ем (еззег) . ез (7 11) с квадратичной функцией Казимира Сз — — ез -ь с, — сз — — О. г г г (7.12) При выполнении условил аз + аг = О, алгебра (7.8) сводитсл к прямой сумме алгебры И„соответствующей базисному вектору ез — — М, и алгебры е(2), образованной векторами (7,13) ег = Рм ег = Рг еа = Ч со скобками (ез,еь) = О, (смог) = -сз, (сг.сз) = О, (сззаз) = сг (7,14) и квадратичной функцией Казимира Сг=е,+е,.
г (7 1ае) Уравнения движения в новых переменных позволяют изучить относительные равновесия рассматриваемой системы, устойчивость, построить соответствующие бифуркационные диаграммы. Задача о двизкении двух вихрей Кирхгофа в общем случае. видизио, не явллетсл интегрируемой. хотя это строго и нс доказано. 3. Движение вихрей внутри круговой области. В работе [317] с помощькз изложенного метода рассмотрена задача о движении точечных вихрей внутри круговой области. Уравнения этой задачи в абсолютных псрсмсппых были получены сщс Э.раусом [117].
Оказывается, что длн получении уравнений относительного движения необходимо рассмотреть квадраты расстояний между вихрями, а также квадраты расстояний каждого вихря до центра круговой области. Если к этим переменным добавить соответствующую систему площадей треугольников, то образуемал ими пуассонова структура лвляется линейной и ее анализ аналогичен Я 3,6. При этом задача о движении двух вихрей будет интегрируемой, сс качественный анализ выполнен в [317]. Задача 660 о двнвгении трех вихрей в общем случае уже не является пнтегрнруомой (Н. Н. Симаков (147]).
Используя указанные переменнью, можно также рассмотреть задачу о движении точечных вихрей вне круговой области. Особенно интересна задача о движении вихрей при наличии постоянного сноса. Эта задача рассматривалась еще в прошлом веке Фепплем а связи с обтеканием цилиндра (при малых числах Рейнольдса Не = 13 ь 41) (147]. 4. Движение вихрей на цилиндре.
Аналогично движению вихрей на поверхности сферы могкно расмотреть задачу о вихревом двилгении на цилиндре. Эта задача кажетсн несколько искусственной, однако легко вндстгч что опа эквивалентна задаче о движении вихрей па плоскости с периодическими граничными условиями. В такой постановке она изучалась еще Т.Карманогн [266], который теоретически пытался объяснить возникновение и устойчивость вихревой дороягки (точнее, двух дорогкек), возникающей за цилиндром, обтекаемым постоянным потоком жидкости (при числах Рейнольдса Ве.—. 106 —:140). Карман исследовал задачу об устойчивости в линейной постановке, более строгий анализ приведен в известном учебнике ]107].
Этот анализ, тем не менее, не смог вполне пронспить причину возникновения устойчивых вихревых образований за цилиндром. С современным состоянием этих вопросов и соответству|ощей литературой можно позпакомитьса в (279]. уравнения движения вихрей на цилиндре в комплексной форме имеют вид 1 к~~ сГК( 7 (~ь экю)) ' (7.16) где ль = нь —, гуго Х = 2яЛ расстояние между вихрем в дорожке, Л вЂ” — радиус цилиндра. Гамильтонова система (7.16) явлнется интегрируемой для случая Лнух вихрей. Задача о движении трех вихрей при произвольных интенсивностнх. видимо, не интегрируема.
Однако при дополнительном 3 условии 2 Г; = 0 существует необходимый дополнительный интеграл. 1=1 Анализ движений, которые оказались довольно сложным, и наиболее типичные траектории в этом случае приведены в работе (190]. Возмолы ность применения алгоритмов данной главы к этой задаче пока не изучена.
ГЛАВА 5 Многочастичные системы 91. Обобщенные цепочки Тоды и уравнения Эйлера — Пуанкаре на разрешимых алгебрах Ли 77 = — (р, р) -' ~~ дгез!~"ч!., 1 2 (!Л) где он Е Е", а скобкой (, ) обозначено обычное скалярное произведение в евклидовом пространство !9:". Набор векторов схы..., ан называется слектрож лажильтонилиа (1.1). Пусть среди векторов еи имеется ьч < о линейно независимых сг,,...,сз,л, их линейную оболочку обозначим через К"' С Е". Потенциальная энергия системы (!.1) зависит лишь от координат в гиперплоскости К'", поэтому ортогональная составллкнцая импульса р является интегралом движении.
Выполняя редукцию по этим интег- 1. Цепочка Тоды, как гамильтонова система на разрешимой алгебре Ли. Задача о движении н частиц на прямой с экспоненциальным взаимодействием была рассмотрена в Г967 г. в работе Тоды (см. [151[), который обнаружил, что в такой цепочке м<лут распространяться незатухающие нелинейные волны, В 1974 г.
в работе Хонона [249[ длл цепочки Тоды, состоящей из п частиц, бгили найдены о функционально независимых интегралов движения, инволютивпость которых была доказана Флашкой [237[ и Манаковым [114'. Если в системс в частиц с экспокенциальным взаимодействием первая частица взаимодействует с последней., то возникающая цепочка пазывасгся за.кинутой (периодической). Опа также является интегрируемой, однако сс динамика существенно отличается от непериодического случаи.
О.И. Богоявленским в работе [199] были введены обобщенпьш цепочки Тоды. Гамильтопиап обобщенной цепочки Тоды в канонических переменных (р, о) с Ж " имеет вид: тлава е Н' = —,(р',р ) + ~~» рйеце'"~, 2 (1.2) где р* - проекция импульса на К,„. Выберем дуальный к аы, .о базис 13,...,~3„,; (сто)3 ) = Ь, и определим новые избыточные переменные ал = ехр(схы с1). Ь = (~31,р') = (Дх,р), А=1,...,%, 1=1,...,яь (1 6) Скобка Пуассона этих переменных линейная (оы Ьт) = ах бы й ( гп, 7' = 1, ..., тн, (1.4) (аыЬ1)=Алов т<й(Х, 1=1,...,глч здесь Ал координаты векторов гхю Ь > т в базисе аы...,ск ил = ~ А„.о, й = ьч ~ 1, ..., и.
(1.6) Переменные аы...,а„о Ьы...,Ьэ, образуют подалгебру д(2эп) изоморфную примой сумме двумерных разрешимых алгебр Ли. Рамильтониан в новых переменных (с точностью до добавления функций Казимира) принимает вид: и = 2 ~~~. свь ьт л 2,' илам (1.6) где С; = (стог~1) . - матрица скалярных произведений. Соотношения (1 б) порождают функции Казимира: тл =арПа '", й=гп+1,...,Л. Ц 3 1=1 (1.7) Для действительных движений Гл -. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
