Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 21
Текст из файла (страница 21)
+В в уравнение (2,66) и сравнивая коэффипиенты при одинаковых степенях х з левой и правой частях, получаем для определения коэффипиентов В; всегда разрешимую, если а„чьО, систему линейных уравнений: аВ=А, В= —, до и о — о о — „ алВ1+ га,Во = Ап откуда определяется ВР а Во+(г — 1) а„,В, +г(г — 1) а„оВо — — Агя нводноводные тялвнения с постоянными коэ«ь !25 а а! откупа определяется Вг, а„В,+- ... = А„ откупа определяется В,. Итак, если а«чаО, то суп(есагвует частное решение, имеюп(ее вид многочлени, спгепень которого равна степени жного- члена, столп(его в правой части. Предположим теперь, что а„=О, причем для общности допустим, что н а„, = а« = ... = а„,, = О, но а„„~О, т. е.
lг =О является а-кратным корнем характеристического уравнения, причем случай а= 1 не исключается. При этом уравнение (2,66) принимает вил а«уоо + а,у<" - Ч+ ... + а„ у"' = Аьх' + А~х'-' + ... + А,. '(2.67) Полагая у~«~ = г, мы приходим к предыдущему случаю, и слеловательно, существует частное решение уравнения (2.67), для которого уш! = Вех'+ В,х'-'+ ... + В,, у = х" (В,х' + В,х'-' -!- ... -(- В ). Пример 1. у" + у = х'+ х.
Частное решение имеет вил у = В,х'+ В, х -!- В,. (2.68) Подставляя в уравнение (2.68) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем Вь 1, В,=1, В, — 2, У=ха-1-х — 2. Общее решение у = с, сов х + с, а! и х -1- хг -1- х — 2 Пример 2 у" +,у' = х — 2. Частное решение ищем в виде у= х(В,х+В,). Подставляя в уравнение и сравнивая ковффициенты при одинаковых степе- нях х в левой и правой частях полученного тождества, находим 1 - !1 Вь — —, В3= — 3 у х( х 3). 2' ' 12 а значит, у является многочлепом степени в+а, причем, члены.
начиная со степени а — ! и ниже, у этого многочлена будут иметь произвольные постоянные коэффипкенты, которые могут быть, в частности, выбраны равными нулю. Тогда частное решение примет следующий вид: УРАВНЕНИЯ ПОРЯЛКА ЯЬШ!Р ПЕРВОГО !ГЛ. Я Общее решение ! ! у с, + с,е™+х ~ — к — 3). 12 Рассмотрим теперь линейное неолноролное уравнение вила а У!"! + а,У!" И -+ ... +- а„У = ел (А„х' + А,х'-' .+... -г А,), (2. 69) где все а) и А,— постоянные. Как было указано выше (стр. 109), замена переменных у=ее г преобразует уравнение (2.69) к виду е' (д г!т+Ь!г!" ')+... -+Ь„г) =ел"(А х'+ А х' '+... -+ А ), или дог!и! + Ь!г!л-!1+ ° ° + дог = Аох'+ А! х' ' +...
+ А,, !2 70) гле все б( — постоянные. Частное решение уравнения (2.70), если Ь„ФО, имее! вил г = В х' +- В,х' ' + ... +- В,, а значит. частное решение уравнения (2.69) у = ее (В„х'.+ В,х' '+... +-В,). Условие Ь„Ф 0 означает. что й = 0 не является корнем характеристического уравнения Ьо)г" + 1)ь)г" ' +... (-по=о, а следовательно, )г = р не является корнем характеристического уравнения а„)г" +-а!)г" +... +-а,=О, (2,72) так как корни этих характеристических уравнений связаны зависимостью й =й+ р (см. стр.
109). Если же )г=О является корнем характеристического уравнения (2.71) кратности а, другими словами, й = р является корнем характеристического уравнения (2.72) той же кратности а. то частные решения уравнений (2.70) и (2.69) ° имеют соответственно внл г=.х" (Вох'+В,х' '-+ ... + В,), у=х"ее'(Вох'+ В,х '+... +В,). Итзк, если правая часть линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид ее" (Аох'+Агх'-'+... +А,), ИВОДИОРОПИЫГ лЯХЯНГНИЯ С ПОГтОЯИИЫМИ КОЗЕ.
