Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Условие инфиннтности всех движений системы (1,6) получено в [245): репам (см. ~8 гл. 1), приходим к приведенной системе., описывающей движение в плоскости И™„ 353 З и Обобщенные Нвпочнн '1оды Предложение 1. Если не су~цествует положительных чисел во удовлотворнтщих условию ~, и;он - О и яь ) О, й: 1...,%, то всв ь=1 траектории неограничены, и сиспьсма при 1 — 1 +~х всимптотически свободна.
Покажем, что справсдливо Предложение 2. Если набдутсл положительные. числа з;, длл кото- М рых ~ в;схь = 0 и всв уь ) О, 1 = 1,..., Х, то все траектории систе- ~ — 1 мы (1.б) фииитиы. Доказательство. Согласно (1.6), энергия представляет собой положительно определенную квадратичную форму переменных бо аь, 1 = 1,..., т, Й = 1,.... Х, следовательно, для всех траекторий б,. аь ограничены сверху. Из (1.4), (1.7) следует, что существует интеграл движснил х" = а,' ° ° ° ах' — — 1, в, ) О. Отсюда при условии ограниченности сверху а, следует их ограниченность снизу.
Так как а; = е~ "ч1 ограничены сверху и снизу, то проекция у па К;„" ограничена. Легко проверить. что обычная незамкнутая цепочка, для которой ДГ = и — 1 и счз = (1,— 1,0,...,0). счз = (0,1.,— 1.....,0), сс„-т = (О,...,1, — 1), функция Гамильтона н н-1 О 1~~, 2+~~, „о1ч,— ч, О (1.3) удовлетворяет предложению 1, Для замкнутой цепочки добавляется вектор а„= (-1,0....,,1): и н О = 1 КР +,1 „с 1ч' "' ~ ((1 1 = чз) (1. 9) з=1 ~=1 н и ~ оп = О, поэтому по предложению 2 все траектории этой системы и=1 финитпы к системе центра масс. 364 Перенумеруем координаты фазового пространства: т, о«, тз = пз, ...,хм - пн; хж«з:-- бы ....,хм«ж -.
6ж. (1.10) Тогда ненулевые независимые структурные константы: л д,н <й узз = сан+э = = смм+ж = ' елл „1 — — Аь1., й = т+1,,Х, « =1,...,т. ь (1.1! ) Гамильтониан (1.6) в переменных (1.10) нвляется квадратичным и мо- жет рассматриватьсн как кинетическая энергия некоторого «волчка Эй- лерам мз-еь н нь Н = У = — х 1лтхь = —, ~ййх«+ ~~~ СЗхб«лсзц1«г«П (112) 1 % «ь,. 1Ъ, 2 2 ~.« '' 2 х-« 61=1 хь = сн1 х„хь у и. Такая форма представлении уравнений движения восходит к Флашке [237]., который применил ее к обычной цепочке Тоды.
2. Интегрируемые обобщенные цепочки '1'оды. Метод Ковалевской. Исследованию интегрируемости обобщенных цепочек Тоды посвящены работы [98, 99, 176, 199]. В работе [981 исследованы обобщенные периодические (замкнутые) цепочки Тоды и найден критерий вполне алгебраической интегрирусмости (в смысле Адлера и ван Мербеке) этих цепочек. Этот метод основан на развитии идей Ковалевской о свнзи интегрируемости с существованием полнопараметрического семейства решений, представимых в виде сходящихся рядов Лорана па комплексной плоскости времени. Б работе [99] введено более широкое определение, чем в [98] обобщенных цепочек Тоды, являющихсн аналогом замкнутой цепочки (1.9).
При этом предполагается, что 81 > О, 1 = 1,..., М и векторы с«ы...,с«м, образующие спектр гамильтониаца (1.1), удовлетворяют следующим условиям: где 1«" «тензор инерции». Заметим, однако, что квадратичная форма (1.12) не обязательно являетсн положительно определенной.
