Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 65
Текст из файла (страница 65)
были указаны П.Е.Жуковским ]63] при исследовании задачи о вращении твердого тела с полостями, заполненными идеальной ехидностью, а интегрирование в тэта-функциях было выполнено В. Вольтерра (333]. Уравнения (А.8) определяют только эволюцию вектора кинетического момента в осях. жестко связанных с твердым телом.
Для описания положения твердого тола в пространстве (при игнорировании угла прецессии) к уравнениям (Л.Х) следует добавить уравнения Пуассона ч = у х Ам. Полученную шестимернунз систему можно записать на алгебре е(:5) с гампльтонианом Расиозноеание сонилетоноеости даналтчесних снстеж йе М = М х АМ+ ЛМ х у. у= ухАМ, Л = Л1А, А = 1 ~ = 01ай(оч,оз,оз).
(А.11) Как показано в '80, уравпопия явля|отса гамильтоповыми при Л = А (они приводятся к уравнениям Кирхгофа. т. е. уравнениям на алгебре е(З)), а также при Л = с)1ай(Ли Лз, Лз)., А = Е. В последнем случае они являются интегрируемыми и линейным преобразованием координат приводятся к случаю Клебша на алгебре с(3) (46]. Уравнения (А.11) обладают двумя интегралами Рг = (М,.у), Гз = = (т,.~) и стандартной ипвариаптпой мерой. В общом случае для их ннтегрируемости не хватает еще двух интегралов. При Л = О такими интегралами являются Гз = (М,М), Ре = (М. АМ). При Л = с(1ай(Лы Лз, Лз), используя метод расщепления сепаРатРис, можно показать, что пРи о1 Р оз ~ аз ~ аг Условии сУЩествования хотя бы одного из дополнительных интегралов движения, порождаемых гз нли Еи имеют Вид = О.
~~~ а1 (азЛз — азЛз + Лг(аз — оз)) = О. (А.12) Из (А.12) видно, что еще один интеграл мол ет действительно сущостоооать при Л = Е. Это интеграл момента Гз = (М.,М). При и1 = аз = о, Л = Е система (А.11) является уже полностью интегрируемой и дополнительным интегралом является ге = айте + 7з. 3. Движение ферромагиетика при наличии эффекта Варнетта Лондона.
Суть квантовомеханического эффекта Барнетта заключается в том, что нейтральный фсрромашестик намагничивается вдоль оси вращения. Прп этом магнитный момент В связан с его угловой скоростью со соотношением В = Л1ы, где Л1 - некоторый симметрический линейный оператор. Аналогичный момент возникает при вращении сверхпроводящего твордого тела под действием эффекта Лондона. Если тело вращается в однородном магнитном попе с напряженностью Н, то на него действуют магнитные силы с моментом В х Н. Обозначив у = Н, уравнения двилгения моясно записать в виде: ййо Прннеэкенне А Вопрос о гамильтоновости уравнений (А.11) был поставлен в [82), однако до сих пор не является решенным. Еак отмечено в [7), в случае аз у'-аз / аз ~х аг для гамильтоновости необходимо, чтобы матрица Л была диагональной А = г)1афАы Лз, Аз).
Вычислопис показатолсй Еоваловской при аз = аз = В, аг — — 1 для решения Аз Аз сз гз гз приводит к следующему набору ( — 1.1е2.1 е — 2В,1 —  — еег Для него не выполнено условие спаренности, типичное (в общей ситуации псвыромедсппости в точке (сы ...., се) структурного тспзора) для гамильтоновых систем. Однако, вто наблюдение не может считаться строгим доказательством негамнльтоновости системы (Л.12) Я 7 гл. 1).
ПРИЛОЖВЯИВ В Неголономные системы, приводимость и гамильтоновость Здесь мы рассмотрим ряд вопросов. связанных с теорией интегрирования уравнений ноголономной механики. Эта теория развита не столь полно по сравнению с методами интегрировании гамильтоновой механики. На это имеется рнд причин. Во-первых, уравнения движении псголопомпых систем имеют более сложный впд по сравнению с уравнениями Лагранжа и Гамильтона, описывающих динамику с интегрируемыми связями.
