Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Так голономная механика получается при надлежащем переходе в потенциальной функции, неголономная механика в силах вязкого трения (функция Релея). Механика Дирака на физическом уровне может быть интерпретирована как мехашпза малых масс, когда предельный переход происходит в кинетической энергии некоторые из инерционных характеристик стромятся к пуп|о. При этом он пе затрагивает потенциала и в этом смысле механика Дирака являегся механикой малых масс. Более подробное обсуждение содержится в Э 12 гл. 2, здесь мы ограничимся одним примером. Рассмотрим систому двух частиц в трехмерном пространстве с функпией Лагранжа ц у. Скобка к рвдукякк дироле дВ Определяя канонические импульсы р .-: —, дЧ (9.
24) Рз = Оы Рз = А(уг); полУчим, что УсловиЯ РазРсшимости относительно Оз эквивалентны связям: р1(Р, Ч) = Рш — А(уз), з = 1 2, 3. (9.25) Функция Гамильтона не зависит от рз. Н = -Р', -Ь 17(уы дз), 1,з (9.26) а уравнения движения с неопределенными множителями примут впд дс7 Рз = дчг ' Р, =- —, +~Л1 — т.
дь7 дА. д92 . д'з'2 у=з Оз =Ры (9.27) Оз = Л, Условие сохранения связи мозкет быть представлоно в виде В(уз) х Л вЂ” —, = О. д(7 ддг (9. 28) Если магнитное поле постоянно В = тоС А = созззС, Условие его разрешимости (вторичная связь) совпадает с (9.23). В общелз случае матрица О(узн уз ) О невырозкдена, поэтому с помощью скобки )(ирака (9.22) па поверхности уровне ~рз = О г = О....., 3 получим непротиворечивые уравнения движения, допускающие единственное решение р(~), 9(г) (9(1) удовлетворяет также уравнению (9.22) прн е ..
О). Злмвчкнив б. Уравнения (0.28) допускают произвол в опрсдслспяи Л: Л = Л + 7"(р, Ч)В(уз), который тем не менее не сказывается на векторном поле (9.27), определенном на поверхности уровня связей уь(р, Ч) = О, з =. О, ..., 3. Гласа 1 и энергия взаимодействии зависит лишь от взаимного расстонпия г = [уы — Уз[, то уравнения (9.22) при с = 0 допускают гамильтоново описание с невырождеиной скобкой. Выберем ось Охб вдоль поля, из (!).22) находим з~(2) = зз(2) = - а2 + Ь, а.б .-- сопв1. Проекция двилсения частиц на плоскость ХУ описывается уравнениями (9.29) Уравнения (9.29) гамнльтоновы относительна скобки Пуассона (шз, Рэ) =- Ьз, Ря) = 1. (Уз: т21 Я: 1 с функцией Гамильтона Злмгчлиин б.
Переход от гамяльтоновой системы со связями к эквивалент- ной (вырожденной) лагранжевой системе возможен в случае разрешимости системы ,, = 971+~-Л,И.. двн др~ уз(Р Ч) = О. з = 1....,я 2 = 1 ... з (9.30) относительно неизвестных р, А. При этом функция Лагранжа находится обыч- ПЫМ ПРЕОбРаЗОВаНИЕМ ЛЕжаНДРа Ь = РЦ вЂ” Н, НЕСЛОЖНО ЦРОВЕРИтЗч ЧтО ДЛЯ указанного примера двух частиц это преобразование приводит к исходному лагранжнану (9.21). В общем случае система (9.30) не допускает решения (аналогично случаю неголономных СиСтем, не допускающих гамнльтонова представления).
К соязалению, возможность лагранязева описания гамильтоновых систем со связями, его механический и геометрический смысл, почти Совсем не изучены [227). д(1(з) дш! дсз(я) (292 дс7(з1 — 2 2 1 д(7(л) 3 = ~/у(ш1 — тз) + (уз — уз) В дал (Рэ + Рл) + с7(з); Рз = 'сы Рэ = уы 1 3, 3 8 д. Скобка и редукиия Яирака 89 7. Дополнительные возможности. 1. Приведем специальный случай редукции Дирака, использованный Мазерам [120, 294[ для получения новых интегрируемых случаев нз уже известных. Допустим, что связи (9.30) могут быть разбиты на две группы ~~(ж), ..., )ь(а), 10(к)...., 81(к), так что 11(к), ..., дь(с) и гамнльпь ниан Н(к) входят в инволютивный набор функций на многообразии С.
Несложно проворить, что любая функция из С также является интегралом движения для векторного поля, полученного из исходного с помощью редукции Дирака. Этп интегралы находятся в ииволюции также и относительно скобки Дирака (9.8). Таким образом. было получено в-мерное обобщение (на Я") классической интегрируемой задачи Неймана из интегрируомого потока в евклидовом пространстве Е" [120. 294[.
