Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Первый набор обусловлен избыточностью переменных уен Действительно, формулы обратного перехода от переменных у„. к пе- ременным аь имеют неоднозначный вид 8 УОУы о- = ' Р11 (4.8) для произнольных у',й Е М. Соотношение (4.8) для п(п — 1)>2 переменных УО порожцает и(п 8)>2 центральных функций вида , -1, -1, -1 Г) = УОУЬ>УЬоЦтУ>, У>О ° Во второй набор входят аннуляторы пуассоновой структуры ~~рз> ~~. Они имеют вид 2 о>Ь>, где сх = (а>,..., ои) .- собственный вектор магри>=1 цы ~~рз:~~. соответствующий нулевому собственному числу.
Гамильтониан системы (4.6) в новых переменных мол>ет быть представлен в виде и = Ц ~Пз> 1ПУ>зм (4 0) где числа 2пй представляют собой линейные комбинации чисел 1Ч из (4.6) с цолыми коэффициентами. Как несложно проверить непосредственно, гамильтонова система со скобкой Пуассона (4.7) и функцией Гамильтона (4.9) представляет собой частный случай системы (4.1). Например. в случае дз ф 0 для лк>бой комбинации > и > в перемет>ых тц — Р>;Рз зги уравнения имеют вид [18) ф, = >с>;(~ йе(>сз, >с>,)). е=е (4ЛО) Если какие-либо ды = О, то соответствующий яабор условий же> = О задает сцстему ннвариантных соотношений для уравнений (4.!О). Глава Б Й = й!ы! ...
в!в!в„, Ц ) О., ! = 1,...., и, для которой Й+1!ы! ~ ° ° — 1„ы„не является корнем при любых (; > О. Для пополненного набора выполняется соотношение квыа+ + !св~ !в — — О. йо = 1, й! ) О., 7, = 1,...,и. (4.11) Корням ыо,...,ы„. соответствует пополненная схема Дынкипа (!8). С помощью формь! Киллинге поставим в со!!тве ! стене корням !в! (ы, Е д*) элементы алгебры е, Е д и определим на д* постоянную скобку (скобку сдвига аргумента)(см.
(( 10 гл. 2) (4.12) где (, ) скалярное произведение, задаваемое формой Киплинга, а элемент а С д определяется по формуле а= ~ ~и!„(е „е~,), и!О =сопл!. !4=0 (4.13) В этом случае пространство функций, определенных на линейной оболочке корней !во,...,ы„, является замкнутым относительно скобки (4.12). Ограничение потока на зти инвариантные соотношении также будет гамильтоновым на поделгебре алгебры скобок Пуассона (4.7). соответствующей тем д!, для которых НО ф О. Обычная периодическая цсночка Вольтсрра (4.о) при дополнительном условии Г! = 1, ! = 1,...,п, получается от (4.10), если отличны от нуля лишь !!! !+!. Переход к переменным (4.5) задаетсл уравненилми зь = хь.ь-ь!.
Уравнения (4.10) на инвариантных многообразиях зы прп ограничениях па коэффициенты Ц зквивалсптпь! интсгрнрусмым цепочкам Богоявленского (4.14) (см. далее). Интересно было бы изучить условия интегрируемости общей системы (4.10) с помощью метода Ковалевской.
3. Интегрируемые цепочки, связанные с простыми алгебрами Ли. Пусть !в!,...,!вв набор простых корней некоторой простой алгебры Ли д (коалгебру будем обозначать д*). Дополним его элементом ыо = --Й, где Й максимальный корень, то есть такан линейная комбинация Галггпгьтоиова дииалгиаа светел« Вольтерра О.И.Богоявленским было показано, что гамильтонова система со скобкой (4.12) и гамильтонианом Н = ьг 1в Ьз', (где Ь«определяется уравнением (4.11)) (4.14) допускаот представление Лаков. Гейзенберга со споктральнъгм параметром Л вида а а Е = Л~ Ь;е, - — р гно[е „е,) «=О ««з=о о А = Л~~ йгь, 'е г.
«=о То есть системы (4.14) со скобкой (4А2) являются интегрируемыми случаями системы(4.6). Дггя алгебры Аа явный вид матриц следующий О Льз пггз 0 Льз гнзз гва за д Льа, пг„ (4.1б) ль„ 0 0 0 ЛЬ' ль о А= 0 ЛЬ,', О 4. Бнгамнльтоновость, Отметим. что система Вольтерра типа (4.5), интегрируемая при Гг -- — Га, могкет быть записана в гамильтоновой форме как со скобкой Пуассона (4.2)«так и со скобкой (4.7) — по классификации Картапа [8) опа соответствует простой 380 Глаза б алгебре Ли 4„.
В переменных щ; (4.5) квадратичная скобка (4.2) имеет вид (для периодической цепочки необходимо положить т„.ь, — — щ1): (що лоы) = щ;щььы $ = 1, ° а, а функция Гамильтона п н=~ Кубичпая скобка (4.7) может быть представлена в форме (лй щт г) = щгс .ь1(щ~ ж щьь1)~ (вч гь~-2) тотьь1лььз' Соответствующий гамильтониан согласно (4.14) имеет вид Н= —, ~ 1пщ,. 2, Эти две скобки являются согласованными, что позволяет установить полноту интегралов движения при помощи теоремы 35 гл. 1. Бигамильтоново описание других интегрируемых пеночек Ьогоявленского. связанных с простыми алгебрами Лп, до сих пор, видимо, не получено.