Попытки распространения метода Гамильтона Якоби на системы с голономнымн связями оказались неэффективными с помощью обобщенного метода Гамильтона — Якоби можно найти в лучшем случао лишь частпью решения уравнений движения [316[. Во вторых, уравнения неголономвой механики в общом случае по имо~от ипвариаптпой моры [83]. В работах [79, 83[ было показано.
что уравнения неголономного качения твердого тела (типа кельтского камин — динамические параметры которого существенно отличан>тся от геометрических) по плоскости, уравнении задачи Суслова не имеют интегрального иввариавта с положительной плотностью. В работе [26[ доказано отсутствие иивариантпой меры для уравнений качения трехосного эллипсоида по абсолютно шероховатой плоскости. Отсутствие инвариангной меры — характерное свойство пеголопомпых систем.
Однако апизотроппоо трспио в продоло совместно с сохранением по;шой энергии. На многообразиях уровней энергии могут возникать асимтотически устойчивые положения равновесия или предельные циклы, что препятствует существования> дополнительных «регулярныхь интегралов движения. Явное интегрирование уравнений неголономпой механики во многих случаях основано на теории приводящего множителя С. А. Чаплыгина [16Ц. При этом ищется замена времени (разная вдоль разных траекторий), с помощью которой уравнения движения приводится к ураннениям Лагранжа или Гамильтона. ОО2 Приложение.
И С, А. Чеплыгин привел ряд систем неголономной механики, среди которых особое место занимает задача о качении динамически несимметричного уравновешенного шара (шара Чаплыгина) по горизонтальной плоскости [1б2], иптсгрирусмость которой связана с наличием инвариантной меры. Приведем современную формулировку теоремы Эйлера - Якоби;4], определяющей условия интегрируемости таких систем. 1. Теорема Эйлера — Якоби. Пусть диффсропциальпос уравне- ние (В.1) определяющее фазовый поток у', обладает интегральным инварнантом с некоторой гладкой плотностью М(х), то есть длн любой измеримой области Ю С К' и длн всех 1 выполнено равенство М(х) Йх = ~М(х) дх. (В,2) з'[о1 1.
решения уравнения ('В.1) лежащие на Е, находяспся в квадратурах; г. если В, связкая компактная кпмпоньнта мнолсества уровня Ес и Дх) ф О на Е„, гио Х,с гладкая поверхность, диффеоморфная дпульерному о~ору; Согласно теореме Лиувнлля гладкая функция М: Ь" -+ К является плотностью интегрального инварианта [ М(х) с1з: тогда и только тогда, когда (11ч(МТ) = О. Если М(х) > О для всех х, то формула (В.2) определяет меру в К". инвариантную относительно действия дз. Еще Эйлером было показано, что при н = 2 и наличии инвариантной меры (интегрирующего множители) система интегрируется в квадратурах. Используя классические результаты Эйлера и Якоби (теория интегрирующего множителя) и теорему А.
Н. Нолмогорова о приводимости дифференциальных уравнений на торе с гладкой инвариантной мерой [1О2], можно сформулировать следующий результат [4] Теорема. Вредпололсим, что система уравнений (В.1) с инварионтноп лирой (В.й) имеет ж — 2 первых интвгрпли Ры...,Ез. Пусть но общем уровне. первььт интегралов Е, = [х С ч": Р,(х) = С,),1 < в < и — 2 функции Ры...,Ен з независимы. Тогда Негогьономиыс сипгтмы, лриоодимость и гамизыпоноооспьь 393 3. на 7с можно подобрать угловые координаты (.г, у) щос! 2п так, что в этих переменных уравнение (В. Ц но Ас приняло бы следующий вид: х= у= Л !ь Ф(".у)' ' Ф(,у)' (В.З) и= —, с= —, и= .
)г / Ф(х у)дхду. (ВА) р о о Из результатов (102) следуот, что если Ф: тз — > К гладкая (апалитическая) функция, то почти для всех пар Л, р е Р~ существует гладкая (аналитическая) замена утловых псрсмсппых х,у ! пьо, приводящая систему (В.З) к системе (В.4). Приводимость системы (В.З) к системе (ВА) зависит от арифметических свойств отношения ог = —, кото- Л Р' рое называется гисяом вращении касательного векторного поля на торе Тг =- 1(х.у)пюд 2я). В частности приводимость обеспечена при выполнении диофантова условия сильной несоизмеримости: существуют такие с > 0 и й > О, что при любых целых гп > 0 и и > 0 справедливо неравенство (гп — тио( > с1ь", которое выполняется для всех ог, кроме многкества лебеговой меры нуль.