2. Редупния по симметриям Я 8) также может быть интерпретирована в терминах редукции Дирака. Действительно, пусть нам удалось проинтегрировать вскторпыс поля, соответствующие первым интегралам системы Х;=(к,Р), 1=1....,й, которое для простоты будем считать инволютивным (го Е ) = О. Координаты вдоль соответствующих потоков обозначим ть Выбирая в качестве связей функции Г~(ж), ..., гл(ж), тг(ж), ..., ть(к), с помощью скобки Дирака получим редуцированную систему (ранг которой упал на 2й) в точности эквивалентную приведенной системе при стандартной редукции по симметриям (редукпии по моменту см.
з 8). ГЛАВА 2 Скобки Пуассона в динамике твердого тела Э 1. Классические формы уравнений динамики твердого тела Рассмотрим твсрдос тело, вращаюгцссся в потенциальном силовом поле вокруг неподвижной точки О. Для описания его движения используются различные системы переменных. Конфигурационное пространство., представляющее собой мне.лестно всех положений твердого тела, является группой Лн КО(3) (группа ортогональных матриц с определителем единица), и н качестве координат, определнн1щих полозкенио твердого тела, можно взять, наприлиер, углы Эйлера В, ~р, ~р )ог). Для их введения расположим в й точке О вершины двух ортогопальных трехгранников: неподвижного Ох, у, й и подвигкного Окуз, жестко связанного с 'т д Р вращаюшимсн твердым телам (рис.
1). Первый поворот па угол ф (угол р прецессии) вокруг оси Оз церевоЧг ° , гд днт подвижный трехгранник Отрз в положоние О:г'у'% Второй поворот на угол 0 (угол нутацни) совершается вокруг оси От,', называемой линией узРнс. 1 лов. Последний поворот па угол ~о (угол собственного вращения) вокруг оси Оз совмещает оба трехгранника. Таким образом, трн поворота, определяемые углами Эйлсра, позволяют полностью задать положение подвижного трехгранника оносительно неподвижного. Углы Эйлера являются локальными координатами на группе н не могут без особенностей параметризовать все 1 падкое многообразие. Гамильтониан в углах Эйлера О. у, р и соответствующих им канонических импульсах рачрюре также содержит особенности и, крома того, (при з у.
Классические формы ураонениа динамики теердого тела 91 задании некоторого потенциала )г) является слишком громоздким и нсалгебраическим, что делает канонические уравнения яви»кения неудобными для поиска первых интегралов и проведения численных расчетов.
1. Уравнения движения в направляющих косинусах. Рассмотрим другую систему переменных (М, а, )т, у), где М=(Мы Мг, Мз) компоненты кинетического момента па оси связанной с телом системы координат, а с».,Л,у — единичные орты неподвижного пространства в проекцинх на оси связанной с телом системы координат. Матрица паправлян»щих косинусов (матрица повороза), определяющая положение твердого тела в неподвижном пространстве (1.1) Ч = аг дз 'уз является ортогональной и принадлежит группе ЬО(3), Запишем уравнения Пуанкаре ()) 6 гл.
1) па группо ЯО(3), используя в качестве квазнскоростей компоненты угловой скорости иг на оси, связанной с телом системы координат, а в качестве избыточных координат на группе, компоненты направляющех косинусов. При этом в качестве базиса векторных полей эы оз, сз выступают левоинвариантные векторные полл на ЯО(3), отвечающие вращениям твердого тела вокруг главных осей еыез,ез элипсоида инерции с единичной угловой скоростью. В трехмерном евклидовом пространстве,вслодствие еу х ез = ез,ез х ез — ем аз х еь — ез, получаются следующие соотношения для коммутаторов ',ш, ез[ = оз [ез ез) = еы [оз, ш1 = ез. Пользуясь формулами Пуассона, выражающими условии постоянства векторов а, д, у в ноподпилсной системе координат: а = а х иг,.... получим выражения для ае(А) (формула (6.4) 3 6 гл. 1) у = (д' а) ч (ду Д) — (д~ ') = у~ д' х а ~ дуг х д+ д1 х з) да' дд' ду' ' ~ 'да дд ' д» 'Таким образом, уравнения Пуанкаре в потенциальном поле сил с лагранжианом Ь = Т+1', где Т = г(Ло,ы) левоинвариаитная квад- 1 2 ратичная форма кинетической энергии с диагональным тензором инерции 1 = сйад(1ы1з,1з), 1' — потенциальная функция, зависящая, вообще говоря, от всех компонент направляющих косинусов 1' = $'(сх, д, 3), Глава 2 имеют нвныи вид — — — х ы = — ' х гк + — х д + —.
х у. г( дХ . дХ дй дй дХ. ду ды ды дгк дд дз гк=гкхы, д=дхвк, у= ухвк В такой форме уравнения остакггсп справедливыми и при наличии гироскопических сил. При этом в лагранжиане появляются дополнительные, линейные по ы слагаемые, определяющие обобщенный потенциал Х = Т+ (Икы) — 1", И' — И'(гцу),Ч), И вЂ” И(а,д, у). Компоненты векторе Ик задают векторный потенциал гироскопических сил.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
