Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 33
Текст из файла (страница 33)
е. близкие по начальным значениям решения остаются близкими для всех Г р Замечание, Если система (4.1) удовлетворяет условиям теоремы о непрерывной зависимости решений от начальных значений. то в определении устойчивости вместо 1)~ (з можно писать 1)~ Т ь(В, так как в силу этой теоремы на отрезке 1, С((Т решения остаются близкими при достаточно близких начальных значениях. Если при сколь угодно малом б) О хотя бы для одного решения у,(Г) (1=1, 2, ..., и) неравенства (4.2) не выполняются, то решение я!,(Г) называется неустойчивым. Неустойчивые решения лишь в редких случаях представляют интерес в практических задачах. Если решение гр,(Г) (1 = 1, 2, ..., и) не только устойчиво, но, кроме того, удовлетворяет условию П ш ) у, (г) — !р, (1) ~ = О, (4.3) если !у!(ГВ) — ф!(ГВ)! ч.
бн б, ) О. то решение ср,(() ((=1, 2, ..., н) называется асимлтоглически устойчивым. Заметим, что из одного условия (4.3) еще не следует устойчивость решения <р,(1) (1= 1, 2, ..., п). Пример !. Исследовать иа устойчивость решение дифференциального уравнения — — а у, а ~ О, определяемое начальным условием у (Гя) = ум н,у аг Решение — а'н-и! аснннтвтнческн устойчиво. так кая 1уае ' " "— уяа " " "'1= в я !' н1) у — у, ! < а ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ при т;> т„если !у,— у,! < ее а' и !йп е «'! и!! у, — у ! = о.
)-ФС~ П р и м е р 2. Исследовать на устойчивость решение уравнения— лу а'г = азу. а чь О, опрепеляемое условием у(тя) = уя Решение у =- у,еа П И неустойчиво, так кзк нельзя подобрать столь малое Ь > О. чтобы из неравенства !у, — у,! < Ь(с) следовало бы !уеап "' — у,е" и "!!<е я нля еа " "'! у, — у, ! < е при всех Г > те Исследование на устойчивость некоторого решения у,=у,(() ((=1, 2, ..., и) системы уравнений — '=Ф,(С, у,, ум ..., у„) (1=1, 2, ..., и) (4.1) может быть сведено к исследованию на устойчивость тривиального решения — точки покоя, расположенной в начале координат, Действительно, преобразуем систему уравнений (4.1) к новым переменным, полагая х, = у, — у, (!) (! = 1, 2...
и). (4.4) Новыми неизвестными функциями х, являются отклонения у,— у,(г) прежних неизвестных функций от функций у,(!), определяющих исследуемое на устойчивость решение. В силу (4.4) в новых переменных система (4.1) принимает вид — „' = — — ' + бэ, (г, х, + у, И), х, +. уФ),, х„.+ у„(()) (1=1, 2, ..., и). (4.5) Очевидно, что исследуемому на устойчивость решению у, = у, (1) ((= 1, 2, ..., и) системы (4.!), в силу зависимости х, =у, — у,(У), соответствует тривиальное решение х,=О (1=1, 2, .... л) си. стемы (4.5), причем исследование на устойчивость решения у, = у,(Г) (1=1, 2, ..., и) системы (4.!) может быть заменено исследованием на устойчивость тривиального решения системы (4.5).
Поэтому в лальнейшем без ограничения обшности можно считать, что нз устойчивость исследуется тривиальное решение или, что олно н то же, расположенная в начале координат точка покоя системы уравнений 1гл. 4 ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ Сформулируем условия устойчивости в применении к точке покоя х4= — О (1= 1, 2, ..., а). Точка покоя х,=О (1=1, 2, ..., а) системы 14.5) устойчива в смысле Ляпунова, если для каждого е ) О можно подобрать Ь(е) ) О такое, что из неравенства 1х4((е)~ <Ь(г.) (1=1, 2, ..., а) следует ! х! (Т) ) < е (1 = 1, 2, .... и) при Т )~ Т )~ Те. Илн несколько иначе: точка покоя х,= — О (1=1, 2, ..., а) устойчива в смысле Ляпунова, если для каждого е ) О можно подобрать Ь,(е) ) О такое, что на неравенства ~, х! (1 ) < Ь! (е) 4=1 следует при Г )~ Т, т.
е. траектория, начальная точка которой находится в Ь;окрестности начала координат при 1 )~ Т не выходит ва пределы е-окрестности начала координат. й 2. Простейшие типы точек покоя Исследуем расположение траекторий в окрестности точки покоя х=О, у=0 системы двух линейных однородных уравнений с постояннымн коэффициентами: ах л4 = апх+ ану (4. 6) — = аэ,х+ аээу, 44'У 44! Э! где Ишем решение в виде х= а,е, у=о е (см. стр. 193). Лля ы ы определения л получаем характеристическое уравнение йа — (ап+ аш)14+(апа,э — ашаы)=О, ПРОСТЕПШИЕ ТИПЫ ТОЧЕК ПОКОЯ а, и пг с точностью до постоянного множителя определяются из одного из уравнений: (ап — А) а, + ажаг = О, аэ,п, + (а„— Ф) пэ = О, Рассмотрим следующие случаи: а) Корни характеристического уравнения я, и (гг действительны и различны. Общее решение имеет вид ьи ьн х = с,а,е ' + с,р,е ьк Фн (4.8) у = с,а,е ' +сфэе ', где оч и б, — постоянные, определяемые иэ уравнений (4.7) соответственно при !г=й, и при н=йг, а с, и сэ — произвольные постоянные.
