Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Неудивительно, что эта стуктура, играющая ваачную роль при динамическом анализе, так и не была замечена классиками (хотя различные комбвнации площадей и взаимных расстояний постоннно встречались при исследовании динамики вихрей [Г17, 188, 183, 184, 238[). ЗАМЕЧАНИЕ 2. Уравнения двиачения вихревой динамики квазиодвородны (см. з 7 гл. 1) как в абсолютных (1.1). так и в относительных переменных. В абсолютных псрсмсцпых стспспь квазиодпородпости 8 = . /ч, а в отпосигельных --- „= — 1. Тем не менее„система имеег логарифмический интечжл энергии. Зчмечлние 3. Геометрическое неравенство треугольников типа огЯ~ ф -!- ъ~Мз ~) ОМч для приведенных уравнений заведомо выполнено на особых симплектичсских листах (сингулярных орбитах), фиксированных соотношепинмн Р)зь = 0 (1Л2).
Этот лист целиком заполпсп реальным физическим движсписм системы. При ого проекции в М-пространство в точках, для которых выполнены соотношения вида ~/М~ + чгМз = чгим возникают особенности типа складки (аналогичные особенностям в точках экватора прн проектировании сферы па олоскость). 3 2. Динамика точечных вихрей на сфере 1. Абсолютное движение. Канонические уравнения. Рассмотрим задачу, родственную предыдущей, постановка которой также восходит к прошлому веку.
В работе [Щ И. С. Громока (1883 г.) пытался вывести уравнении двилсення точечных вихрей нв сфере из основных принципов гндродннамики с использованием картографических преобразований. Однако он не смог найти в явном виде функцию тока, обобщающую плоскую ситуацию. В дальнейшем этой задачей занимался Э. Цермело [341], в книге [68[ отмечена важная роль модели точечных вихрей и вихрсисточников для целей динамической метеорологии.
Общая гамильтонова форма уравнений движения АГ-точечных вихрей и интегрируомость системы трех вихрей на сфере была указана (2.1) тГ=гоГА, ЬА= — ы, где ш(г, О. ш) = —,, ~~ Г;д(б — б,. ш — ~р;) з гл лют . а=1 (2.2) В.А. Богомоловым в работах [14, 1о]. Б работе [264] уравнения Богомолова проанализированы с точки зрения отображения момента, и работах [6, 193] доказана неинтег рируемость ограниченной задачи четырех пихрой. Злмнчлпнг, 1.
Потоппилльпыс точения идеальной жидкости па искривленных поверхностях рассматрнеалнсь Вельтрами, Хиллом н Умовым (работы последнего относятся к области классической влектродннамнкн вследствие существования хорошо известной аналогии). В работе [56] Громека рассмотрел уравнения движения точечных вихрей на поверхностях сферы и цилиндра. а танжо даже более общую задачу о движении вихрей в области па зтнх поверхностях ограниченной замкнутым неподвижным контуром.
1зак вылет сам Громека ]об], -. «Задача о движении вихрей ла сфере была мне указана профессором В. В. Преображенским, по мнению которого решение етого вопроса должно представлять большой интерес для целей физической географиим В работе [15] разобраны некоторые варианты вихревого движения на вращающей сфере. Мы покажем,'205 как уравнении движения Дг вихрей на сфере радиуса Л можно представить в гамильтонавой форме с вырожденной пуассоповой структурой, задаваемой пслипсйпой алгеброй Якоби [55]. Более формальные вопросы обсуждаются в ~ 6 гл. 4, Для вывода уравнений движения точечных вихрей рассмотрим движение идеальной несжимаемой жидкости между двумя твердыми концентрическими сферами в отсутствие внешних сил.
Данная модель в некотором приближении описывает атмосферу Земли. Прежде всего уточним понятие точечного вихря на сфере. В пределе, когда толщина сферического слоя жидкости стремится к пулю, используя теорему Вейса [118] и гармогнлческую сопряженность потенциала и функции тока течения на сфере, можно показать, что эквивалентным представлением точечного вихря на оз являетсн полубесконечная вихревая нить вш~ постоянной плотности, исходящан из центра сферы. Определим поле скоростей жидкости в пространстве, задаваемое дг вихревыми полупитями. В отсутствие источников и стоков из разложения Гельмгольца получим 'В 2.
динамика точечных еигреп яа сфере задает распредоленне завихренности Х полунитей, Ъ' — — скорость жидкости, А векторный потенциал, Вч„~рч — — угловые координаты вихрей на сфере, Г;." их интенсивности. Ращение (2.1) с помощью функции Грина в Уз запищстсн в пидс Ав=О, А„=О, ю е Зе /' /' /',, „г' вшВ'Аг'00'Вф 4~ В / О !г~ + г'з .
2ччоЬ(0, ~р., В', ~р'))'~~ о о о (2.3) 1 ОА,, 1ВА, (2.4) чвшВ Ор' ' г 00' Интегралы в правых частях (2.4) сходятся. Вычислив их, получим поле скоростей от системы вихревых полунитей в Кз 1 оч 1 А 4 ~Х- '1 — Ь' " 4кгх- '1 — Ь' ех(~р, 0', ~р') =. вшО' в1п(р — ~о'), (1(0.:р, О',:р') —. сов В в1п 0' сов(чо — ео') — гйп 0 сов 0', Ь, = Ь(В, |р, В;, р;), си = о(~р: Оо ~ре),,4 = ЯВ, ~р; 0; ре). (2.б) Интегрирун по углам ныраженин (2.4) с учетом (2.б) и исключив таким образом бесконечное постоянное слагаемое в (2.3), находим потенциал А, = — — ~~ Г; 1п(1 — Ь,). 1 4я (2 б) В отлично от плоского случаи (а также аналога ньютоновского потенциала в небесной механике 32 гл.
