Борисов, Мамаев - Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (947338), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Согласно обобщению теоремы Ларбу [334] пуассоново многообразие вблизи любой точки ло Е М допускает разложение М Я х Л! —. на симплектический лист Я и трансверсальное к нему дополнение Х, которое задается как многообразие уровня функций Д(х) = с, с невырожденной матрицой [[Я. Д],[.
Оба многообразия Я и Х пуассоновы; на В пуассонова (симплектическая) структура получаетсп обычным ограничением исходной скобки, а на Л' может быть получена по формуле Дирака [9.3). Говорят, что на Л' опроделенн трансеерсхмьнол пуассонова структура [2, 334. Вблизи регулярной точки то Е М через шо проходит симплоктический лист Я максимальной размерности, а скобка Пуассона на Л' тождественно равна нулю. Нетривиальная пуассонова структура на Л возникает вблизи сингулярной точки шо Е М, через которую проходит снмплектический лист меньшей размерности. В этом случае точка шо является также особой точкой пуассоновой структуры на Х, где ее ранг падает до нуля.
Трапсвсрсальпая пуассопова структура использована в работе [297] для изучения согласованной скобки в цело жах Тоды на полупростых алгебрах Вю Возникающая в этом случае скобка, полученная из квадратичной, оказалась дробно-рациональной. Вопрос о возможности приведения трансверсальной пуассоновой структуры к наиболее простому виду нблизи особой точки [в частности линеаризация) рассматривался в работах [335, 224]. В [335] приведены примеры пслипсаризусмых пуассоповых структур вблизи сингулярных орбит алгебры Ли. В [297] указаны условия на алгебру Ли и ее сингулярные орбиты, при которы трапсвсрсальпая пуассопова структура может быть приведена к неоднородному квадратичному виду. 4.
Вырожденные лагранжианы и гамильтонов формализм со связями. Введение рассмотренных дифференциально-геометрических конструкций в динамкку может быть мотивировано проблемой пе- Глава 1 рехода от лагранжева формализма к гамильтонову в случае вырожденности загранжиана по скоростям. Именно,из этой постановки исходил П.Дирак, развивая обобщенную гамильтопову мсхапику длн целой последующего квантования (57, 319). Пусть задана лагранжева система Д 1'ПД1 И 11 ), Дц,) 091 (9.7) с вырожденной по скоростям функцией Лагранжа, т.
е. (9.8) В этом случае уравнения (!Д7) не могут быть разрешены относительно старших производных, а стало быть, вопрос о нахождении решений при произвольных начальных условиях не является вполне корректным. Оказывается, что более естественным нвляется рассмотрение системы (9.7) в канонических переменных. Рецепт их вводения, обобщающий преобразование Лежандра в невырожденном случае, таквке был предловкен Дираком. Если обычным образом ввести канонические импульсы дА р;=- —,. 1 — 1... в, Д (9.9) то вследствие (9.8) при обращении (9.9) можно выразить лишь часть скоростей г)1 = е;(1д а, ры ..., 9,), 1 = в + 1,...,и.
(9.10) (9.11) (первичные связи по Дираку). Функция Гамильтона Оставшиеся уравнения задают соотношении между р, ей определяющие подмногообразне 'з й. Сяабиа и ребркиия Дираяа при учете (9.10) и (9.11) зависит только от координат и импульсов (319). С учетом того, что вариации Юр и Й~ подчинянзтся условннз (9.!Ц и пользуясь варнацпонным принципом Гамильтона, уравнения движения можно представить в виде дН ч дрб . ОН с д1бб де1з .
дри дри . др( (9.13) 1 = 1,..., т~., а = 1,..., л. Неопределенные множители Л; находится из условна сохранения связей (9.11) потоком системы (9.13): рб = (рб: и) + Е Лб( рб. М = 0, б' = 1, (9 14) Правые части (9.13) могут быть более просто записаны с использованием скобки Дирака (9.15) р; = (рвН)ьп 1й — — (90Н). В зависимости от заданного лагранжиана Ь при решении уравнений (9.14) могут встретиться различные ситуации. 1) Система (9.13), (9.14) несовместна в любой точке фазового пространства (р, сг). В этом случае уравнения (9.13) не допускают решения прн произвольных начальных условиях. В качестве примера можно рассмотреть систему с лагранжианом 7 = д.
2) Система (9.14) имеет единственное решение (е1е1~~(1бп 1аб)~ ф О) (достаточно единственности на подмногобразии Х). При этом подмногообразия Ж является пуассоновым относительно скобки Дирака, а система (9.!3) гампльтонова;е .: (ж, Н)п с функцией гамильтона (9.12). Для нонкой начальной точки на Ю система (9.15) допускает рсшспнс р($), у(Ф), причем Ч(8) удовлстворяст также уравнениям Лагранжа (9.7).
