Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Если пространство Ь' отождостплепо с Ь при помощи формы Тг ХЪ', то зти уравнения могут быть записаны в виде Х = ЕойХ вЂ” ХЙЕо (9.4) где Х с х, Й = Й(Х) с Х дифференциал квадратичного гамильтониапа Н(Х) = — "ХгХЙ. 2 А.М.Псроломов и [13ог) обнаружил интегрируемый случай зтих уравнений, явлшощийсн многомерным обобщением случаи Клебша. Гамильтониан Н(х) в атом случае имеет вид Н(х) =— Е ' — Е Ьза, аб+ — ~~ Ь,нем (О.б) где Х = (шгт) и коэффициенты удовлетворяют соотношениям (Ь; — Ьт)а, + (Ьт — Ьь)а, -ь (Ьр, — Ь;)а,, = О для лнзбых 1 ( 1 ( у' ( Ь ( и — 1, Производи пссложпыс вычисления, можно установить [19], что уравнения многомерного случаи Клебша гамнльтоновы на пространстве 1 - Х* относительно каждой из скобок пучка (ч )А, А Е У!!О, где 3 9. 1.
— А-аары и вигамильтанаваст>а ливны лучив ,1' = (Л11+дЕо) и элементы >1; диагональной матрицы В определяются из соотношений >1> — >1 =(Ь; — Ь)а;, 1<><Х(и — 1. Полнота интегралов также следует из теоремы 4 3 5 гл. 1. Можно заметить, что лиевы пучки ((ь ]лвл) и (]ч ]лам) изоморфны при В: ЕоП >. Отсюда сразу вытекает обобщение результата А. И. Бабенко длн и = 4 [13], установленное А.
В. Болсиновым (19]. Теорема. Существует линейная замени переменныл, переводя>цая уравнения дйлера динамияи в-мерного твердого тела в уравнения (и — 1)-.иерного случая Клейн>а. 3. Система Жуковского — Вольтерра. Указанная конструкции допускает некоторые модификации.
Рассмотрим на Гчз скобку Пуассона вида (Мо Л11) = — гдисгЛХи; (9.6) прп с; ) 0 изоморфную алгебре во(3). Уравнения Гамильтона со струк- турой (9.6) могут быть представлены в виде Ь = ]Ь, А] с матрицами Лз ЛХ2 Л>М> 0 0 Б= -Л,М, Лз ЛХ2 Лз "Хз Π— Л,М, 1 дН Лз дЛХз (9.7) 1 д11 Л> дЛ1> где Л> = 1 /с>>сь При выборе функции Гамильтона в видо 11 = -(АМ, М) - (и, М)> 1 2 где А = Йвн(а>, аз, аз), и = (д>, дг>дз), а>, „. с К и структуры (96) при с; = 1 получим классическую интегрируемую систему Жуковского Вольторра, описьюаю>цую инерционное двгикспис ураоповошоппого ги- 1 дН Лз дмз 1 дН '>2 >3>>>2 1 дН Лз дЛХ2 1 дХХ Л дЛХ, Глава 9 ростата (63, 333).
По теореме 4 )) 5 гл. 1 ос можно записать па однопа- раметрическом пучке пуассоновых структур .У(1(з) = — зць(зМь + (аьМь — дь)) = — з(ль(з + аь)Мь + згбьдк (9.8) с соотвотствующим ссмойстпом интегралов Н(л) = 2(во — 17г), 1+в О, -(М,М). При помощи сдвига М -+ М+ „ь/сьо сь -ь аь + з скобка (9.6) приводитсн к виду (9.8)( а соответствующаи Х вЂ” А-пара (9.7) имеет форму Мз — яз/(з + аз) (з + аг)(з + аз) Мз Кз/(з + аз) М2 .
ьз/(з а2) (з + аз)(з + аз) М( - дг/(з - аз) (в + оз)(в †, аз) (в + а,)(з -ь аз) А=, аз О -а, где Накса Гейзенбергв было дарассмотреНного при помощи А — ( А — в(в -(- а()(в л- оз)(в — аз)1, ( + (('~- ((о"— .Т + (о+".(((-,— ° . = Е ('( (( ~ г((( .— Зьмичлнии 1. Несколько другое представление но в (1Щ. Его мегино получить из талька что преобразовании ь -Ф не меняющего формы уравнений Ь = .;Е, А). ~аз Дз/(З + а2) (о-',- (о~ ( Мг — дз/(в + аг) 1)Мг — за(), 1) Мз здз): 1)Мз — вдз). З 9. Е А-лары и Лиоалилыпол липок пучки Как показано в [2!1, 300), представление уравнений движения в форме 1!акса --!'ейзснберга влечет за собой не только полную ннтегрнруемость (которая также может быть установле>ш из сообралпеннй бигамильтоповости., з б гл.
1), по н принципиальную возможность (без явного указания разделяющихся переменных, линоаризующих систему) выразить решения в тэта-функциях. Они определены на многообразии Якоби Лас(С) аж ебранческой спектральной кривой С С = (Р(Л. 1л) = г!е1(1 (Х);иЕ) = О) плн па некотором абслсвом ого подмпогообразии — многообразии Прима Ргуп1(С) С йас(С). Как показано в (246), при рациональном вхождении спектрального параметра в Х вЂ” А-пару возможно, что через тэта-функцни. ассоциировапые со спектральной кривой С однозначно вырал~аются квадраты фазовых переменных, но не сами эти переменные.
