Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 64
Текст из файла (страница 64)
аналитическое (влгебрвическое) векторное поле нв многообразии М". Если системе (А.1) гвмильтоповв, то существуютт функция Н(х) и структурный тензор 1О(х) такие, что векторное поле «(х) можно представить в виде е'(х) =- ~ Х~(х) дзэ у=1 (А.2) Если ограничиться только алгебраическими (или даже квадретичными) системвми (А.1), то и функции,1О(х).
Н(х) следует искать в алгебраической (однородной) форме. В этом разделе мы сформулируем ряд проблем. длн которых вопрос о пувссоновостп до сих пор остается открытым. Для некоторых из них содержательными нвлнются твкже вопросы о существоввнии дополнительных первых интегралов и других тензорных инввривнтов. Условия гвмильтоновости линейных систем рвсмотрены в (88]. Злмвчлнив 1. Как было известно еще Лнув1щл1о, любую систему (А.1) можно записать н гвмнльтоновой форме, если к коордннатлм х добавить импульсы у и рвссмотреть гемильтонову систему с гамвльтоннаном Н вЂ”.
(у,«(х)). Однвко, такал искусственная гамильтоннзация системы, увеличивающая в двв рези ее размерность н приводящвя к вырожденному по импульсам гамильтопивпу, мела интересна вля теоретических исследований. Приложение А Злмвчлиив 2. С аналитической точки зрении вблизи пал>дай неособой точки любан дипамичоская система па чстпомсрпом многообразии ивлястся гамнлыоноеой ',1Ц (длн нече>номерных систем тоже гамнльгононой> но с вырожденной скос>ной Пуассона).
Зто следует из теоремы о выпрямлении е подходящих локальных координатах система мажет быть записана в виде л> = 1,йе = ... = т> = 9. При этом скобка Пуассона определпетсв формулой ,-". (дГ дд д) дд) =1 а функция Гамильтона Н равна в„>. Таким образом, вопрос о гамильтоновости леляетсл содержательным либо в окрестности особой точки, либо в области фазового пространства> где траектории обладают свойством возвращасмости (в окрестности периодической орбиты). Кек отмечено в ]УЦ, эта задача пока совсем не изучена. Злмвчлинв 3. Вопрос о гамизьтоновостн и существовании инвериантной меры длл системы. баизкой к интегрируемой гамильтоновой, рассмотрен в ребото ]89]> где используется метод малого параметра Пуанкаре. Лиувиллсвы замены времени.
сохраняющие гамнльтоноаость, изучалнсь а ]42]. Зьмвчлнив 4. Ллл вариационных задач с высшими производнымп существует обобщенное преобразование Лежандра, основывающееся на теореме Остроградского ]3, 0Ц, в псвырождеппом случае приводнщсс систему к гамильтоповой форме. ЗАмечАние 5. Уравнении механики Бщ>нгофа в стационарном случае имеют внд (11] (гас п)х = —, х Б Б! дВ дх' (А.з) гоги= ,'/ — ' где и„В некоторые гладкие функции переменных х (В функции Биркгофа или биркгофиан). При четном и и при условии пспырождсппости матрицы го1п уравнение (А.3) оцределлет однозначное векторное поле в переменных (х>, ..., х,„).
Б этом случае уравнении (А.3) являютса гамильтоновыми с гамильтовианом В и невыровгдениой пуассоновой структурой. определпемой 2-формой а Г П~ тдвз ='',> д" дз>ддх, =) ~ддпг' — ~"*) дх, Лдх> Как показано в (91] гамильтононость уравнений Биргкофа сохраняется и в общем случае. гоасноенавание еамильтоновости спьнамичесниз систем 385 В случае уравнений (Л.З), е также для вариециоппых задач с высшими производными (3', гамнльтоноеость является следствием возможности получения уравнений динамики из еериецнонного принципе Гемильтоне. 1. Обобщенные уравнения Пуассона. Вопрос об интегрируемости уравнений М = М х АМ„ ~= ухВМ, (А.4) М „ПН ° ~ОН х ВМ 7=7х ~ где Н -(АМ,М) + (ВМ,7) + -(С7,7).
