Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Если вырожденное уравнение имеет несколько решекий х =<р,(1), то каждое из них должно быть исследовано на устойчивость, причем в зависимости от выбора начальных значений интегральные кривые исходного уравнения могут вести себя прн )г — ь 0 различно. Например, в изображенном на рис. 4.21 случае трех решений х= яь(~) (1= 1, 2, 3) вырожденного уравнения, графики которых не пересекаются, решения х = х (Г, ц), )ь ) О, исходного уравнения, опреде- слкчлп малого козоэициннтл да! ! ! х=!Зго Рис, 4.23. Рис. 4.22. При мер 2. Тот же вопрос для уравнения и~=а!и'г — Зе.
дх к д! Решение вырожденного уравнениа х = 2!и) а!пт1 — !пЗ устойчиво, так как = -Зг" <О. Следовательно, решение исходного уравнения д (я!и' à — Зе() дх ляемые начальными точками, лежашнми выше графика функции х='~рт(1), стремятся при У) 1р н р — ьО к устойчивому решению вырожденного уравнения х = !р! (2), а решеняя х = х(Е, р), определяемые начальными точками, лежашими ии- /(д же графика функции х = !рт(!).
стремятся при 1 ! ( ) 1 11! ! 1, гг! г ) Уе и р -ь О к устойчи- вомУ Решению х =~да(У) 11! (1 ) ! ! ! ! т ! вырожденного уравнения (рнс. 4.21). П'р и м е р 1. Выяснить стремится ли решение х = х (г, и) уравнения д, ! т' т"1 т! ! т~ т !- и — =х Г, р>О, удовдх дт уьл летворяющее начальныи условиям х (со) = х, к решеиию вырожденного уравнения х — ! О при!>г,и р-эо. Рис. 4.2!. Решение х = х (г, !г) не стремится к решению вырожденного уравнении х=1, так как решение вырожденного уравнения д(х — !) неустойчиво, потому что — =1) О (рис. 4.22). дх !ГЛ. 4 теОРия устончиности х = х(Е, р) стремится к решению вырожденного уравнения для Е > Ея при Р-ьо.
Прин е р 3. Тот же вопрос для решения уравнения р — = х (ЕЯ вЂ” х+ 1), П > О, х (Е,) = х,. Нх лЕ . Из двух решений х О и х = ЕЯ+ 1 вырожденного уравнения дх(ЕЯ вЂ”.х+!) ~ х(ЕЯ вЂ” х+1) =О первое неустойчиво, так как дх ьг=е дх(ЕЯ вЂ” +!) ~ =Ет+1 > О, а второе усюйчнво, так как = — И вЂ” ! <О. ы=нч 1 Если начальная точка (Ен х,) лежит в верхней полуплоскостн х > О, то интегральная кривая исходного уравнения при р -ьо приближается к графину решения х = И + ! вырожденного уравнения (рнс.
4.23) и остается в его окрестности. Если же начальная точка лежит в нижней полуплоскости х < О, то !ннк (Е, р) = — со при Е > Е, (рнс. 4.23). н-ьо Вопрос о зависимости решения от малого коэффициента )т при старшей производной возникает и для уравнений и-го порядка рхоя(Е)=У'(Е, х, х, х,,, хы "), и для систем дифференциальных уравнений. Уравнение и-го порядка может быть обычным способом(см. стр. 85) сведено к системе уравнений первого порядка, н следовательно, основная задача заключается в исследовании систем уравнений первого порядка с одним или несколькнмн малыми коэффициентами при производных. Эта задача подробно исследована А.
