Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Решением системы линейных уравнений уи(г) Уа! (г) г (Х] ~Р! Р! ! ! [гл. з 190 системы диеасиинцилльных гилвненип является сумма ~ Х, реиьений Х, уравнений !=! Ь !Х,1= Г! (1 = 1, 2, ..., гн). Доказательство. Дано Е(хь)с Е! (1=1, 2, ..., т). Надо доказать, что Е тх, =~Ро Используя свойство 2) оператора с, получим !ь Е ~ ч.' Х,.~ = '; ЦХ,) = ~ Ро !=1 1=1 !=1 Замечание. Теорема 3.8 без изменения доказательства, очевидно, распространяется и на тот случай, когда т -ьос, если ряд ~ь Х, сходится и допускает почленное дифференпирование.
1=! Теорема З.У, Если система линейных уравнений Е (Х! = У+ Л', где ((и!( 'и, 0= У= и„ сдействительными функциями а!)(Ф), иь(С), юь(г)(1 е!=1 ° 2 ° ° ° и) имеет решение и, из Х=б+У. й= то действительная часть решения 0 и его мнимая часть Р соответственно являются решениями уравнений Е(х) = У и С(х! ='ьт. Доказательство. Дано Е(й+1Р)ив т У+Лс, надо доказать, -. Е(0)=и, Е!)У)=Р. 4 и системы линейных днеееяенцнлльных келвненин 121 Пользуясь свойствами 1) и 2) оператора Ь, получаем 7.(0+ ЛУ)=7.(й)+ 17.(Р)=(7+1). Следовательно, 7.(й]=У и Ь[(') =1'. Если известно общее решение соответствующей однородной системы Л(Х) = О, но подобрать частное решение неоднородной системы Л(Х) = )ч не удается и, следовательно, нельзя воспользоваться теоремой 3.7, то можно применить метод вариации постоянных. М Пусть Х = ~Р~ с,Х, является при произвольных постоянных с! ю=! общим решением соответствующей однородной системы — — АХ = О чЛ' а! н, следовательно, Х!(1=1, 2, ..., а) — линейно независимые частные решения той же однородной системы.
Решение неоднородной системы ищем в виде Х ~ с (г)Хо 1=! Х, + ~с! Я вЂ” „' = А ) с! (Г) Х! + р, — = АХ„получим Л с,'(() Х! = Р. 1=1 Это векторное уравнение эквивалентно системе и уравнений: (3.24) где с,(т) — новые уравнение дает ~> с!'(с) !=! илн, так как— л! неизвестные функции. Подстановка в неоднородное 'р с;(с) хн = .у, (с), с ! 24 !.() 2!=Уз() ! 1 системы дие аняянцнлльных яилвнянни !гл. з Из этой системы п уравнений с и неизвестными с,'(Е) (Е = 1, 2, ..., п) с определителем системы Ю', совпадающим с определителем Вронского для линейно независимых решений Хн Хя, ..., Х„ и, следовательно, отличным от нуля, определяются все с,'(Е): с,'.(Е)=(р (Е) (Е=1, 2...., п).
откуда, интегрируя, находим неизвестные функции с,. (Е): с,(Е)=~ !р!(Е)с(Е+с! (Е=!, 2, ..., и). Пример 3. их иу 1 — =у, — — х+ —. ие ' ие С05 Е Общее решение соответствующей однородной системы их иу — =У. — = — Х ие ' ие имеет вид х= с, созе+с,з!ОЕ, у — с, 5!ПЕ+с,созе (см. стр. 188. пример 2), Варьируем постоянные х = с! (Е) с05 Е+ се (Е) 5!и Е, У С! (Е) 5!П 1+ Се (Е)С05 Е. с,(е) и ся(е) определяется из системы (324), имеющей в данном случае знд с, (е) соз е + са (е) мп е = О, 1 С! (Е) 5!П Е + Сз (Е) С05 ! =— созе ' откуда 5!и Е с,'(Е) = — —, с,'(Е) = 1. С05 Е Следовательно с, (Е) = !и ! соз Е1+ с„ с, (Е) Е + с, и окончательно получаем х= с, созе+с,з!не+ созе!п(созе)+ез!пе, у = — с, 5!и Е+ с, соз Š— 5!и Е !и )соз Е1+ ! соз Е.
