Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 32
Текст из файла (страница 32)
и'х — =х — у, лт (3.35) — = х+Зу. ду с(т Характеристическое уравнение 1 — Л вЂ” 1 0 или Аг — 4А+4=0 ! 3 — л имеет кратный корень йпг 2. Следовательно, решение следует искать в виде х = (а, + 6,() ег', ! (3.36) У = (а, + йгт) е '. Подставляя (3.36) в (3.35), получим 2а, -(- Р, -(- 25, ! =в а, + Р, ! — а, — ))гт, откуда йг = — йи аз — а, — ()!.
Действительная и мнимая части этого решения также являются решениями рассматриваемой системы, а их линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами является общим решением: х 5с, соз Зт+ 5с, з!п 35 у с, (сов 3(+ Зз!и Зт)+ с, (з!п 3! — 3 сов Зт). Пример 3. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 199 а, и !), остаются произвольными Обозначая эти произвольные постоянные соответственно с, и св получим общее решение в виде х (с, + с,г) е~', у — (с, -1- с, -(- с,т) вт( ф 6.
Приближенные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений и уравнений а-го порядка Все изложенные в 9 7 гл. ! методы приближенного интегрированна дифференциальных уравнений первого порядка без существенных изменений переносятся на системы уравнений первого порядка, а также на уравнения порядка выше первого, которые обычным способом сводятся к системе уравнений первого порядка (см.
стр. 33). 1. Метод п о следозач ель н ых и р ибли же ний. Как было указано на стр. 51, метод последовательных приближений применим к системам уравнений — =7',(х, ун ую ..., У„) (1=1, 2, ..., и) (3.37) с~у с начальными условиями у,(х„)= УГР (1 =1. 2, ..., а), если функции /, непрерывны по всем аргументам н удовлетворяют условиям Липшнца по всем аргументам, начиная со второго. Нулевое приближение УГ„(х) (1=1, 2, ..., а) может быть выбрано произвольно, лишь бы удовлетворялись начальные условия, а дальнейшие приближения вычисляются по формуле уь в+1(х)=ум+ ~ Л(х уы уав ° ° ° учв)с(х (1=1 ° 2 и).
к, Так же как и для одного уравнения первого порядка, этот метод репко применяется в практике приближенных вычислений ввиду сравнительно медленной сходимости приближений н сложности и не- однотипности вычислений. 2. М е т о д Э й л е р а. Интегральная кривая системы дифференциальных уравнений лу, — =7,(х, уп ун ..., У„) (1=1, 2, .... п), определяемая начальными условиями у,(хз)=ую (1=1, 2, ..., п), заменяется ломаной, касающейся в одной из граничных точек каждого звена проходящей через гу же точку интегральной кривой (н| рнс. 3.2 изображена ломаная Эйлера и ее проекция только 200 СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛ!*НЫХ УРАВНЕНИЙ 1гл.
з плоскость ху,). Отрезок 'х„(х (сс, на котором надо вычислить решение, разбиваетсв на части длиной 72, и .вычисление проводится по формулам ус (хе+1) ус (хв) + йус (хв) (1= 1, 2, ..., и), Сходнмость ломаных Эйлера к интегральной кривой при й — Р0 доказывается так же, как для одного уравнения первого порядка (см. стр. 43). Лля повышения точности можно Ф' применить итерации (уравнивание). сдеЧ,. 7 3. Р а з л о ж е н и е и о ф о р м у л е Т е йгзлу у l л о р а.
Предполагая, что правые части снссзРй .07 темы уравнений (3.37) днфференцируемы А раз (для того чтобы обеспечить дифференцируемость решений Й + 1 раз), заменяют ,~ х л х искомые решения несколькими первыми членами их тейлоровских разложений: )1, (х) — у, (х ) + у,' (х ) (х — х ) + Ус -, +у" ( ) (х. хо)' + +,121( ) (х хо) Рнс. 3.2.
(1=1, 2, ..., и). Оценка погрешности может быть осуществлена путем оценки остаточного члена в формуле Тейлора 2 -1- 1 йы=у12+сс[х -+0(х — х)) ( +')), где 0(0 < 1. Этот метод дает хорошие результаты лишь в малой окрестности точки хз, 4. Метод Штер мера. Отрезок хз <х <Ь разбивается на части длиной л, н вычисление решения системы (3.37) проволитсн по одной нз формул: 1 ус 2+1 усе+ Чсл+ 2 (3.38) 1 5 ус. 2-с= Уса+ Чсд+ 2 сХЧс 2 1+ 12 ст Чь 2-2 (3.39) 1 2 3 ус,в с=уса'т Чсс+ 2сХЧс 2 1+ 12Л Чс 2„2+ асХЧс 2 2, (3,40) где ' (1'=1, 2, ..., и), у,.в' — у,(х ), х = х + (сй, Ч„= у,' (х,) й. сзЧс, 2-1=ЧЫ Чс, 2-1 7з Чс, 2-2 = 11Чс, 2-1 МЧс, 2-2 ~ Чс, 2-2 б Чс, 2-2 '-" Чс. 2-2 2 2 1в1 201 ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 3 Формулы (3.38), (3.39) и (3.40) могуг быть получены .совершенно так же, как для одного уравнения первого порядка (см.
стр. 63). Порядок погрешности при применении . Втих формул ' остается таким же, как и для одного уравнения. Для начала вычисления по формуле Штермера необходимо знать несколько первых значений уа(х ), которые могут быть найдены путем разложения по формуле Тейлора или методом Эйлера с уменьшенным шагом, причем, так же кан и для одного уравнения, для повышения точности можно применять итерации (см.