Можно сформулировать простое необходимое условие приводимости (77, 79). ПУсть Ф(зи У) = 2" Рт и ехР(ь(пис+гьУ)), 6„, „= сР „. Если дифференцируемой заменой угловых переменных систему (В.З) можно привести к виду (В.4),. то рнд 2 Е учит < ео гпЛ+ пр ) т 'гь ( щ фа (В.б) сходится. Прн резонансном ы тор Т~ расслоен на семейство замкнутых траекторий. В этом случае условно приводимости эквивалентно равенству периодов обращения по различным замкнутым траекториям. гдв Л, Р = сопит, Л вЂ” Рг У- ;О, а Ф(тч У) — савдкал положителыи Я угункигя, 2п-периодическая по т, и у. Уравнения (В.З) имеют инвариантную меру ДФ(х,у) дхду и усрсдпяя правые части (В.З) по этой морс, получим дифференциальные уравнения стрсс сезсенссе ес В общем случае.
когда разложение фурье функции Ф содержит ненУлевые гаРмоники, точки (Лс1с) б Рл с Рациопальао независимыми (Л,и) для которых рнд (В.5) расходится, вскуду плотны в 1Жз. 2. Задача Чаплыгине. В качество примера рассмотрим задачу о качоннн неголономного шара Чаплыгина по горизонтальной плоскости (162). Уравнения движения шара в проекппях угловой скорости ы Е Яз и орта вертика;и у б Жз на главные центральные оси, асестко связанные с шаром имеют вид М =Мхы, ъ=ухосс М = 1ос Ф Хс у х (ы х у), Хс = ссюз, (Б.б) где 1 - - тспзор инерции шара относительно его цсптрас гп . - масса шара, сл его радиус.
Уравнения (В.б) имеют инвариантную меру с плотностью ЛХ =, А = (1 т 11Е) ссс — еСЗс,сС' (В. 7) 'КЮ . Ж( ) 1(1 ~ — и ~)Ф(С и) у1(~ ~ — и ~)Ф(~' и) е = ес — ссс:с (Б.б) Коэффициенты многочлона Рл(бебРл — — 5) и постоянная а зависят от ссаралсетров задачи и констант первых интегралов, а переменные ~си изменяются в различных замкнутых интервалах а, < с; < оз„ Ьс < и < блс где полипом Рл принимает неотрицательные значения. Четыре первых интеграла гс — — (М,ос). Ез = (М'у) Гз = ('у с) = 1с Ре = (ЛХ,ЛХ) обеспечивают иптсгрирусмость системы (В.б) в квадратурах.
Наибосссс просто уравнении (В.б) интегрируются в случае, когда постоянная интеграла площадей Ез = (М,7) равна нулю. В эллиптических координатах ~, сх на сфере Пуассона (7, 7) = 1 уравнения движения на общем уровне первых интегралов имеют впд [79, 162) Неголонольньье снстельм. нжлоодн ность и галнлльньоноеость ;595 Замена переменных а Л-'=1 1 "l,ФД'7 »» !л -» 1 еде „ГРо(е) , =л/ е~ ч р= р./' сьз ,4~Г (В.9) Ые ,лРо(г)' »1 оводит углов»пс координаты лгу пюс1 2н па Ет в которых уравнения движения приобретают вид (В.З) 9= Ф(ж, у) Ф(ж, д) (В.10) Ф = К '(л) — '(л:)) е с(г ° ЛРл(л) Приводимость системы (В.10) к виду (В.б) и сходимость ряда (В.б) может иметь место не для всех ннвариантных торов.
Отметим, что в гамильтоповом случае по теореме Лиувилля и в силу существования переменных действие-угол приводимость к виду (Е .0) всегда обеспечена. Таким образом, псприводимость уравнений (В.б), (В.10) к (В.б) можот рассматрпватьсн как препятствие к гамильтоповости этих уравнений. Вопрос о гамильтоповостп уравнений (В.б) был поставлен в (82). но до сих пор не нвляется решенным. Один из возможных вариантов решения этого вопроса состоит в исследовании сходимости ряда (В.б).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