ф 6. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Линейной системои с постоянными иоэффиииентами называется линейная система уравнений — '= ~ а,)х, +у'!(Е) (Е=1, 2, .... и). Е=! 123 системы линейных уРлвненип или в векторной форме — = АХ + ель ах ае в которой все коэффициенты а1) постоянны, или, что то же самое, матрица А постоянна, Проще всего система линейных однородных или неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами интегрируется путем сведения ее к одному уравнению более высокого порядка, причем, как отмечено на стр.
177, полученное уравнение более высокого порядка будет линейным с постоянными коэффициентами. Однако можно и непосредственно найти фундаментальную систему решений линейной однородной системы с постоянными коэффициентами. Будем искать решения системы ЕХ1 — = аНХ1+ а12Х2 + ° ° ° + а1лХ„ гг' х2 — =аюх1+ "шхэ+ . +аэ х» (3.25) Лхл —" =а„х,+ а„,х,+ ... +а„„х„, гле все а1) постоянны, в виде х =а ее', 1 — 1 х =а ее', ..., х„=а„е"', 2 2 с постоянными а; (7'=1, 2, ..., и).
Подставляя в систему (3.25), сокращая на е"' и перенося все члены в одну часть равенства, получим (ам — 12) а, + а„а, + ... + а,„а„= О, аюа, + (а,2 — а) а2 + ... + а,„а„= О, (3.26) ал,а, + а„,а, + ... + (а„„вЂ” й) а„= О. Для того чтобы эта система а линейных однородных уравнений с а неизвестными а, (7'=1, 2...., а) имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы (3.26) был равен нулю: ан — 72 агл '112 а — 12 ... аю аэ„ (3.27) ага а„,....
а„„вЂ” Ф !3 Л. Э. Эльсглльц СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНПИАЛЬКЫХ УРАВНЕНИИ 1гл. з (3.28) где верхний индекс указывает номер решения, а нижний индекс— номер неизвестной функции. Пользуясь векторными обозначениями, получим тот же результат еще короче: лХ вЂ” =АХ; (3.25,) ищем решение в виде (а, , аз Х=Ае»', где А= Азеы = ААез', (А — ЕЕ) А = О, или (3.29) где Š†единичн матрица: '1 0 0...0~ О ! 0...0! о о о ...
! ! Для того чтобы уравнению (3.29) матрица А ~о удовлетворяла нетривиальная (о Из этого уравнения степени л определяются значения и, при которых система (3.26) имеет нетривиальные решения а> (у=1, 2, ..., а). Уравнение (3.27) называется зсарактеристическим. Если все корни характеристического уравнения д, (1=1, 2, ..., и) различны, то, подставляя их по очереди в систему (3.26), определяем соответствующие им нетривиальные значения аий (1,,г' = 1, 2...., и) и, следо) вательно, находим и решений исходной системы (3.25) в виде систимы линяиных килвнинии 195 необходимо и достаточно.
чтобы матрица А — лЕ была бы особ!ой, т. е. чтобы ее определитель был равен нулю: 1А — лЕ~ =О. Для каждого корня л! этого характеристического уравнения 1А — 'лЕ! =0 из (3,29) определяем не равную нулю матрицу А!И и, если все корни л! характеристического уравнения различны. получаем л решений: Х! =А" е"!', где ! а!г! ~ а"'! 2 Асо = Эти решения, как нетрулно показать, линейно независимы, Действи- тельно, если бы сушествовала линейная зависимость ~я~~ () А!'!е~!с О ! ! нли в развернутой форме л ~!~ р,а'оел'! — = О.
! 1=! (З.ЗО) ~ р,.а!„'е~Р=О, ! ! то. в силу линейной независимости функций е ! (1=1, 2...„л) (см стр. 90), из (3.30) следовало бы, что ба',"=О, ! (3.31) (1=1, 2, ..., л). р а!„!'=О. ! и Но так как при каждом й хотя бы олно из а",!, а!'1, ..., а1„'! (! = 1, 2, ..., л) отлично от нуля, то из (3.31) следует, что ()! = 0 (1 = 1, 2, ..., и). 196 систвмы диээвввнцилльных яяявнвнии (гл. з Итак, решения А ~е ' (1= 1, 2, ..., и) линейно независимы -<о а! и общее решение системы (3.25) имеет вид Х = ~ с,А"'е!''. или х! — — ~ с а!.'!е ' (7'=1, 2, ..., и), где с,— произвольные постоянные.