Этот предельный переход не сохраннет первоначальную (на но(4)) пуассонову структуру. Однако, прн этом возможно, что уравнения (А.4) будут гампльтоновы в новой пуассоновой структуре. Система (А.4) обладает интегралемн 1ь = — (М,М), 1г = — (М,АМ), 1з = — (7~7) и стандартной инвариантной мерой. Для поиска интегралов удобно сна- чала определить поля симметрии (А.4), задаваемые векторным полем х' = ьи(х), (' = . —.). (А.б) где М, у векторы в Вч, А,В являготся диагональными матрицами с компонентами аг ф аг ге аз ге иг, 6ь ф 6г л 6з / 6ь был поставлен и исследован в работах (34, 35). В случае А = В уравнения (А.4) описывают интегрируемый случай Эйлера — Пуансо (движсние твердого тела вокруг неподвижной точки по инерции), При этом второе уравнение совпадает с уравнениями Пуассона, описывающими эволюцию неподвижного орта вертикали в осях, жестко свнзанных с твердым телом. В общем случае система (АЛ) может быть получена из гамильтоповых уравнений Эйлера па алгебре во(4) при помощи предельного перехода.
Действительно, уравнения (А.4) могут быть получены при замспс 7 -+ с7 в уравнениях Гамильтона на во(4) (см. 31, гл. 2): Приложение А Напомним, что опредеяецие поля симметрии системы (А.1) следует из условия коммутируемости дифференциальных операторов. задаваемых уравнениями (Л.2) и (А.4). Очевидно такжеь что если Г(х) есть интеграл (ЛА), то производная Ли функции г (х) вдоль поля и (х) также нвляется интегралом движения. Справедливо следуюшее утверждение: Теорема ([34]). При условии бььззз+ Бзиш+ бзам+ А изхаьзизч ' О, аз а, — ау, (А 6) Й > 1 неьегпное ьисло, уравнение (А.У) допускает однородное поле симметрий шпепени кь ш = иььдььдуьь иьл = Х Ц(Тзз ь ~Х )шо, п, =- (ьь — З)(2. (Л.7) где Х = Лад(Мь, Мзь М;ь)ь — тазз Тж = — У бз — ь, — Ьь — спать причем вентор ьоо определяется из решения системы линейных уривнений Тьшо = О.
Недостающий интеграл системы (А.у) получается действием козья симмепьрии че на интеграл уз = — (у, у). 0н линеен 1 2 ко у: 14 — (Р, у) и яеляшпся однородной уьоуьльоьь степени ус + 1.. Такиль ойРазомь длЯ систельы УРавнений (А.У) Указано счетное. сельейство алгебраически интегрируемых ь ьучаев с интегралами движения чттьной степени яо переменныль М., у. Зливчлцик 6. Можно укезеть яккукь форму дооолкителького интеграла и при остальных нечетных Е Случай У вЂ” — 1 обсуждается в работе [ЗЗ], а иаиболсс полпыс результаты содсржется и [З4, Зб]. Можно показать, что сели оь ф лз ф ал ф пь прн иррациональных й решение ветвится на коисчпплистком накрытии комплексной плоскости времени. Оно таккьо ветвится при четных [к[. Вероктььо, что при рапкоиальиых [Ц у'.
2п, и Е ьч' решение имеет кокечиолистиое ветвление и существует дополнительный рациональный интеграл. Несмотрн ие то, что система (А.4) имеет при нечетных А из равенства (Л.о) полный набор интегралов (и сопряжсшьых им полой симметрии), вопрос о гамильтоиовости этойь системы (и гамильтоиовости Распогкааанье гажильтоноеогти див лиьегьих систгэг 387 и!и!я симметрий (А.7)) остается открытым. Случай 1 = — 1 является исключительным, так как система бигамнльтонова на алгебрах е(3) и ло(1). Это связано с тем, что случай й = — 1 линейным преобразованием координат приводитсн к случая! Й = 1.