стр. 61 — 62), или методом Рунге. 5. Метод Рунге. Вычисляются числа анп = Л (л» Уаа. Уга ° ° ° У„а) Л гат,1 Лалы Лаи„, 1 «112 11(~А+ 2 ' У1А+ 2 У22+ 2 ' ' ' ' Уаа+ ты =11(ха+" Уал+ "таз Угл + "тгз ° ° ° Уаа + Лтла)' Виая КОтОрЫЕ, НаХОдИМ у1 ат, ПО фОрМуЛЕ Л Уг,в+а=уаа+ — (тн+2тг+2тж+ты) (1=1, 2, ..., л). Порядок погрешности такой аке, как и для одного уравнения. Грубо ориентировочно шаг Л в зависимости от требуемой точности результата выбирается с учетом порядка погрешностей з применяемых формулах и уточняется путем пробных вычислений с ша- Л Л гом Л и — .
Надежнее всего проводить вычисления с шагом Л и— 2 ' 2 всех требуемых значений у,(хз), и если при сравнении результатов все они в пределах заданной точности совпадают, то шаг Л считают обеспечиваюшим заданную точность вычислений, в противном случае Л Л снова уменьшают шаг и проводят вычисления с шагом — и— 2 4 и т.
д. При правильном выборе шага Л разности аадга, Ааааа, ... должны меняться плавно, а последние разности в формулах Штермера должны влиять лишь на запасные знаки. Задачи и главе 3 1. — =у. — = — л, х(0)=0, у(0)=1. агх иу Лг ' аГГ Гах, ага ха 2. — '=кь — а= ен ха(0)=2, ха(0)=2, Ига = «нма ла(0) =2, ха(0) = 2. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕННИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 3. — + 5х-1-у г. — — х — Зу е . 2(Х ау 22 сй гй ах, ну 4. — у, — г, — х.
гй ' гй ьй 2(х 2(у у' 5. — у, гй ' гй х ' ах 2(у ах ду О. — + — - — х+у+3. — — - +у — 3. сй гй й и( г 2(г 7. — = — — — ху 2(х х ' 2(х ах ау аг в. — = г — у х — г у — х' 2(х 2(У аг 9. — — х+у+г, — х — у+г, — = х+у — г, гй гй ьй = 10, т — +у-О, ( — + х-О. нх ну гй ' гй 2(х ау ! Ы. — = у+1, — — х+ —. 2(т я(п С ' ах у ау х 12.
— = —, гй х — у' гй х — у 13. х+ у = сов А у+ х я(п Г. 14. х+Зх — у О, у — 8к+у О, х(0) 1, у(0) 4. н20 и с(0 15. — +2)п0=0 при ( О, 0 —, — =О а(2 Зб' аг Определить 0(1) с точностью до 0,001. 10. х(() =ах — у, у(т)= х+ау; а — постоянная. 17. х+Зх+4у О, у+2к+5у О. 18. х — 5х — 2у у = х — 7у. 19. х=у — г, у=х+у, г=х+г. а). х — у+а=О, у — х — у й г — х — г Нх 2(У Нг ' х(у — г) у(г — х) г(х — у)' 2(х ау 2(г к (у' — г') у (г' — х') г (х' — ут) 23, Х АХ, где Х ~! ((, а А ~! ГЛАВА 4 ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ В 1. Основные понятия Для возможности математического описания какого-нибудь реального явления неизбежно приходится упрощать, идеализировать это явление, вьшеляя и учитывая лишь наиболее существенные иэ влияющих на него факторов и отбрасывая остальные, менее существенные. При этом неизбежно встает вопрос о том, удачно лк выбраны упрощающие предположения, Возможно, что неучтенные факторы сильно влияют на изучаемое явление, значительно меняя его количественные или даже качественные характеристики.
В конечном счете этот вопрос решается практикой — соответствием полученных выводов с опытнгямн данными, но все же во многих случаях можно указать условия, прн которых некоторые упрощения заведомо невозможны. Если некоторое явление описывается системой дифференпиальных уравнений У' = сР, (Е ун у,, ..., у„) (1 = 1, 2, ..., и) (1.!) с начальными условиями у; (1„) = ум (1= 1, 2...., л). которые обычно являются результатами измерений и, следовательно, неизбежно получены с некоторой погрешностью, то естественно возникает вопрос о влиянии малого изменения начальных значений на искомое решение. Если окажется, что сколь угодно малые изменения начальных данных способны сильно изменить решение, то решение, определяемое выбранными нами неточными начальными данными, обычно не имеет никакого прикладного значения и даже приближенно не может описывать, изучаемое явление.
Следовательно, возникает важный для приложений вопрос о нахождении условий, при которых достаточно малое изменение начальных значений вьиызает сколь угодно малое изменение решения. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ !Гл. 4 Если 1 изменяется на конечном отрезке 1а ( 1 ( Т, то ответ на этот вопрос дает теорема о непрерывной зависимости решений от начальных значений (см. Стр.
54). Если же 1 может принимать сколь угодно большие значения, то этим вопросом занимается теория устойчивости. Решение ф,(1) (1 = 1, 2, ..., н) системы (4.1) называется устойчивым, или, точнее, устойчивым по Ляпунову, если для любо~о е > О можно подобрать Ь(е) ) О такое, что для всякого решения у, (Г) (1=1, 2, ..., а) той же системы, начальные значения которого уловлетворяют неравенствам ~у!((а) !р!((о)~ < б(е! (1=1, 2, ..., и), для всех Г )~ Г, справедливы неравенства ~у,(1) — рг(г)~<е (1=1. 2, ..., и), ' (4.2) т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