127 то, если р не является корнем характеристического уравнения. частное решение надо искать в таком же виде; у = еех (В,х" + В, х' ' .+... + В,). Если же р является корнем характеристического уравнения кратности а (этот случай называется осоллым или резонансным), то частное решение надо искать е виде у = хкеех (В х'+ В х' ' -1-... -1- В ). Пример 3. у" + 9у е'".
Частное решение надо искать в виде у = Вель Пример 4. у" „1 у еле(х 2) Частное решение надо искать я виде у = елх (В,х + В,). Пример 5. у — у = ех(х' — 1). Частное решение надо искать в виде у = хе" (В,х'+ В,х+ В,), так как Л 1 является простым корнем характеристического уравнения. Пример б. улх+ Зу" +Зу'+ у =е "(х — 5). Частное решение надо искать я виде у = х'е "(В,х+ В,), так как Л вЂ” — 1 является трехкратнылл корнем характеристического уравнения Эаиетим, чго наши рассуждения остаюгся справедливыми и прн комплексном р.
поэтому если правая часть линейного дифференциального уравнения имеет вид ее" (Р, (х) сох дх .+- (;), (х) з(п дх(, (2.73) гле олин из многочленов Р,(х) или (ел(х) имеет степень з, а дРУ- гой — степень не выше чем з, то, преобразуя тригонометрические функции по формулам Эйлера к показательному виду, получим а правой части е(е+ел1хусл(х) + еш-ео"Т,(х), (2.74) где Й;(х) и Т,(х) — многочлены степени з.
Для каждого слагаемого правой части можно уже применить указанное выше правило. а именно, если р+л)( не являются корнями 128 УРАННЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫ!ЕЕ ПЕРВОГО !ГЛ. 2 характеристического уравнения, то частное решение можно искать в таком же виде, как и правая часть (2.74); если же р+р( являются корнями характеристического уравнения кратности а, то частное решение приобретает еше мно1китель х". Если опять вернуться к тригонометрическим функпиям, то это правило можно сформулировать так: а) Если р + и! не являются корнями характеристического уравнения, то частное решение надо искать в виде у = ея«]Р, (х) соз (2х + (;2, (х) з1п их], где Р,(х) и (',)г(х) — многочлены степени в с неопределенными коэффициенл1ами. Заметим, что если один из многочленов Р,(х) или (е,(х) имеет степень ниже в нли даже, в частности, тождественно равен нулю, то все же оба многочлена Р,(х) и 1,(х) будут, вообще говоря, иметь степень в.
б) Если р+д! являются и-кратными корнями характеристического уравнения (резонансный случай), Гио частное решение надо искать в виде у = х"ел" [Р, (х) соз дх -[- Я,(х) з!и вх]. Пример 7. у" + 4 у' + 4у = соз 2«. Так как числа й2! не являются корнями характеристического уравнения то частное решение ищем в виде У .4создх+Вз!п2х. у" + 4у = соз 2х. Пример 9. Так как числа х2! являются простыми корнями характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде у х[Асоз2х+Вз!п2х].
у~~+2у +у з!ох. Пример 9. Так как числа х ! являются двукратными корнями характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде хз (А соз х + В з!я х). Пример !б. у" +2у'+2у е «(хсозх+Зз!пх). у хе- [(А,х+ А,) соз х+(В,к+ В1) з!их]. Так как числа — ! х 1 являются простыми корнями характеристического уравнениа, то частное решение ищем в виде НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНГНИЯ С ПОСГОЯННЫМИ КОЭФ. 129 Во многих случаях при нахождении частных решения линейных уравнений с постоянными козффициентамн с правой частью вида (2.73) целесообразно перейти к показательным функциям.
Например, в уравнении у" — 2у'-1- у = соек можно преобразовать сов х по формуле Эйлера или, еще проще, рассмотреть уравнение +у егх (2.75) Тогда А =- —,, у = — (сов х+ 1в1п х). 2 Частное решение исходного уравнения 1 у, = Йе у =- — — в1п к.