В явном виде уравнения Гамильтона со скобкой (1А) и гамильтопиапом (1.6) имс«от вид: З 1. Обовтчиниме Липочки Тодм (1) векторы с«1,..., ««„»1 таковы. что любые н из них линейно невки-1 висимы. и 2 рг«х, = О, где все р«> 0: (й) векторы с«1,...,ОА1 так группируются в семейства Г„(э = 1,...,и —, 1), что каждый вектор с«1 из Г» сопаправлсп с с«„ и '«х,[ ( [гх„[; (1И) я«7'. -0 для всех 1 (1 = 1,..., и+ 1). (Из этих условий и предложения 2 следует, что все траектории финитны.) Для такого рода цепочек в работе [98[ были проанализированы числа Ковалевской (количество различных полнопараметри юских семейств мсроморфпых решений аналитических систем дифференциальных уравнений). Определение работы [176[ получаегсн в предположении, что кал«дое из множеств Г, состоит из единственного вектора «х„.
Как в [176), так и в '98', классификация цепочек Толы связана с корневыми сисгомами в теории полупростых алгебр Ди [8, 816[. При этом обычпыс незамкнутая (1.8) и замкнутая (1.9) цепочки определяются соответственно классической и пополненной схемами Дьшкипа алгебры А„. Эта неожиданная связь была впервые замечена О.И. Богоявленским [18, 199]. Диаграммы Дынкина (или «оснащенные» графы Кокстера) работы [98[ получаются из диаграмм [176) с учетом добавления векторов вида ««и)2. Интегрируемость таких пополненных цепочек Тоды установлена в [98, 99 . ЗАмечАние 1. Отметим, что динамика периодической цепочки (и ее обобщений согласно условиям (1), (И), («И)) является белее сложной пе сравнению с непериодическимк аналогами.
Если для непериодической интегрируемой цепочки величины схр(««,н,(«)) являются рецпопвлы1ыми фупкцкями экспонент ехр(л»1), то е периодическом случае ехр(««нй(1)) испьп.ынают сложные нелинейные колебания. Интегрирование е квадратурах прп этом выполняется с помощью тэта-функций методама алгебраической геометрии.
(По этому поводу см. книгу (167) и обзор (ббс 132).) В работе [99[ получены условия существования у системы (1.1) с положительно определенной формой кинетической энергии полного набора полиномиальных по импульсам первых интегралов (в этом случае система называется интегрируемой по Биркгофу). Эти условия также можно интерпретировать в терминах диаграмм Дыпкина, получающихся из известных диаграмм простых корней градуированных алгебр 356 Глазе б Сь + ~."',7п С, С~ — 0. (1,14) На частных решениях вида С;+~ — — — 1/С6С, >~ = я,СР (1 = 1,..., н) получаем помимо тривиальных решений: р — — 1,1. 2 показатели Кова- левской: р=1 (1.15) (с~„сз .) (Формула (1.15) отличается от формулы, полученной в работах (176, 98) множителем 2 в силу другого выбора системы образующих зо) Для одкозначностп общего решения на консчнолистном накрытии комплексной плоскости времени (208, 240) п обобщенной алгебраической иптегрируемости (176, 292) необходимо, чтобы р, определяемые (1.15), были рациональнымп.
Требование целочисленности 2р при дополнительных ограничениях на семейство векторов оы...,сгч приводит к интегрируемым моделям, отвечающим простым алгебрам .Чи и алгебрам Каца "Муди. Формула (1.15) справедлива также для индефинитной метрики в (1.1). 3. Индефииитные цепочки Тоды. Пссвдосвклидовы цепочки возникают при исследовании космологических моделей в теории гравитации. К пим относится, например, миксмастсрпая модель Мизпсра (см. например. (225)). Ее гамильтониан в канонических переменных (о,р,~1ь,р~,~3,р.
) цмоет вид: и = -( — р,', +р' +р') + — р( — 4ст)~ (д-ь,/1-), (116) где функция $'ф+,/3 ) слагается из шести экспонент: Ъ'(дч-,рЗ ) =схр( 8дь) ж схр(43- -'~ 4ЯГ3-) ч+ ехр(4,9 — 4ЛД ) — 2ехр(4~3+)— — 2ехр( — 29-+2ъ'3/) ) — 2ехр( — 2/1ь — 2ЛД ). (1.17) Каца — Муди с учетом возможности существования в спектре интегрируемой системы сонаправленных векторов. Вычисление показателей Ковалевской для обобщенных цепочек Тоды седержится также в работе [98). Приведем эти вычисления для более общего случая, когда пс обязательно выполнены условия (1), (П), (чП). Возьмом частноо решение л; = С;/1, ! = 1,,2в, При этом С, удовлетворяют системс алгебраических уравнений 2 1.
