Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Заменяя в этом тождестве г на г+Т, мы в силу периодичности функции хз(т) и ее производных не изьгеним левой части уравнения и не изменим аргументов правой части. начиная со второго, следовательно. Г(Г, Х,(Г), Х,(7), ..., Хл-'(7))—= Р(С+Тхо(Г)х()х~|(г)) т.
е. функция г"' вдоль интегральной кривой х = хо(Г) имеет период Т по явно входящему аргументу Г. Следовательно, если правая часть уравнения (2.99) прн любом выборе хо(7) не является периодической функцией по первому аргументу, то не существует и периодических решений. Если функция гт не аависит явно от г, т. е.
является постоянной по отношению к аргументу 1, то г". можно рассматривать как периодическую по Г функцию любого периода и поэтому не исключена возможность существования периодических решений какого угодно периода. та»знания пояядк» выше пивного 1гл. я Пусть, например, требуется найти периодические решения уравнения х+ пах = Т (1). (2. 100) Т' (1) = — ' + ~~ (а, сов И + О» з)п И).
й=! (2.101) Периодическое решение ищем в виле х(Г)= — » + ~ (А»созИ+В»з(пН). (2.102) и=! Дифференцируя ряд (2.102) почленно два раза н подсгавляя в урав- нение (2.100), получим — ~ Да(А»созИ+В»з1пИ)+ = — '+ т (а соз И+» з(п И), 2 числу, определяем коэффициенты откуда, если а не равно целому ряда (2.102): а'.4, а, 2 2 А =— а» е — ее а» а! — »! (2.
103) (໠— /г') А» = а», (а' — нз) В» — — Ь», "» » = ее »! Для существования периодического решения необходимо предположить, что Т" является периодической функцией, Без существенного ограничения общности можно считать, что у'(1) — периодическая функция периода 2п, так как если бы функция /(1) имела период Т, 2п то после преобразования независимого переменного 1! = — ~ пра- Т вая часть стала бы функцией периода 2м по новоиу независимому переменному 1!.
Предположим, что функция Т'(1), кроме того, непрерывна и разложима в ряд Фурье: $ т] интеГРиРОВАние уРАВнении пРН помощи РЯДОВ 145 Следовательно, уравнению (2.100) формально удовлетворяет ряд аь 'Ч,т а» соз»т+ Ь» 5>п»Г 2а' + льл а' — »2 »=> (2.104) Очевидно, что ряд (2,104) сходится и допускает двукратное почленное дифференцирование, так как ряд (2.101), в силу непрерывности функции у(Г), сходится равномерно, а коэффициенты ряда »'(а» соз»!+ Ь» 5>п»Г) а' — »ь »=1 (2.105) составленного из вторых производных от членов ряда (2.104), отличаются от коэффициентов а» н Ь» ряда (2.101) лишь не зависящим »2 от г', монотонно стремящимся к 1 при д-»со множителем— ໠— »2 Следовательно, ряд (2.! 05) сходится равномерно, а значит, ряд (2.104) можно было дифференцировать почленно два раза.
Итак, ряд (2.!04) не только формально удовлетворяет уравнению (2.100), но его сумма х(1) существует и является периодическим решением уравнения (2.100). Если а мало отличается от целого числа и и а„ Ф 0 или Ь„ ~= О, то наступает явление резонанса, заключающееся в резком возрастании при прибли>кении и к и хотя бы одного из коэффициентов В = Ьл Л аь пь А а„ Л аь пл Если же а = п и хотя бы один из коэффициентов а„или Ь„не равен нулю, то периодических решений не существует, так как резонирующим слагаемым а„соз п( + Ь„з(п п( Г (А, соз п! + В„з(п пГ), тогда как остальные слагаемые в общем решении уравнения будут периодическими функциями.
Следовательно, при а =и периодическое решение уравнения (2.100) существует лишь в случае отсутствия в правой части резонирующих членов а„соз пГ+ Ьл 51п пЬ, т. е. в случае 2л 2л а„=' — аг /(Г) сов п( И = О, Ьл = — 1 У(М)51п пт а>( = О. (2.106) /' /' о 10 Л. Э. Эльсгальч в правой части уравнения (2.100), как указано на стр. 128, согласно принципу суперпозиции соответствует в общем решении уравнения (2.100) непериодическое слагаемое вида квлвннния попядкл выщп ивового 1ГЛ, З 146 В последнем случае, т.
е. при а=а, а„=(!л=0, периодическое решение уравнения (2.100) существует, причеи при )а чь п коэффициенты определяются по формулам (2.103), а коэффициенты А„и В„ остаются произвольными, так как А„соа и!+Во з)п п$ является при произвольных А„и В„решением соответствующего однородного .уравнения. П ри мер 6. Определить периодическое решение уравнения Ъч з)па! х+2х = у— а=! Ищем решение в внле ряда Ао ъ! х(1) — + у (Аэ сов Лг+Вьз1п Н) 2 л=! и. определяя коэффициенты Аэ н Вл по формулам (91), получаем 51п Д! (')=.~~ Д!(2 — Д) ' ь=! При м е р 7.
