Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Переменная Н «нумерует» симплектические листы, гомеоморфные кокасательному расслоению к двумерной сфере. Получим теперь канонические координаты длн шестимерного симплектического листа скобки Пуассона„гомеоморфного кокасательному расслоению к трехмерной сфере Т*Я~, определенной семимерной алгеброй Ди 1(7) = во(3) б, Ж«. Для етого используем уже построенный набор (уч С, 1, и). Примем в качестве новой переменной «действие» Н н введем сопряженную ей каноническую переменную Ь..
Найдем выражения чорсз осрсмсппыс Е, С, Н, 1, д, Ь параметров Родрига— Гамильтона Ло,ЛыЛз,Лз. Для их получения будем последовательно разрешать системы дифференциальных уравнений в частных производных, которые возникают из следующих четырех наборов коммутационных соотношений. 1 У. Ограничение пуассоновоп струкпьурьь и канонические переиеннме 151 Используя также полученные ранее выражения для вектора у: 'уь = 2(ЛьЛз ЛоЛг). 'уз = 2(ЛоЛь+ЛзЛз); 'уз = Лоз Льз — Лаз+Ля зчерез ььанонические переменные (8.6) лл условие нормировки ЛД+Ль+Л~+Лз -- 1, придем к следующим соотношениям: Ло = — (Я|в(8/2) Яп(д» ) сов(х ) + Яьь(Д/2) сов(У ь) сов(х ) + 1 л/2 -ь- сон(Я/2) Яп(У+) вш(х» ) — сов(8/2) сов(У» ) Я1п(х+))ь Ль = — (вььь(я/2) соя(у ) яп(х ) — яш(я/2) вш(у ) яп(х )— 1 ч/2 — соя(и/2) яш(у ) соя(х~) — сов(д/2) сов(у ) соя(х+)), (8.11) Лг = — ( — вш(д/2) впь(у ) впь(з; ) — яш(д/2) сов(у ) яп(ььь ) + 1 ч/2 ь- соя(д/2) яп(у.
) соя(х ь ) — соя(я/2) сов(у ) соя(хо )), Лз = .. (вш(ьо/2) яп(у ь ) соя(х ) — яш(д/2) соя(уе) соя(х..)— 1 ч/2 .- сов(д/2) яп(уь) яп(х ь) . соя(у/2) соя(у,) яш(хс)). В формулах (8.11) ввсдопы углы (., т (см. далсо рис. 4) (8.12) ( = агсяп1Х/С, т = агсвш 1./С и комбинации: х „= — ((+ т), х = — (( — т), уь = — (1+ 1ь), 1 1 2 ' 2 ' ' 2 Если действовать формально, то с помощью предложенного алгоритма моллно ввести канонические переменные, не интересуясь их мехапичоским смыслом. Однако, порсмоппыс Апдуайс-- Дольрьл., возпикаьощие из приведенных рассуждений, имеют естоственвое динамичоское происхождение. Опо иллюстрируется па рис.
4. Здесь через ОХ1 Е обозначен воподвижный трехгранник с началом в точке подвеса, Охдз -- жестко связаннан с телом система координат, ь' — плоскость. проходящая через точку закрепления н перпендикулярная вектору кинетического момента волчка М. В приннтых обозначениях: !52 Глава й Е -- проекция кинетического момента аа кодаи)аную ось Оя:, О величина кинетического момента, Н его проекция на иеподвижпую ось Ох";. . - угол между осью Ох и ли— аией пересечения Е с плоскостями У Охр и ОХУ; д — угол между линиями пересечения У.
с плоскостями Охр и ОХУ:, Ь угол между осью Ох и ли- вией пересечения л, с плоскостью Рис. 4 ОХ У. Отметим, что система переменных Лидуайе-. -Депри пе разбивается па позиционную и чисто импульсную составляющие подобно углам Эйлера и сопряженным им каноническим импульсам. Одиако, они очепь удобны для применения метода тоории возмущений, т.