Оооыценние цепочки Тори Уравнения миксмастерной модели в координатах Х, У, Я,р,ро,р, (225)л Х = — схр(2(ль -(-77++ 27377 )), 1' = —,схр(2(а+ Д. — ъ'371 )), 7 = — ллхр(2(ль — 271 ))л 1 12 Ре = 12( Ро+Р-ь + 27ЗР— ) Ри = (2ро +Р-ь 27ЗР— ) — 1 э 1 1 Рк (Ро Р-ь-) 6 (1.18) можно записать в квадратичном однородном вллде 77е = 2Х(1 + 2 Х) Ри -- 2У(Е+ Х вЂ” У), 7„= 2г(Х -,1 — г), 2Х = Х(ре — Рл — Р„), = 1 (Ри Р Р*) (1.19) 2г = К(7, -7ло -7ло), 2("* 1" Р ) 4(Р Рл+Р ) + 1 2 2 2 1 2 (1.20) + 2(Х'+ У'+ Хз) (Х, У, 7) 2, Показатели Ковалевской миксмастерной модели для частных решений хл = Сл(С 2 = 1,..., 2п равны (22ок): р = -1,1,1,2,2.2.
При этом кратные показатели имеют только простые элементарные делители, что пс приводит к логарифмическому вствлопило. В этом С точки зрения физической интерпретации особый интерес представляет проблема, соответствующая пулсвому уровшо «эпсргиим Н = О. В этом случае речь идет об условной (по Биркгофу) иитегрируемости системы (1.19). Уравнения (1.19) могут быть прсдставлспы как уравнения Гамильтона па прямой сумме двумерных алгебр Ли со скобкой (Х,Р,) = Х, (1':Ри) = 1: ( о, Рк) = о и гамильтонианом Р«лал б Мл .
ослы«М.ч М; .: 1„)лс) с) с) -- 1)2,3) (1.21) гдс 1;; — симметричный «тспзор ипсрцпим При этом д з сзс '=' сб ссз -- сзс — )т) 1 с 3 д сзз =. сзз = ~) сзз = сез = б. (1.22) Будем считать, что ссд — Ду ~ 9. В работе [238) показано, что в об- смысле, с тачки зрения метода Ковалевской, система (1.19) является подозрительной на интегрируемость. Однако, ни один из необходимых инволсотивных дополнительных интегралов до сих пор не найден.
В частности, не изучены условия компактности фазовых траекторий системы (1.19) и возможности существования периодических движений. Вообще, вопрос о физическом смысло интегрируемости системы (1.19) лвляегся слолсным и допускает различные интерпретации в рамках теории гравитации. Отметим) что приведенные в [209, 222] численные исследования спстомы (1.19) также нс позволнют сделать однозначных выводов атноситсльпо регулярности илн стохастичпости сс поведения. Бильярдная интерпретация поведения миксмастерцой модели вблизи сингулярности приведена в [263]. Все результаты относительно интегрируемостн обобщенной цепочки Тоды (1.1) получены в предположении, что скалнрное произведение ( ) ) является дефинитным.
До сих пор не найдено нн одного общего случая иптсгрнрусмости пссндосвклидопой обобщенной цепочки Тоды. Эго отчасти связано с тем. что техника корневых систем существенно связана с евклидовостью пространства и пе допускает непосредственного обобщения на индефинитный случай.
4. Уравнения Эйлера — Пуанкаре на трехмерной разрешимой алгебре Ли. В заключение рассмотрим уравнении Эйлера-. Пуашсаре на разрешимых алгебрах Лн для иллюстрации сложной струк- гуры интегралов движения в простых гамильтоновых системах. В работе [69) указан класс разрешимых алгебр) длн которых общее решение уравнений Эйлера Пуанкаре ветвнтсн на комплексной плоскости времени при любом выборе тензора инерции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