длн которого известны две согласованные пуассоновы структуры (Я 9,10 гл. 2). Наша гипотеза для систем (А.4) состоит в том что, исключая случаи й = Ог+!. система не является гамильтоновой с алгебраическим структурным тензором,рг. Более того, не существует такого алгебраического якобисоа бивоктора,1гг, который является топзорпым ипвариантом (А.4). т. е. Сь,йгй О (Е -- производнан Ли вдоль поля (А.4)). Зьмечьпие 7. Для системы (А.2), исключая случаи л = ~1, де сих гюр не найдено спекгральное представзенае Лекса и не решен вопрос о возможности интегрирования в тэта-функциях. Возможно, что одним из препятстввй к этому является отсутствие пуассопооой структуры.
Лсйствитсльпе, представления Лекса со спектральным параметром в динамике найдены только для икте! рируемых систем, являющихся гаыильтокоными, Отметим, однако, что в пользу гамильтоновости (А.4) говорит тот факт, что по отдельности две трехмерные системы пз (А.4) являются гамильтоповыми. Первая из пих представляет собой уравнения Эйлера на алгебре ло(3) с гамнльтонианом Н = — (АМ,М). Вторая, после 1 разрешения М = М(1) представляет собой также гамильтонову неавтономную систему па ло(3) с гамильтопиапом Н = — (ВМ(г), 7). Из этого следует, что при любых матрицах А и В движение системы не может быть хаотическим и определяется из решения линейной гамильтоновой системы с периодическими коэффициентами. Однако, при этом дополнительный первый интеграл и, возможно, пуассонова структура не являются алгебраическими в переменных (М, 7).
2. Обобщение системы Жуковского — Вольтерра. Рассмотрим систему уравнений М = (М+ 8) х АМ, 8 = (дг,дз,дз), А = г11нй(иг,аз,аз) (А 8) описывающей движевие уравновешенного гиростата по инерции. В (А.8) А = 1 г, 1 тензор инерции., н — постоянный вектор гиростатического момента, Первые интегралы: 1! = (М - В, М+ 8). Рз = -'(АМ, М) (А.9) Прилозееиие л и = —,'(Ам,м)+ (м,л), л = Ай. Я ]33] была приведена одна модификация системы Жуковского —— Вольтерра, которая состоит в том, что в уравнениях Пуассона надо по- менять знак с пщоса па минус 'у = АМ х у и рассмотроть совместную систему: М = (М+ и) х АМ, у=Амх у. (А.10) Система (А.10) обладает интегралами Кы Рз, Гз = ( у, у), стандартной мерой и длн ее интегрирумости не хватает еще оцного первого интеграла (в классическом случае этим интегралом является интограл площадей).
Как показано в [54], к анализу уравнений (А.10) приводит ряд одна задача пз неголономной механики — качение неголономного шара Чаплыгина с гнростатом по сфере. Можно показать, что дополнительный квадрати шый интеграл (Л.10) сущсствуот лишь в случае .4ед, = О. Однако, возможно, система интегрируема и в более общем случае. Интересно было бы найти для системы (Л.10) условия иптсгрируомости, а также выяснить возможности представить ее в гамильтоновой формо.
Заметим прн этом, что классическая система Жуковского 4Вольтерра является не только гамильтоповой. но и бигамильтоновой. Но если даже система (Л.10) не является алгебраически интегрируемой, ее поведение не будет хаотическим (как и уравнений (Л.4)), вследствие того, что она разбивается на две подсистемы, поведение каждой из которых регулярно (эти две подсистемы по отдельности также явлнются гамильтоповыми см. раздел 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
