Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Покажем вначале, что одна из неизвестных функций. например х,(т), входящая в состав решения х~(1), хз(1), ..., х,(1) системы дифференциальных уравнений: лх, дх1 — =уз(1, хн хз, ..., х„), (3.1) — "=у„(1, х„х,, ..., х„), удовлетворяет некоторому уравнению а-го порядка, при этом мы предположим. что все функции ~, имеют непрерывные частные производные до (и — 1)-го порядка включительно по всем аргументам. Подстзвив в систему (3.!) некоторое решение х,(У), хе(1), ..., хе(1), обратим все уравнения системы в тождества.
В частности, в тождество обратится и первое уравнение системы дх, 71(' ХН «2* ' ' '' Хе)' Продифференцируем это тождество по 1: и Лех| дЛ ~ч дУ, Лх~ Ше Ш + а~~а дх; Лг или (3.7а) 1=1 и, обозначив правую часть последнего тождества Гт(1. хц х,.... х„), получим: — „,„' =Ря(1, хн хз..... х„). (3. 7зе) системы диеевявнцилльных яяавнвнии (гл. а Снова дифференпируем это тождество: л азх! дРз Сч дРз ах! ан дГ +д'.а дх; и ' 11 или л азх! дРз ~~ дРз — = — + ' — 7!. атз дГ гл дх! !»1 (3 7з) и, обозначив правую часть послелнего тождества Рз(~, хн хя, ..., х,), получим: — „,' = Рз(г, х,, хя, ..., х„).
(3 7з) ал зх, агл =Рл,(Г, хн хя, ..., «л), (3. 7„!) дифференпируя которое еще раз и пользуясь тождествами (ЗИ), будем иметь: алх! агл Рл (Г х! ° «м ' ', хл) Итак, получены и — 1 тождеств ах, — =Дз(г, х,, хя, ..., хл), а'х, —,' = Ря(Г, х,, хя, ..., хл), (3,7,) (3.7я) (3.7) ал-1«, ,' = Рл, ((, хн хя, ..., хл) (3.7л !) — л — ! ° ! я ° . л и еще одно тождество алх! агл = Рл(з х! хя ° ° ! хл) (3.8) Предположим, что в рассматриваемой области изменения переменных определитель О(7!, Рз, Рз, ., Р.,) ~ л~(хз хз х» " хл) Тогда систему (3.7) можно разрешить относительно х, х, ..., хл, ах, ал зх, выразив их через переменные 1.
хн — ', ..., — '. Подставив аг атл Опять днфференпируем это тождество и, продолжая этот пропесс и — 2 раза, получим, наконеп, тожлество ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 175 найленные нз системы (3.7) переменные хм хз, ..., х„в последнее уравнение (3.8), пвлучим уравнение а-го порядка (3.81) которому удовлетворяет функция х,(Т), являвшаяся по предположению функцией х1(К) решения х1(Т), ха(Т), ..., х„(Т) системы (8.1). Докажем теперь, что если взять любое решение х1(Т) полученного уравнения л-го порядка (3.8,) подставить его в систему (3.7) и определить из этой системы хз(7), хз(Т), ..., х,(г), то система функций х1И), хз(т), ..., х„(т) (8.9) дх1 1 Л( х1 ха ''' х) Дифференцируя это тождество по Т, будем иметь: (8.71) Фх, ду1 ~~ ду1 дх1 дг1 дФ + ~Й~ дх1 дг 1=1 (8. 16) В этом тождестве пока нельзя заменить — функциями 71, так как дх1 дГ мы еще не доказали, что полученные указанным выше путем из уравнения (3.8) и системы (3.7) функции х,, хз, ..., х, удовлетворяют системе (3.1), более того, именно это утверждение и является целью нашего доказательства.