Н. Тихоновым [4) и А. Б. Васильевой. $7. Устойчивость прн постоянно действующих возмущениях Если исследуемая система уравнений дхе — =Е",(Е, хи хю ..., х„), х,(Е,) =хгз (Е=1, 2, ..., и) (4.30) подвергается малым кратковременным возмущениям, то систему (4.30) на малом интервале изменения Е, Ез ~~ Е ~(Ез, следует заменить возмущенной системой Нх, — =Е,(Е, Хп Х„.... Х„)+ЕсГ(Е, ХП Хя, ..., Х„), ~(4.31) хе (Ес) = х, (Ез) (Е = 1, 2, ..., и), где все Йе(Е, х,, хт, ..., х„) малы по модулю, а затем при Е) Ез возмущения прекращаются, и мы снова возвращаемся к системе(4.30), (гл. 4 ТИОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ о(1, хи хг, ..., хл), удовлетворяющая в окрестности начала координат при 1)~1о следующим условиям: 1) о(1, хи хг, ..., х„))~пг!(х,, хг, ..., хл))~0, о(Г, О, О, ..., 0)=0, где чо, — непрерывная функция, обращающаяся в нуль лишь в начале координат; до 2) производные — (в=1, 2, ..., и) ограничены по моду,гл1; дхл л По до ж до 3) производнал — = — + гт — З1( — гю,(хн х,, ..., хл) (О, 1=! где непрерывная функция тг(х1, хг, ..., хл) можеоь обращаться в нуль лишь в начале координат, то тривиальное решение сисе!емы (4.30) устойчиво по отношению к постоянно действующим возмущениям.
4(о к аз атель ство. Заметим, что в силу ограниченности произдо водных — (в= 1, 2, ..., и) функпия и рзвномерно по отношению дх к 1 при 1)~1о стремится к нулю при Х.,' х,'-РО, так как по тео1=1 т~ /до 1 реме о среднем значении о(г, хи хг, ..., х„) = г ! — ) хо где 1=1 1 ) до ! — ) — производные, вычисленные для некоторых промежуточных дх1) между 0 и х, (1 = 1, 2, ..., и) аначений аргументов хи хг, .... хл. Заметим также, что вне некоторой Ь-окрестности начала координат л т. е. при ~4 хг>бг ) 0 и при г~гз в силу условий 2) и 3) 1=1 проиаводная Ш = о!+Ха У'+Хдх )(1~ й<0 при достаточно малых по модулю ггг (1=1, 2, ..., и). Зададим е) 0 и выберем какую-нибудь поверхность уровня (или одну из ее компонент) то, =1, 1,Р О, великом лежащую в е-окрестности начала координат. Подвижная при переменном 1)~ Гз поверхность уровня ю(г, хи хг, ..., хл)=1, в силу условия 1), лежит внутри поверхности уровня а!1=1 и в то же время, в силу равномерного по Ф л стремления к нулю функпии о при ~ хг1-ь О.
лежит вне 1=! некоторой Ья-окрестности начала координат, в которой о (1, и, згстопчивость ппи постоянно дппствнющих возмяп(змиях 282 следовательно, на поверхности уровня о(Г. хи хя, ..., х„) =1 при любом г )~ ге производная а и ! ! И если ~~.'~ йг(бь Ь! ) О, гле Ь, достаточно мало. Траектория, опре- 2 г=! деляемая начальной точкой х,(Ге)=х,е (!=1, 2, ..., и), лежащей в указанной выше Ья-окрестзюсти начала коорлинат, не может при г ) (л выйти за пределы е-окрестности начала координат, так как, в силу выбора Ьз, с(зе, хю, х,е, ..., х„е) ((, и следовательно, если бы при Г)~ге траектория выходила за пределы е-окрестности начала координат или хотя бы за пределы поверхности уровня тв! =/, то она должна была бы прн некотором значении Г= Т первый раз пересечь поверхность уровня о(з, хн хю ..., х,)=1, причем в окрестности точки пересечения вдоль траектории функ- ция о должна была бы возрастать, что противоречит условию дв д! — ( — й ( О вдоль траектории в точках поверхности уровня о(г, х,, хю ..., х„)=1.