При этом возможны следующие случаи: 1) Если Гг, ч. О и язв, О, то точка покоя х=О, у =0 асимптотически устойчива, так как иэ-за наличия множителей е ' и в ' ьи ьн Рис. 4,2. Рис, 4.1. в (4.8) все точки, находящиеся в начальный момент с=се в любой б-окрестности начала координат, при достаточно большом 1 переходят в точки, лежащие в сколь угодно малой е-окрестности начала координат, а при с — 1 со стремятся к началу координат. На рис. 4.1 изображено расположение траекторий около точки покоя рассматриваемого типа, называемой устойчавылг узлом, причем стрелками указано направление движения по траекториям при возрастании с, 2) Пусть (г,) О. яг) О.
Этот случай переходит в предыдущий при замене 1 на — г. Следовательно, траектории имеют такой же вид, как и в предыдущем случае, но только точка по.траекториям движется в противоположном направлении (рис. 4.2). Очевидно, ТЕОРИЯ УСТОИЧИВОСТИ (гл. 4 что с возрастанием ? точки, сколь угодно близкие к началу координат, удаляются из е-окрестностн начала координат — точка покоя неустойчива в смысле Ляпунова. Точка покоя рассматриваемого типа называется неустойчивым узлом. 3) Если ?з, ) О, ?зя ( О, то точка покоя тоже неустойчива, так как движущаяся по траектории вк ви х = с,а,е ', у = с,а,е ' (4.9) точка при сколь угодно малых значениях с, с возрастанием ? выходит нз е-окрестности начала координат.
Заметим, что в рассматриваемом случае существуют движения, приближающиеся к началу координат, а именно: х = сзб,ев ', У = сзб,ел*9 При различных значениях са получаем различные движения по одной и той же прямой у= — 'х. При возрастании ? точки иа этой пря- рь мой движутся по направлению к началу координат (рис. 4.3). Заметим также, что точки траектории (4.9) движутся с возрастанием ? по прямой а, (? У = — х. улаляясь от на- чала координат.
Если же е с, Ф 0 и с Ф О, то как при ? — ь со, так и прн ? — ь — со Рнс. 43. траектория покидает окрестность точки покоя. Точка покоя рассматриваемого типа называется седлом (рис. 4.3) потому, что расположение траекторий в окрестности такой точки напоминает расположение линий уровня в окрестности седлообразной точки некоторой поверхности е =.
?'(х, у). б) Корни характеристическозо уравнения комялексны: Ягл = Р + и? 9 чь О. Общее решение рассматриваемой системы можно представить в виде (см. стр. !96) х = ее (с, соз с?? + ся з(п г??), =. Р: -.+". ').) где с, и ся — произвольные постоянные. а с*, и с" — некоторые линейные комбинапии этих постоянных. ПРОСТЕИШИЕ ТИПЪ1 ТОЧЕК ПОКОЯ % 21 При этом возможны следую1пие случаи: 1) йь2 Р— гг~ РСО' '1+0' Множитель ел', )2 С О, стремится к нулю с возрастанием 1, а второй — периодический множитель в уравнениях (4.10) остается ограниченным.
Если бы р = О, то траекториями были бы, в силу периодичности вторых множителей в правой части уравнений (4.!0), замкнутые Рис. 4.4. Рис. 4.5. кривые, окружающие точку покоя к=О, у=О (рис. 4.4). Наличие стремяшегося к нулю с возрастанием Г множителя ел', р ( О, превращает замкнутые кривые в спирали, аснмптотнчески приближающиеся прн à — ь эо к началу координат (рис.
4.5), причем при лостаточно большом г точки, находившиеся при г = ге в любой Ь-окрестности начала координат, попадают в заданную е-окрестность точки покоя к=О, у=О, а при дальнейшем возрастании 1 стремятся к точке покоя. Следовательно, точка покоя асимптотически 0 устойчива — она называется устойгивым фоггусолг. Фокус отличается от узла тем, что касательная к траекториям не стремится к определенному пределу при приближении точни касания к точке покоя. 2) й, 2 — — р + 110 р ) О, гг Ф О. Рис, 4.6.
Этот случай переходит в предыдущий при замене 1 на — г. Следовательно. траектории не отличаются от траенторий предыдущего случая, но движение по ним происходит при возрастании 1 в противоположном направлении (рис. 4.6). Из-за наличия возрастающего множителя влг точки, находившиеся в начальный момент сколь угодно близко к началу координат, с возрастанием Г удаляются из е-окрестности начала координат — точка покоя неустойчива. Она носит название неустойчивого фокуса. 14 л.
Э. Эльтгольц тиогия кстопчивости 1гл. 4 З) Дь,=+ )1, а+О. Как уже отмечалось выше, в силу периодичности решений, траекториями являются замкнутые нривые, содержащие внутри себя точку попов (рис. 4.4), называемую в этом случзе центролг. Центр является устойчивой точкой покоя, так как для заданного е) О можно подобрать б О такое, что замкнутые траентории, начальные точки которых лежат в б-окрестности начала координат, не выходят за Рис.
4.8. Рис. 4Л пределы е-окрестности начала координат нли, что то же самое, можно подобрать столь малые с, и с,, что решения х = е, соз ф+ с, з!и ф, у =с,созф+ с з(п~ф будут удовлетворять неравенству хя(Ф) + ут(С) < е'. Заметим, однако, что асимптотической устойчивости в рассматриваемом случае нет, так как х(1) и у(т) в (4.11) не стремятся к нулю прн г — «со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