Вычитая почленно из тождества (3.10) тождество (3.71), взятое в развернутом виде (3.71), получим х 11 илн, в силу (3.7,), 1юв будет решением системы (3.1). Подставим найденную систему функций (3.9) в систему (3.7) и тем самым обратим все уравнения этой системы в тождества; в частности. получим тождество СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 173 [Гл. 3 Совершенио аиалогично, диффереицируя тождество (3.7Д и вычитая (3.72), затем дифференцируя тождества (3.7з) и вычитая (3.7а) и т.
д., получим: л 1=2 Так как определитель линейной однородной системы уравнений 1=2 (3.11) состоЯщей из (и — 1)-го УРавиеииЯ с и — 1 неизвестными ! — — 72) 7 а(ха ! лг (1=2, 3, . Л), совпадает с ог1личиым от нуля функциональным определителем !)(У' Р' " Рл- ) Ф О Р (х,, ха...., х„) — ' — У'1= — О (1=2, 3...., Л). «ГХ1 лг Принимая во внимание еаце (3.7,), получаем, что и функций х,, х, ..., хл являются решением системы уравнений — '=71(1, х,.
хг... ° хл) (Е=1, 2, ..., Л). Заме ч а ние 1. Указаииый здесь процесс исключения всех функций, кролае одной, прелполагает. что В(л Р'" Рл-1) ФО. (г (ха ха ° ° хл) (3.12) то система (3.! 1) в каждой точке рассмзтриваемой области имеет только тривиальные решения ннтегэнпованне системы эелвненнн Если это условие не выполнено, то можно применить тот же процесс, но вместо функции х, взять какую-нибудь другую из функций хю хз, ..., х„, входящих в решение системы (3.1). Если же условие (3.12) не выполняется при любом выборе вместо хз какой- нибудь функции из хз, хз, ..., х„, то возможны различные исключительные случаи, которые мы иллюстрируем следующими примерами.
Пример 4. Фаз — -Л(г л) згг Нлз — =уз(т лз) л'з' лаз — =/з(т лз). лз Система распалась на соверщенно независимые между собой ураввения, каждое из которых приходится интегрировать отдельно. Пример 5. Их, — =уз (д х,). дà — =уз(Г -тз лз) — Ф О лиз дУз зтт ' ' ' дхз дхз ,гз(Г лз лз) лт Два последних уравнения можно указанным выше методом свести к одному уравнению второго порядка, но первое уравнение, содержащее неизвестную функцию хь не входящую в остальные уравнения, надо интегрировать отдельно. За меч ание 2.
Если применить указанный выше процесс исключения всех неизвестных функций, кроме одной, к системе — = Г а, (т)х (1=1,2,..., и), )=з называемой линейной однородной, то, как нетрудно проверить, уравнение и-го порядка тоже будет линейным однородным, причем если все коэффициенты агу были постоянными, то и уравнение (3.8,) будет линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами. Аналогичное 12 Л.
э. эльсглльч )тв СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ )гл. з замечание справедливо и для линейной неоднородной системы лх! ъч — ! = у аы (!) х) + у! Щ (Х= 1, 2, ..., и), ) 1 для которой уравнение (3.8!) будет линейным неоднородным уравнением и-го порядка. $3. Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование систем дифференциальных уравнений лх! — '=уг(1. х!, хз...., х„) (1=1, 2, ..., и) (3.1) нередко осуществляется путем подбора так называемых интегрируемых комбинацпй.
Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное уравнение, являющееся следствием уравнений (3.1), но уже легко интегрирующееся, например являющееся уравнением вида СЮ(Г, ХР ХЗ ' ' ° Хл) О или уравнением, сводящимся заиеной переиенных к какому-нибудь интегрируемому типу уравнений с одной неизвестной функцией. Пример 1. йх лу лг ' лг Складывая почленно данные уравнения, находим одну интегрируемую комбинацию откуда )о)х+ у)= г-1-1псь х-1-у = се'. Почленно вычитая из первого уравнения системы второе, получаем вторую интегрируемую комбинацию о (х — у) и (х — у) = — (х — у) или = — ег, лг х — у )п ) х — у ! = — С +1п сь х — у еле Итак, найдено двв конечных уравнения: х+у=с,е и х — у=с,е с -с из которых может быть определено решение исходной системы х = — (с,е + сяе ), у = — (с,е — еле ) 1 с -с 1 с -с 2 или х=с,с+с,е .