Зливчлнив 2. Систелзы Возьтерра, которые могут быть записаны в градиентной форме, изучались в работах (43, 302). Вообще говорн. градиентная форма записи не противоречит гамильтоповости. Хорошо нзвсстно, что уравнения динамики точечных вихрей па плоскости допуска|от запись в обоих формах. ! раднентная форма записи испсьтьзуется для исследования геометрии изоспектрального многообразии к связана с идеей двойного снобочного представления уравнений движения (193). 5. Метод т-матрицы. Общие замечания. Одним из способом доказательства иптеграруемости., построения Ь вЂ” А-пары и явного решения, отмеченный в гл. 1 нвляетсн метод г-матрицьь Он является обобщением более споппальпой схемы интегрирования. разработанной Адлером, Константом и Симсом (АКЯ-метод) и широко представлен в работах ленинградской математи олеской школы (132.
139, 141, 146). 14, Рами итоиоео да«амина систем Пол«терра 331 В обзоре [132[метод «-матрицы изложен в приложении к обобщенным цепочкам '!оды и рнмановым симметрическим парям, возникающим в многомерной динамике твордого телв. В этих случаях сущестоовапио и-мытрицы связвпо с опродолсппой симмотрисй алгебры (соответственно., с разложением на прямую сумму влгебр й = лее «й л или картвповскнм разложением д = Н гй )г. [Н,Н) С Н, [Н. Ъ") С Р' [~',1'~ С У) и определяемой этим возможностью проектирования векторных полей. Для римановых симметрических пар метод и-матрицы почти полностью эквивалентен конструкции.
излоя«енной в З 10 гл. 2 и связанной с бигамильтоповостьк«интегрируемой системы. Отметим также. что и-матричное представление индуцирует несколько другую пуассонову иерврхико иа алгебрах петель [132). Для цепочек Тоды квадратичная и кубичпая пуассопова структура получена при помощи и-матричного подхода в [298) (см. твкже [275]). Общая схема возникновения квадратичных скобок из унитврпых г-матриц была указана в [146) и связана с формализмом «групп Гамильтона Ли», изложенного В. Г. Дринфельдом [О).
В работе [322) рассматривается г-матричный подход в применении к системам Вольтерра. а в [184) построены динвмические г-матрицы (с коэффициоптвми, зависящими от фазовых порсмоппых) для систем Калоджеро — Мозерв. Тем пе менее, отметим некоторые недостатки метода и-матрицы: 1.
и-матрица не является тензорным инвариантом и не имеет прозрачного динамического смысла. 2. Решение «модпфпцированногое уравнения Янга Бвкстера, определяющего г-матрицу, известного лишь в исключительных случаях (см. например, [132)). Эти недостатки обуслввливают, отчасти, то обстоятельство, что для нахождения и-матрицы надо использовать другие, более естественпыс способы обнаружения иптсгрирусмости — — метод явного построения 1 — А-пары прн помощи подходящих анзвтцсв, метод проектирования и пр.
Эта «вторнчпостю г-мвтричного подхода приводит к тому. что интогрируел«ость новых систем им, как правило, не устанавливается. Примером могут служить обобщенные цепочки '1оды, цепочки Вольторра (и обобщения Богоявленского). Для цспочок Квлоджсро— Мозера вопрос об интегрируемости для всех корневых систем стоял почти два десятилетия, пока пе был решен при помощи явных анзатцев [226". Их и-матричное описание [162) оказалось настолько искусственным, что вполне наказало ограниченность и-матричного алгоритма для решения конкретных задач. Аналогичная ситуация имост место для бесконечномерной системы Хитчина 1251).
получающейся из расширенной свободной системы при помощи гамильтоповой рсдукции. 11есомнепно, что изучение динамического (инвариантного) происхождения г-матрицы, имеющей пока только формально-алгебраическое содержание, и ее свнзи с другими конструкциями (например, бигамильтоновостью) является очень естественным. Зто тем более необходимо для развития методов качественвого анализа длн многомерных систем, где существование дополнительных тензорных ивварнантов приводит к реальным динамическим эффектам (см. [77)), которые совершенно не ьлогут быть получены из комплексно-алгебраической процедуры интегрирования, развиваемой, например, в ',309].
ПРНЛОжение Л Распознавание гамильтоновости динамических систем В гл. 5 были рассмотрены задачи, длн которых существование пувссоновой структуры не очевидно заранее и не следует из физических соображений. В более общей постановке может быть поставлен вопрос о гвмильтоповости (пувссоновости) дипвмичсской системы, зедвппой дифференциальными урввпениями х = «(х), х Е АХ". (А.Ц Эта задача впервые обсуждалась, по-видимому, .в работе ]УО]. При этом предполагается, что «(х) †.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
