Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 61
Текст из файла (страница 61)
и;, (и, Ь, г)з=и;К,+а,,", (Ь„, Ь; г]з = 2аз(Ь„. + Ьььг). (ио ими]з = и,и„.гЬььы (и;ч ы Ь;)з = — и~им.ы 2 (ап 1л-~-2]з = и~и1-г (2.12) Гампльтоннан системы н Н = —,~~» 1паы а=1 В зтом смысло цепочка Таам являотся тригимильтоиааой. Описание интегрируемых цепочек Тоды, как систем на орбитах алгебр Ли. содержитсн в,'324, 132]. Цепочки, связанные с наполненными схемами Дыпкипа, могут быть вложены в боскопочпоморпую алгебру петель. Метод построения 1 — А-пары со спектральным параметром и доказательство интегрируемости, основанное на построении г-матрицы, содержится в '132]. 4. Согласованные пуассоновы структуры цепочек 'Годы. Свнзь представлений Лакса интегрируемых систем с их бигамнльтоповостью обсуждалась в з 5, гл.
1. В х9,10 гл. 2 показано, что прод- ставление Лакса — Гейзенберга в динамике твердого тела связаны с гамильтоновостью системы относительно пучка линейных скобок Пуас- 'З й. Š— А-акра и Оагазгакыаоноооежь ценокек Тодкг Скобки (1.4), (2.11), (2.12) вырождены, их центральные функции обРазУют инволютивный относительно пУчка Л(, ) -Ь Р(, )1+ и(ч )з набор интегралов. Полнота этого набора, и, следовательно, интегрируемость обычной цопочкп Тоды, слодуот из тоорсмы Волсипова (] б гл.
1. Связь квадратичной скобки (2.!1) с суп1ествованием унитарной г-матрицы обнаружена в '146',. Применение г-матрицы для построения квадратичной и кубичной скобок в цепочке Тоды приведено в (131]. В работе [228] указана согласованная скобка для обобщенной цепочки Тоды, связанной с алгеброй П„. Вторая пуассонова структура для этой цепочки получается с п>мощью редукции Дирака из квадратичной скобки (2.11), н является дробно-рациональной. Там же указана еще одна однородная кубичная скобка, с помощью которой и линейной скобки (для В„она невырождена) построен оператор рекурсии Я б гл. 1).
Для обычной цепочки Тоды согласованные структуры (1.4), (2.11), (2.12) являются вырожденными и имсгот различпыо симплсктичсскис листы, поэтому они не определяют оператор рекурсии (Э 5 гл, 1). Связь между этими скобками установлена в работе ]228], при помощи мастер-симметрии векторного полл Я, производнаи Ли вдоль которого порождает новые пуассоновы структуры Сл,1 =,1, ..., Слу Мастер-симметрии для цепочки Тоды могут быть получены из уравне- ния (228] где Хн гамильтоново векторное поле. Для цепочек, опредсляемых простыми алгсбреми, в работе ]198] получено представление в виде градиентного потока, из которого следует иозмогкность матричного описании в виде двойного коммутатора Ь = ]Е, Ь,М]], где Х постоянная матрица.
5. Релятивистские цепочки Тоды. Релятивистское обобщение систем типа Тоды предложено Русепаром (П,пцэепаагэ) (314]. Гамильтопиап и-частичной цепочки в канонических псрсмсппых может быть представлен в форме Н = ~~~ ег'е(Ч; з — Чг)с(г1г — аьы), (2.13) Глава б „„а(»Е; ! — »й) ' (рн чи- ) Ь; = вжс(»Е» ! — щ)о»(»Е». — рл+!) — а,» ! = 1,..., а, (2.14) Ограничимся рассмотрением непериодической цепочки, поэтому положим а„= О. Скобка Пуассона в попых переменных (2.!4) получается однородной н квадратичной (а;,а, !) = а а е», (аоЬ) = -а Ь» (анд»~!) = а»Ььь»! (218) а гамильтониан становится линейным Е1 = ~~ (6;+ оч). (2.16) »=! 1 — А-пара для периодической и пспсриодичсской цспочок найдена в [21Ц.