Определить периодическое решение уравнения х+4х — з1п! а Так как условия существования периодического решения (2.106) не удовлетворяются: зл з)п'1з!п21Л! О, о но зл э!и' ! соз 2Г Л! чЬ О, о то периодического решения не существует. При мер 8. Определить периодическое решение уравнения ~~~ соз дг а=э В правой. части отсутствуют резонирующие члены а, сов!+ Ь! з1пг, Следовзтельно, периодическое решение существует и определяется по формулам (2.103)! х(!)= Г э +с!соз1+скз!пф %1 . сова! о=э где с, и сз — произвольные постоянные, аз1 метод МАЛОГО ПАРАМЕТРА $8.
Метод малого параметра и его применение в теории квазилинейных колебаний В прелыдущем параграфе был указан метод нахождения периодических решений линейных уравнений вида пах у (г) Во многих практических задачах возникает вопрос о нахождении периодического решения аналогичного уравнения, но имеющего в правой части малое нелинейное слагземое: х+ пах =/(()+ (АР ((, х, .е, р), (2.107) где )г — малый параметр. Если отбросить слагаемое рг (г', х, х, р), т. е. считать в уравнении (2.107) 1г = О, то получим линейное уравнение т + аз.т = у (г), называемое порождающим для уравнения (2.!07). Одним из наиболее эффективных методов нахождения периодических решений уравнения нелинейных колебаний с малой нелинейностью (2.107) является разработанный А. Пуанкаре и А.
М. Ляпуновым метод разложения решения в ряд по степеням малого параметра (г, широко применяемый в настоящее время при решении самых разнообразных залач. Опираясь на теорему об аналитической зависимости решения от параметра (см, стр. 55), легко обобщающуюся на уравнения второго и более высокого порядков, можно утверждать, что решения х(г, (А) уравнения (2.107) будут аналитическими функциями параметра (А при достаточно малых по молулю значениях р, если функция 7'(г) непрерывна, а функция тч(г, х. х, р), непрерывная по г, аналитически зависит от остальных аргументов: от х и х в той области, в которой в дальнейшем будут меняться эти переменные, а от р при достаточно малых по модулю значениях (г.
Предполагая, что эти условия выполнены, ищем периодическое решение х(А (А) в виде суммы ряда х(г Я)= Х~(г)+ рх1(г)+ 1.~ хз(г) + ° ° ° +)А х~(т)+ Дифференпируем зтот ряд почленно два раза: х (Г, (А) = х (г) + (гх, (г) + ... + (А'х„ (Г) + .. л(Г. Р) =ха(Г)+Рл,(г)+ ... +(А"л,(г)+ ., 10~ 148 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО [Гл. т и подставляем в уравнение (2.107), в котором функция Р(Г, х, х, (А) пРедваРительно Разложена по степенЯм х — хе, х — хе и (А, х-1-аях =7 (Г)+ р Р(Г «о хо 0)-+(Л ) (х — хо)+ дР х ха к=к РРЮ +~ —.) (х — хз)+~ — ) и+ ... (2.
108) к=х, Р-О к=к Р=Р Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях )А в левой и пра- вой частях уравнения (2.108), получим х + а'ха= 7" (Г), х~+ л~х1= Р(г хо хе О), +~ —.) х, +( — ) Г ЕР З х +а'х,=( —.~ х, я Ь.)„„ (2. 109) к=х, Р=О х=х Рся х=х Р=О х+ пах = у (Г) + (АР (1. х, х, р). в соответствии с замечанием на стр.
143 — 144 естественно наложить еще одно ограничение, а именно потребовать, чтобы правая часть была периодической функцией по явно входящему аргументу Г. Без существенного ограничения общности можно считать наименьший период правой части, если правая часть явно зависит от Г, равным 2п, при этом, если 7(Г) не равно постоянной величине, периодические решения уравнения (2.107), если они существуют, при достаточно малом (А могут иметь лишь периоды, равные.или кратные 2п (см. стр. 143 — 144), Первое из этик линейных уравнений совпадает с порождающии уравнением. Интегрируя его н подставляя найденное решение хе(Г) во второе уравнение, получим для определения х,(Г) опять линейное уравнение и т. д.
Для определения х„(Г) мы также получим линейное уравнение, так как в правой части этого уравнения будут содержаться лишь хг и х) с индексами, меньшими и, потому что нз-за наличия множителя (А при Р члены, содержащие в правой части х„ и х„ н. тем более, хя и хя с большими индексами, будут иметь множитель 1А в степени не ниже л + 1. В этом параграфе мы рассматриваеи лишь вопрос о нахождении периодических решений, поэтому на правую часть уравнения 149 МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА % з! А(ля нахождения периолического решения уравнения (2.108) в виде х(1, !Г)=хз(Х)+ цх,(~)+ ... +!А"х„(!)+ ... (2.110) надо определить периодические решения хл (г) уравнений (2.109) Действительно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