к. связаны с компонентами кинетического момента. В двух наиболее известных интегрируемых (иевозмугцеииых) задачах динамики твердого тела - - случаях Эйлера и Лагранжа переменные О и л, соответственно являются интегралами движения. Сходные системы оскулирующих злементов, не обязательно являющихся каноническими, использовались еще в прошлом веке 11уассоиом, Шарлье, Аyдуайе и Тиссераиом при построении теорий вращательного дпилссппя планет в псбоспой механике. Их независимое введение в атом веке А.
Децри позволило осознать вх универсальный характер в динамике твердого тела оии использовались дзя примеиевия методов качественного анализа в 177] (где называются специальиыми каноническими переменными) и для численных исследований 128]. Формулы (8.11) могут быть использованы при примеиеиии методов теории возмущений для изучения задачи о движении твердого тела в суперпозиция потеациальиых силовых полей (см.
Я ЗА). В 9. Š— А-пары и бигамильтоновость: лиепы пучки В следующих двух параграфах мы рассмотрим ряд систем, обобщающих классические интегрируемые случаи дииамики твердого тела, Зу. Б. А-пари и бигалтль>иоиоеость> г>иевы пучки для которых решение вопроса о связи бигамильтоновостп с представлением Лакса Гейзенберга можно практически довести до конца (см.
~] 5 гл. 1). Изучаемые конструкции нвляются яе только методом доказательства интегрируемости этих систем, но и способом их построения. Как заметили первый автор и А.В. Беленков [20], длн бигамильтоновых систем на алгебрах Ли в ряде случаев имеется естественный способ построения представления Лаков Гсйзспборга со спектральным параметром. Справедливо, например, следующее утверждение. Предложение 2. Пусть (...)» -.
семейство скобок Пуассони на векторнол> линейном пространстве. Пусть почти все эти скобки Пуасси>а отвечают полупрость>л> алгебрам Ли (т. е. яеляютсл скобкал>и .Хи Пуассона для ио >упрость>з олгебр Ли). Предположил>, что сиси>ема х = ч(х) являетсл г мильтонооой относительно всех скобок из этого сел>ейства> т. е. допускает представление в виде ч(х) = (х, Н»(х))»> где Н» гамильтониан, отвечающий скобке ( > )». Тогда дла ч существует представление Лакеи Гейзенберга с параметром Л (зависимость от которого может оьизатьсп ие рациональной, а Полее елагиной). ,>(оказательство. Если система ч гамильтопова относительно скобки Ли — Пуассона, отвечающей полупростой алгебре Ли, то отождествлян двойственное пространство алгебры с самой алгеброй, мы получаем в точности представление Лаков Гейзенберга для ч (без параметра).
Поскольку в рассматриваемом случае мы имеем дело с семейством ( > )» полупростых скобок., то в результате отождествления (которое зависит от Л) мы получим семейство представлений Лакса Гейзенберга, зависящее от Л, что и требовалось. 1. Многомерное обобщение волчка Эйлера. Продемонстрируем доказанное утверждение на примере многомерного волчка Эйлере.
Рассмотрим пространство кососпммотрпческих матриц Б> отождоствляемое с алгеброй .'!и зо(п). Вводя естественное инвариантное скалярное произведение (Х, ьг) = — Тгх ьг. мы отождествим Б с 1'. Далее рассмотрим па Б семейство алгсбр Ли - лиев пучок, коммутаторы которых задщотся так (см. зб гл. 1) Глава й т(Х) = Х 1Н(Х) С вЂ” С 1Н(Х) Х для некоторой гладкой функции П(Х): Ь вЂ” ь Й. Отметим, что 1) всс эти скобки согласованы можду собой, 2) скобка (, )с полупроста тогда н только тогда, когда матрица С невырождена.
Из второго свойства, в частности, следует, что в случае невырожденной матрицы С, выписанное выше уравнение моязот быть представлено в форме Лекса Гейзенберга (т. е. в виде обычного коммутатора). Для этого нужно сдолать следующую замену: Х -+ С'~зЬСт~з, НН(Х) -+ С '~зАС з~з. Подставляя, мы получим Сз~зТ,сз~з = Сз~з(ЬА — АЬ)сз!з, или, что то же самое, 1. [1, А]. Рассмотрим теперь уравнения Эйлера движения многомерного твердого тела. Одно из представлений Лекса Гейзенберга со спектральным параметром в этом случае хорошо известно (О.В.