3) Система (9.14) допускает бесконечно много решений Ль(р, а). Это возможно лишь пРи Условии бс1! (Уо У1Ц! = О. В деппом слУ- чае, гамильтоново описание векторного поля, определяемое системой (9.7) па совмостпой поворхпости уровня (9.11), невозможно. Среди связей необходимо выбрать р;(.е), >'. = 1, ..., 21ч для Раааа 1 которых матрица скобок Пуассона невырождена, а коэффициенты Л;(р, 9) 1 =- 1, ..., 2Й определнютсн однозначно. Остальные связи ду(л) 7' = 2Л, ..., ь будут янляться интегралами движання получившегося поля, значенин которых однозначно находятся из системы (9.9). Решения полученной системы р(1), Ч(г) при подстановке Ч(1) также удовлез ворнет исходной лагранжевой системе (9.7). 4) Система (9.!4) непротиворечива на некотором подмногообразин меньшей размерности, чем на многообразии (9,11).
В этом случае появляются дополпитсльпыс связи (вторичпыс связи по Дк раку). Рассматривая уже полный набор связей, приходим к одной из ситуаций 2) или 3). В связи с тем, что вторичные связи понвляются как условия разрешимости системы (9.14)., они не приведут к дополнительным неопределенным множителям Л; и не сказываются иа уравнецилх движения (9.13). А = г4' — Н(Ч) 2 (9.16) со связью 7'(ч) = О.
(Все результаты могут быть перенесены на случай Ка и нескольких связей). Уравленил двюкенин (9.16) можно представить в форме дН д7" Ч= Л дЧ дЧ (9.17) В классической схеме избыточного гамильтонова формализма (4) сис- тема (9.17) описывастсл уравнениями Г'амильтопа дН . дН Р -- ~ Ч".' дЧ д13 (9.18) 5. Голономные связи.
Сравнение с классическим описанием. Описанная вьппе процедура, отличается от классического гамильтонопа формализма длл системы с голономными свлзлмн н избыточных церемонных (4). Покажем, что обе эти конструкции приводят к одним и тем же уравнениям двизкенил длл позиционных переменных.
Выбор того или иного описания различных задач определяется, как правило, дополнительными соображспиями. Рассмотрим лаграпжсву систему в жз З з. Скалка и реддалая Дираал Н = — рз + Гг(Ч). (9.19) Действуя по методу Дирака, дополним связь ('(Ч):: О, условием ее сохранения У вЂ” (У;Н) — "(р:Ч) — р; . — 0 дУЛ ' дч/ Для Функций Г,й всегда выполнено Уд) = д',д ~ ФО. Чтобы избе~кать вычисления скобки Дирака, векторное поле на поверхности,(' = О, д = 0 найдем с помощью неопределенных множителей р, и — +р — +и — =р+и —, дН дУ дд дУ др др др дЧ' дн ДУ д, дН д( р= — —,— р —.— и —, = — — — р —,— идр, дс1 'дЧ дЧ дЧ дс1 (9.20) где В = дУ дйа ~(д Из условий равенства нулю производных 7', д вдоль решений (9.20) находим и = О. Полагая р = Л, находим, что система (9.20) также зквивалентна (9.17), Таким образом, в классическом варианте гамильтонова формализма скобка остается канонической и меняется функцин Гамильтона.
В подходе Дирака, наоборот, меняется скобка, так что связи стаковнтся с гамильтопиапом Н = .(р х п)з -' Н(г1), где и = -;-- .-. единичный Л, Щ вектор нормали к поверхности 7"(Ч) = О. Функция Г'(Ч) является первым интегралом уравнений (7", Н) = О. Канонические импульсы р не касаютса поверхности 7(Ч), том но маисе скорости, опредсляемые соотношениями (9.10) Ч вЂ” р — (р, п)п, направлены по касательной. Дифференцированием Ч уравнения (9.18) могут быть приведены к виду (9.17).
Выполним теперь преобразование Лежандра к каноническим переменным р, Ч без учета связи 1лааа 1 В = 2 (Чз + еЧз) -~ (А(Чз); Чз) — 11(Чы Чз'). (9. 21) Уравнения движения имеют впд дс1 Чз дЧз ' д11 аЧз = В(Чз) х Чз — —,, В = гоьА. дЧз ' (9.22) Вели масса второй частицы стремится к нулю (е -+ О), то функции Лагранжа оказывается вырожденной по Чз, а в уравнениях движения пропадает ускорение Чз. Уравнения (9.22) при а = О разрешимы лишь при условии Чзо(Ч) = В(Чз)~ .
) = О. И1 з~ дЧ2 (9.23) функциями Казимира, а гамильтониан остается прежним (без учета связи). 6. Динамика малых масс. В предыдущем разделе была показана возможность примененпя процедуры Дирака для описания лагранжевых (или гамильтововых) динамических систем с голономнымн связямн. С физической точки зрения системы со связями могут рассматриваться как предельные задачи для свободных систем. Различные способы задания предельных переходов связаны с различным способам реализации связей (4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