2 Лля нахождения частных решений линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами во многих случаях о юнь удобен операторный метод. Понятие об операторном методе решения линейных дифференпиальных уравнений с постоянными козффициентаии. Для производных порядка Гг введем обозна- чение ееу р~ Еха Пользуясь зтнм обозначением, запишем уравнение авт1ю + а уг" и + ...
+ а„у = Е(х) ггвЕ) у + ~,Е> ~у+... + а„у = Е(~) в виде или (а Е)'+ а,бе '+... +а, 1Е).+ а„)у=у(х). (2.76) Выражение авЕ)" + агЕ)' '+ ... + ах ГЕ)+ а называется опералгорным многочленом. Этот операторный много- член кратко обозначим гч(Е)), а уравнение (2.76) запишем в виде е" (Е)) у = у' (х). 9 Л. Э, Эеьсгохьч действительная часть решения которого должна удовлетворять исходному уравнению (см. стр.
П4 — 115). Частное решение уравнения (2.75) можно искать в вида у= Ае'". УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО )ГЛ. 2 Непосредственной проверкой легко устанавливается справедливость следующих тождеств: 1) Р(О) ел"— = егиР(а), 2) Р(02) я!п ах в = з!п ахР( — ат), 3) Р (02) соз ах= — соз ахР( — ая), 4) Г(0) еи "о(х)=ел"Г (В+ 12) о(х). Действительно: 1) Р(0) е~"=(аяО" + а,Ол '+ ...
+а„)еел= 2) Р(02)з!пах=(аеО~" +а,02л +... + ал,02+ а„)я!пах= = [ая( — а )л+ а,( — ая) +... + ал,( — а )+ а„|я!и аХ = = я!и ах Г ( — а'). Тои!Дество 3) доказывается совершенно аналогично: Р(02) соя ах =сояахР( — ая). л 4) Г(0)еиип(х)= ~„аи РОР(е""о(х))= р=я и =ели У ал р ~А~О(х)+ Р)2» Оо+ р=е + р(,р — 1) ар-202 + + Ор 2! = Еаи у ал (О+ й)р О = Е"иГ (О+ гг) О(Х).
л-р Р=О Суммой двух операторов Р,(О) и Г2(0) называется оператор (Р,(0) + Р2(О)). действие которого на некоторую функцию у (х) определяется равенством [Р, (О) + Р2 (О)] у (х) = Р, (О) Г' (х) + Р2 (О) 1' (х). Из этого определения следует, что и л и так как действие левой и правой частей этого равенства на некоторую а раз дифференцируемую функцию у (х) приводит к одному и тому же результату, т. е. правило сложения операторных много- членов не отличается от правила сложения Обычных (не операторных) многочленов. неоднородные грлвнення с постоянными коэи.
!31 Произведением двух операторов Р,(В) ° Гт()р) называется оператор, действие которого на некоторую достаточное число раз дифференцируемую функцию /(х) определяется равенством Р, (О) ° Гя (1)) /(х) = Р, (0) [Ро (й) /(х)!, т. е. на функцию /(х) действует сначала правый множитель, а затем на резуоьтат действия правого множителя на функцию /(х) действует левый множитель. Исходя из этого определения, нетрудно обнаружить, что правило умножения операторных многочленов не отличается от правила умножения обычных (ие операторных) многочленов.
Действительно, о 1 Я О р=.о о=о так как '! Рй р=о о=- о р ь о р=о о о р=оо=о что совпадает с результатом действия оператора ~ ~ а„ рб 0р+о на /(х). Из (2.77), в частности, следует коммутативность умножения операторов Г,(О) Г,(О) =Г,(п) Г,(О). Справедливость дистрибутивного закона Г(в)(Р,(В)+Г,(ВИ=Р(о)Р,Ф)+Р(0) Г,(О) непосредственно следует из правила дифференцирования суммы. Следовательно, действия слоисения и умножения с операторными многочленами не отличаются от тех же действий с обычными (не операторными) многочленами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