В работе [228) показано, что незамкнутая релятивистская цепочка Тоды помимо скобки (2.16) допускает е»це две согласованные пуассоновы структуры (линейную и кубнческуи»). Приведем соответствующие скобки и гамильтонпаны, Линейная скобка: (ао6;) = -ао (он 6' !) = а,, (Ь, Ь; !) = ао функция Гамильтона: и в П = — ~» (а;+ Ь;) + ~~ а;(а,+»+ 6; »!). 2 '=! '=! Кубичная скобка: [аб а;»!) = а;а,,! — а»а,»! — 2а;а»»е»Ь; ! з,, 2 (и;. и»-»-з) = а,и; »»а; »л, (по Ь;) = — а»6»(а! -ь Ь;)» (ач,6; з) = а;а; »зЬ;»з» (6!»Ььь!) = а»6»6!»», (а,, Ь;+!) = а;Ь;+»(а, + Ь;+!), (а,+», 6») = — и;и; »Ь„ Где О(ж) =,/Г+ д~св, И = СОПЗЬ.
ДЛя ПсрнадНЧЕСКОй цСПОЧКИ НЕОбХОднмо положить»Е„ь! = д», а для незамкнутой — — до = — сс» д„ь, — — зо. Уравнения двпжения системы (2.И) после замены фе!»-» щ + с и предельного перехода с = 1»6 — » со переходят в уравнения движения обычной цепочки Тоды. Переменные, аналогичные переменным Фла»пки (2.2), в данном случае, могут быть выбраны в виде [211. 228) '3' Я. Системы Калоджеро — Мозера гамнльтонпан: Н вЂ” Х~~ 11п 1~в 1поп). 1=1 Обобгценная релятивистская цепочка Тоды для различных корневых систем, насколько иам известно, не рассматривалась.
0 3. Системы Калоджеро — Мозера Н = —,(р,р) + ~~ дыми((схбс1)), т — 1 (3.1) где (, ) скалЯРное пРоизведсние в Й", с1 вектоР (ды ...,д„) кооР- дниат частиц, а ст; — произвольные векторы из Е". Случаю периодической цепочки с взаимодействием ближайших соседей соответствует а1 — — (1, — 1, О,, О), аз = (0.„1, — 1,..., О),..., ае = ( — 1, О,..., 1) . Если и(л) =- е, то система (3.1) описывает обобщенные цепочки Тоды. В ,'212] (1071 г.) Калоджоро, исследуя квантовую задачу я тол па прямой, высказал предположение об интегрируемостп цепочки (3.1) с потенциалом о(л) = — + ыззз, д; = д, 1 = 1, .... Х, Я = п(я — 1)~2. (3.2) и попариым взаимодействием есел члсщиц (в отличие от цепочек Тоды, где взаимодействуют только ближайшие соседи) , з + 3'~ и(ри — 03), )-1 мсд (3.3) Злмвчьиик 1.
0 системе центра ииерпии (2 рл =- 0) система (3.3) с потеици=1 алом (3.2) при я; = 1 может быть представлена в форме 2 Х~-л Рассмотрим систему и потенциально взаимодействующих между собой частиц на прямой. Функция Гамильтона в канонических переменных (р, с1) б Ез" мол1ет быть представлена в форме 368 1Длеа б Для задачи на окружности аналогичный потенциал был указан в [323) 2 1 э1п х Доказательство интегрируемости этих систем методом построения Т вЂ” А-пары дано Малером [294[ (см. ни|не).
С помощыа указанного в [294) анзатца для представления Лекса Гейзенберга найдены также иптсгрирусмыо потенциалы вида [137., 213) 2 ,12 (3.5) (3.6) о(к) =: Р(ю,он.ыз), 1. Представление на квадратичной алгебре. Предположим, что векторы аы ..., сх„ обрязуют базис я пространстве й", представим спетому (3.1) с потенциалом (3.2) при и = О, и попых избыточных переменных Ь; -- ()Знр), ол, 1 1,...,н. й - 1,...,Х.