Сравнивая условия теоремы Малкина с условиями теоремы Ляпу- нова об асимптотической устойчивости (см. замечание на стр. 218), увидим, что они почти совпадают; допслннтельным в теореме Малкина является лишь требование ограниченности производных — (з = 1, 2, ..., а), так что асимптотическая устойчивость и устой- дв дх, чивость по отношению к постоянно действующим возмущениям являются, хотя и не совпадающими, но весьма близкими свойствами. Пример 1 Устойчиво ли по отношению к постоянно действующим возмущениям тривиальное решение х = О. у = О системы уравнений дх — = а'у — хз дà — = — азх — у .
'гу „з дт где а н б — постоянные. функцией Ляпунова, удовлетворяющей всем условиям теоремы Малкина, является е = Ьзхз+ а'уз, Следовательно, точка покоя х = О, у = О устойчива но отношению к постоянно действующим возмущениям. При мер 2. Устойчива ли точка покоя хзмао (! =1, 2, ..., л) системы а — ! = з' а!)х)+з!(з(г, хз, хз, ..., хл) (! 1, 2, ..., л) (4.32) !1! лзм ! ! ТЕОРИЯ УСТОИЧИВОСТИ (гл. 4 Задачи к глзве 4 1. Исследовать на усзойчивость точку покоя х=О, у =0 системы ах — = — 2 — зу+ ', Ж вЂ” = х+ у — у'. ау а'т 2.
Исследовать на устойчивость точку системы пх — =х — у — л, аг покоя х=О, у=О. к=Π— = х — 5у — 3- пт П рз каких значениях а точка покоя х = О, у = О, х = 0 системы ах — у, — — = ау — х, — = пх — х устойчивау ат ' 4гт При каких значениях а система 4ГХ вЂ” =- у+ах — х'. а( пу — = — х — у' а) имеет устойчизу1о точку покоя х= О, у =ОУ 5. К какому пределу стремится решение дифференциального уравнения и — =(х'+И вЂ” 4)(х'+И вЂ” 9), х(1) .1 ат прп р-ьО, р ) О, 1~ 11 6. К какому пределу стремится решение дифференциального уравнения р — =х — 1+5, х(2)=5 при р-ь0, р)0, т>24 ах а( по отношению к постоянно действующим возмущениям, если все а0 — постоянные, а Л1 удовлетворяют условиям теоремы Ляпунова, стр.
221, т. е. / л Х154-к ) Йт~ < )Ч ~к ~Ч 'ХЛ~) , а > О, тт' — ПОСтаяииая, И ВСЕ КОРНИ КараКтЕрнетИЧЕ- 140 ского уравнения для системы первого приближения различны и отрицательны. На стр. 223 после замены переменных, приводившей линейные части уравнения (4.32) к каноническому виду, была указана функция Ляпунова и о= ~ ут, удовлетворяющав всем условиям теоремы Малкива.
следо1=1 вательно, точка покоя ха=0 (1'=1, 2, ..., и) устойчива по отношению к постоянно действующим возмущениям, Тот же результат можно получить, предположив, что действительные части всех корней характеристического уравнения, среди которых могут бмть и кратные, отрицательны, ио только в атом случае подбор функции Ляпунова значигельно усложняется. задачи к главе б 7. Исследовать на устойчивость точку покоя х О, у 0 системь уравнений лх — х+ел — соз у, б(1 лу — Зх — у — з)п у. бтг 8.
Устойчиво ли по отношению к постоянно действующие возмущениям решение х = О, у = 0 системы уравнений — = — 2у — хб, с~х пт — = 5х — у'7 пб 9. Устойчиво ли решение х 0 уравнения х+5х+2х+20= 07 10. Устойчиво ли решение хмиО уравнения х+ 5х+ 6х+ х = 07 11. Какого типа точку покои х = О, у = 0 имеет системз уравнений Ых Зт — =х+Зу, — = 5х — у) пт ' пт 12. Определить периодическое решение уравнения х +2х+ 2х =з(п! и исследовать его на устойчивость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