Постоянные а!и (/= 1, 2,..., п) определяются из системы (3.26) ! при (е=(е! неоднозначно, так как определитель системы равен нулю и, следовательно, по крайней мере одно уравнение является следствием остальных. Неоднозначность определения о~.'! связана с тем, ) что решение системы линейных однородных уравнений остается решением той же системы прн умножении на произвольный постоянный множитель. Комплексному корню характеристического уравнения (3.27) й! = Р + 71 соответствует решение Х! —— Аппе~!', (3.32) которое, если все коэффициенты ам действительны, может быть заменено двумя действительными решениями: действительной и мнимой частями решения (3.32) (см, стр, !84).
Комплексный сопряженный корень характеристического уравнения )ег„!- — — р — !7!' не даст новых линейно независимых действительных решений. Если характеристическое уравнение имеет кратный корень )1, кратности у, то, принимая во внимание, что систему уравнений (3.25) можно свести процессом, указанным на стр. 173, к одному линейному олнородному уравнению с постоянными коэффициентами а-го илн более низкого порядка (см.
замечания на стр. 177), можно утверждать, что решение системы (3.25) имеет аид Х (Г) (Ааа 1 А!! ~Г+ + А!т~~ !г! ) е !', (3.33) где (! а1,!!> аы! 3! А!!" =, око е! а(ю — постоянные. /! $ 51 системы линепных уРАВнений Следует заметить, что и в тех случаях, когда система и уравнений (3.26) сводитая к уравнению порядка ниже п (см. замечание 1 стр. 176), характеристическве уравнение последнего необходимо имеет корни, совпадающие с корнями уравнения (3.27) (так как уравнение, к которому свелась система, должно иметь решения вида е е, где и, — корни уравнения (3.27)). Но возможно, что кратности этих корней, если порядок полученного уравнения ниже и, будут ниже кратностей корней уравнения (3.27), и следовательно, возможно, что в решении (3.33) степень первого множителя будет ниже, чем у — 1, т. е, если мы будем искать решение в виде (3.33), то может обнаружиться, что некоторые коэффициенты А1~', в том числе и при старшем члене, обращаются в нуль.
Итак, решение системы (3.25), соответствующее кратному корню характеристического уравнения, следует искать в виде (3.33). Подставив (3.33) в уравнение (3.25,) и, требуя, чтобы оно обратилось в тождество, определим матрицы А~'~, причем некоторые из них, в том числе и А ь могут оказаться равными нулю. (з За меч ание. Можно точнее указать вид решения системы (3.25), соответствующего кратному корню характеристического уравнения (3.27). Преобразовав систему (3.25) неособенным линейным преобразованием к системе, в которой матрица ,'1А — дЕ1 имеет нормальную Жордаиозу форму, и проинтегрировав полученную легко интегрирующуюся систему уравнений, обнаружим, что решение, соответствующее кратному корню д характеристического уравнения (3.27) кратности у, имеет вид Х(Г)=(АЫ1+АООГ+ ... +А1ЭДГЭ )с~с', где 5 — наибольшая степень элементарного делителя матрицы 11 А — лЕ11, соответствующего корню Ле Пример 1.
л'х ку — = х+ 2у — = 4х+ Зу, лс иг Характеристическое уравнение )=О или дэ — 4Д вЂ” 5=0 1 — д 2 4 3 — Л имеет корни Л, =5, аз = — 1. Следовательно, решение ящем в виде х, — — а~1ие ', у, = а1э'~е", (3.341 ха=а~,~е ', Уз=аз'~е Подставляя (3.34) в исходную систему, получим: — 4а1И+2а1з'1 — — О, откуда айэ 2а1г '1 .а11 > остается произвольным. Следовательно, х,=с,ел', у,=2с,е", с,=а,'. 11) СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕННИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ !Гл. з получаем уравнение 2а'г' + а', ' остается произвольным.
(г! Для определения коэффициентов а',г и а!г' +2аз~! О. откуда агг! — а!гг)! коэффициент Следовательно, сг — — а! . !г! — -с ха =сге, уз= — с е Общее решение х=се +се и -с у = 2с,е — с,е ы -! Пример 2. и'х — х — 5у, с(т лу — = 2х — у. Зт Характеристическое уравнение 1 — й — 5 ~=О или аз+9=О 2 — 1 — й имеет корни Льг- ю 35 х~ = а1е~~~, у~ = агез!. (1 — 3!)а — баг- О. ~тому зн уравнению удовлетворяют, например, а, = 5, а, 1 — Зб Следовательно х, =5еап= 5(созЗ(+(з!пЗ!), у, (1 — 3)) еаг! (1 — 3!) (соз Зт+ ! з!и 3!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