Такая ситуация имеет место для систомы Мапакова (1Ц и случая Порсломова (1Зб). Как правило, при гнперэллиптпческом представлении фазовые переменнь1е однозначно выражаются через тэта-функции. Кроме того, для систем типа Пйуковского- Вольтерра, представлении Лаков Гейзенберга с рациональным спектральным параметром до сих пор не обнаружено и, видимо, не существует.
Мпогомерпыо интегрируемые обобщения этих уравнений также пс найдены и в общсм случае (ужо для оо(4), см. х 7 гл. 3) п.-мерный свободный гиростат обладает неиптегрнруемой динамикой. 4. Обобщение. Нестандартный матричный коммутатор. Здесь мы приведем еще один пример, связанный с многомерным обобщением интегрируемого случая Лнцунова Стеклова (20).
Используемая при этом конструкции обоощаст изложенную выше н связана с приводимыми лиевымп пучками. Классификация таких пучков, в отличие от неприводимых, рассмотренных в (70). в литературе, видимо, отсутствует. Как будет показано далев. кажчый такой пучок на полупростой алгебре Ли определяет семейство интегрируемых систем и сотвстствующих им прсдставлспий Лакее — Гсйзспбсрга со спектральным параметром.
Многомерное обобщение случая Ляпунова -- Стеклова было впервые получено в 22 без использования обсуждаемой конструкции, что не позволило заметить нзоморфизм интегрируемых случаев на различных алгебрах и выяснить действительное происхождение Ь -- А- 960 Глава в пары, которая была указана Кеттером еще в 1900 году (для классического случая на е(Ъ)) [267].
Прежде сформулируем некоторые следствии предложения 2 для матричээьэх алгсбр. Пусть В матричная алгебра Ли со стандартным матричным коммутатором [.,-], на которой задана еще одна нестандартная структура алгебры Ли [, ]л. Пусть ээвэ Ь вЂ” э Г. отображение, устанавливающее изоморфизм между [, ]л и [, ], т. о. Пусть 1,* — двойстээенноо пространство. Рассмотрим уравнения Эйлера на Л* с некоторым гампльтонианом Нл, отвечающие алгебре Ли [., ]л: = (айл)лн,ййх. Псно, что зтн уравнения с помощью линейной замены приводятся к уравнениям, отвечающим стандартному коммутатору. В частности, если 1 — — полупроста. то к уравненилм в форме Паээса---Гейзеээберга. Соответствующая замена имеет следующий вид: (9.9) где эр*э Г* -+ Х* — оператор.
сопряженный р. А именно, после такой замены уравнение приобретает вид э) = аэ1ан®9 причем новый гамильтониан И: Х* — э П связан со старым гамильтони- аном Нл. Ь' -э 11 естественным образом: Н(9) = НлМ (9)). Если алгебра Г, — полупроста, то мы получаем после замены уравнение вида (9.10) 1) = [р «Н(р)].
Укажем также свнзь между функциями Казимээра,)' и (л скобок 1 э ) и ] . )л соответственно: (9.11) )л(х) = ((р* (х)). 'г з. 1 . А-норы и бигамилыиооооостм лиеоы аучно Это полезно для нахождения функций Казимира нестандартной скобки. рассмотрим теперь лион пучок ца прямой сумме пространств косо- симметрических матриц Е = во(п) + во(п). Элементы этого пространства будем записывать в виде пары (Х,У), Х Е во(п), У Е во(п). Пара коммутаторов, порождающих пучок имеет вид: [(Хы Уг), (Хг, Угйо = ([Хы Хг], [Хы Уг] -Г [Уы Хг] — [АыЛг]В): [(Х,.
Уг). (Лг: Уг)]г = ([Хы Хг]в; [Уы 1г]). Здесь через,, ]'н обозначен коммутатор виде [Хы Хг]и = ХгВХг— — ХгВХы где  — симметричная матрица. В пашем случае мы считаем ее диагональной, Неслогкно проворить, что данные коммутаторы согласованы, т, е. любая их линейная комбинация удовлетворяет тождеству Якоби и задаст, следовательно, па пространстве во(п) ~ во(п) структуру алгебры Ли. С помощью явной проверки устанавливается изоморфизм алгебр Ли из рассматриваемого пу гка [' ']еех г = [ ']о+ Л[ч ]ы Лемма 1. Если Л ф О и де1(Е + ЛВ) ф О, то алгебра,7и [ч']он~я г изоморфна во(п) + во(п) со стандартнылг матричным нолгмутатором.
При этом изоморфизлг р задается следующими явными формулами: р(Х,1 ) = ((Е+ ЛВ)'~гХ(Е+ ЛВ)'~г, ЛУ+ Х). Из этого утверждении легко вытекает вид инвариантов коприсоединенного представления на Е*. Как обычно мегино отолгдествить Е = = во(н) + во(п) н Е* = (чо(п) + во(п))' при помощи скалнрного произведении ((Х,У), (Е,Р)) = Тг(ХЕ+ УР).
Операторы ю*: Е" — г! * и д*: Е* -+ Е* имеют тогда следующий вид р'(г. Р) = ((Е+ ЛВ)гГгР.(Е+ ЛВ)'~г+ Р, ЛР), р*'(РЛР) = ((Е+ ЛВ)-'~г(И вЂ” Л-'Р(Е+ ЛВ)-'~г Л-'Р) Инварианты прямой суммы Е = во(п) + во(п) при стандартном представлении хорошо известны. Это функции вида 1г Егь тг Ргь Глава и Используя (9.11) и новый вид оператора ссв' получаем явный вид функций Казимира скобки (, )оз.ла. Тг((Х вЂ” )с 'Р)(Е+ ЛВ) ') с ТгРз".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