у=сге — сае — с — -с — с — -! 4 .з! нл хождяние интвгяиявямых комвннлцип !Уй Одна интегрируемая комбинация дает возможность получить одно конечное уравнение Ф,(1, хн хг, .... х„) =сн связывающее неизвестные функции и независимое переменное; такое конечное уравнение называется первым интегралам система (3.1). Итак, первым интегралом Ф(т х~ хз хя) с (3.! 3) Ф,(Е хн х,, ..., х„)=сн Фг ( хн хг...,, хв) — сг. Фа(г, хн х,, ..., «„)=с„, (3.14) Если все зти интегралы независимы, т, е, если хотя бы один определитель В(Ф~ Фг Фа) В(х,хт,...,х ) где х, х), ..., х) — какие-нибудь )г функций иа хн хг, ..., х„, то из системы (3.14) можно выразить м неизвестных функций через остальные и, подставляя в систему (3.1), свести задачу к интегрированию системы уравнений с меньшим числом неизвестных.
Если )г = и и все интегралы независимы, то все неизвестные функции определяются из системы (3.14). системы уравнений (3.1) называется конечное уравнение, обращающееся в тождество прн некотором значении с, если вместо х;(() (1=1, 2, ..., и) подставлено решение системы (3.1). Часто первым интегралом называют также левую часть Ф((, хн хг, ..., х„) уравнения (3.13), н тогда первый интеграл опрелеляется как функция, не равная тождественно постоянной, но сохраняющая постоянное значение вдоль интегральных кривых системы (1). Геометрически первый интеграл Ф(Е хн хг, ..., х„)=с при фиксированном с можно интерпретировзть как и-мерную поверхность в (а+1)-мерном пространстве с координатамн г, хн хм ..., х„, облалающую тем свойством, что каждая интегральная кривая, имеющая общую точку с атой поверхностью, целиком лежит на поверхности. При переменном с получаем семейство непересекающихся поверхностей, обладающих тем же свойством, т.
е. состоящих из точек некоторого (и — 1)-параметрического семейства интегральных кривых системы (3.1). Если найдено л интегрируемых комбинаций, то получаем )г первых интегралов: системы днеаеиенцидльных уравнении (гл. а Пример 2. г(х ну тх — =у — л, — а — х, — =х — у. л(= ' и ' и= Сложив почленно уравнения этой системы, получим — + — + — = О или — (х+ у+ л) О, т(х Иу л'т лт т(т лт откуда х+у+» с,. Найденный первый интеграл позволяет выразить одну из неизвестных функций через остальные переменные и тем самым свести задачу к интегрированию системы двух уравнений с двумя неизвестными функциями.
Однако в данном случае легко можно найти еще один первый интеграл. Уыпо>ким первое уравнение почленно на х, второе на у, третье на л и сложим: лх лу Лл х — + у — + л — = О. си лт йт или, умножив на 2, получим — (ха+ ут+ лт) О, И т(г откуда хт+ ус+за = сг.
Из двух найденных первых интегралов можно выразить две неизвестные функции через остальные переменные и тем самым свести задачу к интегри, роваиню одного уравнения с одной неизвестной функцией. Пример 3. А — = ( — С) уг,  — = (С вЂ” А) гр. С вЂ” (А — В) рф ир , лл и'г лг л'т лг где А, В и С вЂ” постоянные (эта система встречается в теории движения твердого тела). Умножая первое уравнение на р. второе на и, третье на г и складывая, получим др Ио и'г Ар — + Вд — +Сг — =О, л( лт дт откуда находим первый интеграл Ар'+ Вот+ Сг' с,. Умножая первое уравнение на Ар, второе на Вф третье на Сг и складывая. будем иметь Атр — + В'о — + Саг — = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