3 на чз) полученный потенциал где Ь(В, ~р, В', 1о') = ыпВв1пВ'сов(р . 1о') + совОсов0' — косинус угла мел ду векторами (г, О, р) и (г. 0', р'). Интеграл (2.3) имоет несобствсппуво логарифмическую расходимость па радиусу. Для выделения регулярной части интеграла выразим составлнющне скорости 1'а., 1' из (2.1) о сферической системс координат 264 Глава 4 удовлетворяет уравненюо. которое отчпчается от ураввения Лапласа.- Белвпрами дополнительной постоянной, равной сумме интенсивностей всех вихрей: — — ~вй  — )+ х —., =- л ~ Г;д(д-Во~-Рв)+~ Г„. 1 0 '. дАх 1 дзА 1 ч1п д 00 00 яйпх В 0Ф' в1пд я1пд, я1п(~рь — ря) 4~гв'л ~ 1 — 5 ъ я сов дь в1п д; сов(~рь — ~ря) — я|ива сов д; 4 Яз 1 — сов у;ь я соя тйь —— соя д; созда + я1п д; я1пда соя(ря — ьаь),1, й = 1, 2, ..., йг, (2.7) где "~яь угол между радиус-векторами, соединяющими центр сферы с точечными вихрями г и й.
Этн уравнения гамильтоновы со скобкой Пуассона (вао соя да) = Лзгя (2.8) и гамильтонианом Н = — — ~ Г;Гь1п ~40 в1п" —", 8я2 ' 1 ' 2!' (2.<Э) Система (2.7) всегда имеет четыре интеграла движения я Е1 =- ся, Гз — Л~ Г;я1п я=1 Х Ез = Н~гяв1пд'яп1~р = сз, Ез В, соя~рв - св, (2.10) Ю = В~~~ Г;сояд; = сз. ,Яаппуво модель вихря па сфере мояспо также ипторпрстировать ~265) как точечный источник завихрепности плюс общая завихрсппость сферы с противополояяпым знаком.
Заменив теперь в (2.5) г, д, ~р па й,, Вго ~рь и опускан члены с 1 = й, получим искомыс уравпсппн двиявспия лд вихрей па сфере 'З 2. )1аяплека тсзсчяыз аахрсб на сфере которые, однако, не находится в инволюции, Можно показатсч что ин- тегралы Кы рз, рз коммутируют как компоненты вектора момента: (АЗ~с)) = дсбь~'А 1 (2.11) ЗАМЕЧАНИЕ 2. Декартовы координаты вихрей е,л,г при вложении сферы в трехмерное пространство коммуткруют как образующие алгсбр Ао(3) (алало- гкчкс компонентам моментов для волчков) А., (е, зза) — ° г Ф7"'оа~ где з,у номера вихрей, о,)з,т — номера комполспт.
2. Алгебраическое представление. В Рнс. 29 качестве новых переменных, аналогично соответствующим величинам в динамике вихрей па плоскости, примем: лфо '-. 4Д'еш 2 ' (2.12) П= -8 у Г;ГА!п))4сь. (2.13) Из соотношений между каноническими координатами (2.11) можно найти коммутаторы между везичинами М,А. 4(,Г ~"'" Г ~'"',/Ае" +4(,Г бн Г бд й'"" где введены обозначения: Ь,рь = - г; Л г, Л гь. 1 (2.15) скобка Пуассона между величинами М;А пропорциональна объему параллелепипеда, натннутого на радиус-векторы тройки вихрей на сфере являющиеся квадратами длин хорд между соответствующими вихря- ми (205).
Гамильтониан (2.9) зависит только от относительных пере- менных: 266 Глпвп .,' (см. рис. 29). Мы обозначаем соответствунииие характеристики задач о вихрях на плоскости и сфере одинаковыми символами, Полный набор фуикций Мол и ли.г замкнут отиосителвно скобки (2.11) ( .„'.,) = ~ — „Б,.-Гд1. (Ми —,.+Мг-м,ч)+ (1 + (х — би — — бд (Мпи — Мел -~- Мл — М ) — ' г 1 + (1, бо — 1, бх ° (Мм Ма. МП вЂ” Мхп) .,~ — й — — Ь (М1,М; — %~А,) 1 (1 ! + ' ( Г б'и' ' 61"' (МхлМи МсвлЬ) ' (2'16) бв ( Г Г (, ': 2)1г Ап(, 1 + Г ~гы ~зн (М ~: Ми~." ) + Г,1 2Дг Б,~ ( — ~~м — ~вы +, (Мх ~а — Мбз ~гы ) Гх (, 2Дг бг и 1 + . ( '"" 'Ы+ г( 1 'Ы 1' ип) + + --. ~Ьи~ -Ьвв„, - -- (М,~Ьм -Мх,„,Ьа~) Г.
(, 2яг блг( 1 + Г 1 ~оп ~озп + г (М~,"п~1обт Мып~ои) + Г. ~, 212 Г Г 1, " Ю бп ( 1 + — (~„:„, — ~„:, +, (Мл„,Ь2, — Мы~;,:„,) Г (, 211 1х.,уикамика точечных вихрей ка сфере Квадратичная неоднородная алгебра вихрей на сфере принадлежит к классу нелинейных алгебр Якоби (55. 205), плоский случай (1.10) сс линейная аппроксимация.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