Мапаков [115]). Укажем сщо одно представление, свнзаппос с описанным выше семейством скобок. Пусть В = араб(бы..., Ь„), Е = з11аб(1,1,...,1) диагональные нсвырожденные матрицы. На пространстве 1, рассмотрим двумерный пучок ([э ]л)лез.,à — (ЛЕ+ рВ ). Уравнении Эйлера динамики и-мерного твердого тела, ко~орые следуст представить ссбс заданными па пространство Ь" кососиммстрических матриц, отождествленным с Х при помощи формы ТгХУ.
имеют вид [152, 1вгб, 157]: Х = Х — ЙХ, Х=В11+НВ, Х,йеГ. (9.1) Неслозкно показать непосредственными вычисленилми, что уравнении (9.1) гамильтоновы относительно калздой из скобок пучка [, )л, где А б,Г1(0) [19]. где С --- произвольнаи симметрическан матрица. На даойстиенном про- странстве Ь' = Ь эти алгебры порождают семейство скобок .'1и — Пуас- сона (, )с. Гамильтоновость системы ч относительно скобки (, ]с означает, что 133 З У. 1 . А-пары и Вигалильтпокоаоотьт киевы пучки Используя зто обстоятельство, и тот факт, что зта скобка полу- проста почти для всех Л, мы можем переписать уравнения для каждой алгебры Ли [ т )вгьлв в форме Лакса..Гейзенберга. Приведем конечный результат.
Предложение 3. Система уравнений (У.1) может быкгь записана в следутощем эквиоалентнол виде ( ) = [Т.(л)тА(Л)), где п(л) = (в'+ле) "'х(в'+ле) '", А(Л) = (Вз -~- ЛЕ) (ЛП вЂ” ВПВ)(Вз + ЛЕ) Дотгизтгттьгьсттгво. Эквивалентность этого представления системе (9.1) легко проверяется прямым вычисленном. Здесь, впрочем, интересна связь представления с семейством скобок.
Остановимся на ней более подробно. Поскольку система (0Л) гамильтонова относительно скобки (ч.)вгч.ли, то мы можем представить Х в ниде Х = ХдНл(Х)(Вз + ЛЕ) — (В + ЛЕ)дНл(Х)х). Несложно проверить, что здесь днл(Х) = (В' .- ЛЕ) '(ЛП ВОВ)(Вз - ЛЕ) '. Чтобы теперь из этого выражения получить представление с обычным коммутатором нужно одолеть замену, которая ужо была указана выше: Х = (Вз + ЛЕ) Ь(Л)(Вз + ЛЕ) т1НлХ = (Вз ЛЕ) А(л)(Вг - ЛЕ) что сразу приводит нас к доказываемому результату.
Представления Лакса-.рсйзспбсрга со спектральным параметром, входящим н матрицы Ь и А в виде (9.3), называются еинерэллиптическими. Онн изучаются в книге [23о) (см. также [133)). Отметим также, йлааа 2 что представление Лекса †Гейзенбер со спектральным параметром, входящим в (9.2) нерациональным образом, было использовано в неявном виде Кеттером (Е. Кот!от) при интегрировании случаи Ляпунова Стеклова в уравнениях Кирхгофа [267). 2. Многомерное обобщение случая Клебша.
Лругой содержательный пример связан с рассмотрением на пространстве кососимметрических матриц еше одного двумерного лиева пучка ([, ]л)леш. По- ложим П вЂ” !Пвц(Л!.... !а„!.,1) Ео !Пай(1,1,... !1,0), У = (ЛЕо -ь дР). Алгебра Ли х,н,, задаваемая на пространстве кососимметрических матриц коммутатором [, [н„изоморфна алгебре Ли е(п — 1) группы движений евклидова пространства. Поэтому уравнения Эйлера на 1 ' а смысле скобки (, )в, с положительно определенным квадратичным гамильтонианом являются уравнениями Кирхгофа и описывают движение многомерного твердого тела в безграничном объеме идеальной безвихревой жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