(3.7) 1 (ал, с1) Здесь )Зы...,)У„дуяльный базис в К": (а„)3;) = бм (см. 31 гл. 5). Векторы сел при й > и выражаются чороз базисные по формуле я жл — — '~ Аысц, й = и+1....,Х. г=т (3.8) где Р функция Вейершгрясса с периодами 2о1 и 2юл, которая при бесконечном увеличении периодов может быть приведена к любому нз потенциалов (3.4), (3.5) и (3.2) при ы = О. Зливчлнкп 2. Для пеночек (3.2), (ЗА) — (3.6) с гамнльтоннаном (З.З) понятие замкнутости, введенное для цепочек Тоды Я1 гл.
а), терлет смысл., так как все частицы взаимодействуют между собой. Потенциелы (3.4). (3.6) являются периодическими функциями, поэтому система экаиеалсптпа цепочке па окружносги и ясе траектории ее финитны. Для потенциала (3.5), напротиа, частицы асимптотически свободны при С вЂ” ~ сс, е сзязи с тем, что потенциал снедает в обе стороны з — ~ юоо. Для цепочки (3.2) при ы — — О частицы также разбегаются. а при ы ~ О, э системе пентра инерции (2 о, = О) ясе траектории огрнпичспы.
Збй 1 з. Системы Калодзееро Мозера Переменные (3.7) определяеот квадратичную пуассонову структуру (а; Ь)= — б;аз. Ь = и + 1,.... %, С з = 1..... ое (3.9) (аь, Ь.) = — Аьдаь. в которой аы... за, Ьы...,Ь„образуют 2п мерную подалгебру, изоморфпую прямой сумме двумерных подалгебр. Фуззкции Казимира скобки (3.9) получаются с помощью соотношений (3.8) а Е Аь'а' (3.10) причем реальные движения лежат на уровне Гь = О. Гемильтониан представляется в виде квадратичной формы (еволчок Эйлераь на квадратичной алгебре) ц = 1 Е(сее,сезз)Ьзбд+ у П ,и. (3.11) Для потенциалов типа (ЗЛ) и (3.5) выберем образующие. аналогичные (3.7).
пспользул гномоническунз проекцинэ длн окрузкности (гиперболы) радиуса Л Ь; = — ()Вор), 1= 1,...,н, аь = — с13(сер„с1)., Л = 1,...,Х для (3.4), 1 аь = — стЬ(сеем с1), Ь = 1„..., Дз длн (З.б). 1 (3.12) Скобка Пуассона в новых переменных записывается в виде где знак плюс соответствует окружности, минус .. гиперболе. Алгобра (3.9) получастся коптракпиой ( — > сю) еискривлоппыхл скобок (ЗЛЗ). (а;зЬ;) = — Ье (а„'. т — )., (ае.,Ь;) = — Аи;(аь т ), г, д = 1,..., гц й = н -, '1,..., зз', (3 13) 370 Гсааа б В новых переменных гамильтониан совпадает с (3А1), а функции Казимира (3.10) имеют вид г'ь = агс1 °вЂ” 1 "оь ~',Аьсагс16 5 ., й = их 1,...,Х. (3.14) ас с=с (для потенциала (3.5) необходимо заменить агсгя — + агой). причем для реальных движений Рь — — 0, й = сс+1,...,Х.
Заиичьнив 3. Используя прсдставчспис ллв Р функции Р(х, ыс, ыг) — + сопаы вп~(х, й) систему (3.1) с потвкпиалоы (3.6) также можно записать с алгебраической скобкой и квадратичным гаыильтоиианом. 2. Представление Ланов — Гейзеиберга систем Калоджеро— Мозера. Общий метод построения представлений Лаков Гейзенберга для систем типа (3.3) был предложен Мозором [294] (см. также ]137]), который докезал таким способом ннтегрирусмость системы (3,2). 1 — А- пара для потенциала (3.5) найдена в работе (21ое]. Общий впд потенциала (3.6) для интегрируемых систем Калоджеро Мозера найден независимо друг от друга несколькими авторами (299, 138, 336]. В (290] М.А.Ольшанецкий и А.М.Перессомов указали интегрнруемость обобщенных цепочек Калоджеро — -Мозера, свнзанных с классическими простыми алгебрами Лп -- А„, Всо Сп, ВС„, В„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
