Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 22
Текст из файла (страница 22)
1 Определим теперь оператор Г( ) . 1 Результатом действия оператора —. на некоторую непрерыв- Г(Р) ную функцию /(х) является решение уравнения Г(О) у =/(х), у = —,/(х). 1 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫП!Е ПЕРВОГО 132 !гл. я Следовательно, (2.79) 1 Можно было бы считать, что /(х) является решением уравнения (2. 78), определяемым какими-нибудь конкретными, например нулевыми, начальными условиями, однако для наших целей удобнее 1 считать, что — /(х) является одним из решений, все равно каким, г (В) 1 уравнения (2.78) и, следовательно, действие оператора — на нег" (В) которую функцию /(х) определено лишь с точностью до слагаемого, равного решению соответствующего однородного уравнения.
1 При таком понимании действия оператора „, будет справедливым равенство — [Р (В) /(х)) = /(х), 1 г ()Э) так как /(х). очевидно, является решением уравнения гч(В) у = г". (В)/(х). (2.80) Поэтому в формулах (2.79) и (2.80) скобки можно опустить. Заметим еще, что 1 ! так как — /(х) является по определению оператора — реше- ВР Р (В) нием уравнения В"у=/(х). ! Проверим следу!Оц(ие свойства оператора 1 1 !) )г/(х) = )1 — /(х). где )г — постоянный множитель, так как Г(В) й — /(х) =)ГР (В) /(х) = (г/(х).
1 1 Г(В) 2) —. е = —, если 7' ((г) ~ О, еьг 8(В) г !)г) ' Произведение операторов Ф (В) на определяется равенсгвоч Ф(В) „(В) /'(х) =Ф(В) ~„~~» /(х)~ Аналогично Р(О) Ф(В)/(х)= (Ф(В)/(х)). нводноподныя явлвняния с постоянными коэе. ех' Действительно, — является решением уравнения тч(р)у=ах", Р'(А) таь как по формуле 1) стр.
130 ел» Р (А) е»' ~(~) ~~и> = г(л) 1 Мп ах 3) — в!пах =, если хо( — а')~ О. Р(Р') Р( — ас) ' и!и ах Действительно, является решением уравнения Г(ра)у= =а!пах. так как по формуле 2) стр. 130 а!и ах ! Р(ра) „,, ==- „я) то( — ат)а!и ахи = шпах, 1 сох ах 4) — совах = ~(ЕИ) Р( — а') ' , если !о( — а!)+ О, так как по формуле 3) стр.
130 Действительно, е „. о (х) является решением уравнения хх тт(Р) у=с"о(х), так как по формуле 4) стр, 130 ~(р) Хх ( .) Мхо (р + х) ( ) Ейх ! лх Р(Е>+ А! ! ! ! 6) — [у!(Х)+ус(х))= ~(„) у!(х)+ (р ся(х). Это равенство является следствием принципа суперпозицни (стр. 114). 1 1 1 " ('(Р) ЫЮ~(")= ~,(Р) ~ (Р)У"' т. е. 1 Г 1 у= р (р) ~~ (р) у(")1 (2.8! ) является решением уравнения ~с(р) ~я(р) у =у(х). (2.82) Действительно, подставляя (2,81) в (2.82), получим )с (р) ~с(р) — ~ — Е (х)~= Ря(р) — ) (х) =у (х).
1 Г ! т ! 'я ! а,(ст) ~ л,(р) (= я н,(тт! Р(р ) —.— соа ах д ( — а') 5) — е хо и (х) = еах Г (В) Г( — ае) совах==соя ах. 1 1 + о (х). УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО ]ГЛ. 2 Приведем несколько примеров нахождения частных решений линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами операторным методом: «у" +4у=е", или (Вз+4) у =а".
откуда ех В'-1-4 5 ' 2) у'У+ у = 2 сов Зх, или (В'+ «у = 2 соз Зх, 1 2созЗх ! Вз+ 1 ( — 9)'+! 41 3) У"-1-9У =-5ып х, (Вз+9) У = 551п х, 1 55]их 5 у= 55]п х= = — 5]п х. 4) уэ — 4у -(-4у=хех ( — 2) у=хе», 1 2х 2 2х 1 2 2» у= е-х =е — х =е ( — 2)' Вз 12 5) у — Зу" +Зу — у= 5", ( — «у = е', 1 У= (В «з х(Л)=О, поэтому вместо второй формулы применяелз формулу 5) (стр. 132 †1). рассматривая ех как произведение ех 1: 1 1 ххз у (В «зе '! з Вз]=х б) у" — у = 5]п х, (2,83) (В' — «у = ]и 1 у=, ! мпх. Так как оператор содержит нечетные степени В, то воспользоваться формулой 4) нельзя.
Поэтому вместо исходного уравнения рассмотрим уравнение (В' — « у = е".. ила (В «у сох х'+15]пх. (2.84) Мнимая часть решения уравнения (2.84) будет решением исходного уравнения (см. стр. 115): .1, езх — хз» ( — 1+ 1) (соэ х+1 5]п х) у= — е» Вз ! ]з ! ] 2 1 з = — — (соэ х+ 5]п х)+ — (соз х — 51п х) 2 2 Сез Х вЂ” 5]П Х Мнимая часть решения уравнения (2.83) являезся решением уравнения (2.83).
7) у" + у = соз х, (Вз+ «у = соз х, у = соз х. В'+ 1 Формула 3) стр. 1ЗЗ неприменима, так как Р( — а') =О, поэтому опять вместо заданного уравнения рассматриваем уравнение у" + у = Езх ИЛИ у" + у = СОЗ Х+15]П Х 4 61 НЯОДНОРОДНЫВ УРЛВНПНИИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЗФ. 13$ н берем действительную часть его решения "+1)у-"" у-В+1™-( ' „+, ""- ! е!» е~' ! егех х(соз х+Гз!их) = — — = —.
— ° 1 Ег — ! 2! 21 Е) 2! 2! Взяв действительную часть найденного решения вспомогательного уразнехз!и х ния , получим решение исходного уравнения В) у'У у= ", (В"-1)у= ", у=,1, е"= 1 ! 1 ее 1 1 хе" Е! — 1 (В+!)(ЕЗ'+1)  — 1 4 4 В е" = — — = — е-' — 1 = —. 1 Выясним еще, как действует оператор — на многочлен г' (Ег) Рр(х) = Аехе+ Агхе '+ ... + Ар. формально разделим 1 на многочлен Р(0) = а„+ а„,Е)+ ... + аеЕ)', а„Ф О, расположенный по возрастающим степеням Е), по правилу деления обычных (не операторных) многочленоз.
Процесс деления прекратим тогда, когда в частном получим операторный многочлен степени р: Ь +ьЕ)+ ... +Ь Ое=д„(о). При атом в остатке окажется многочлен содержащий оператор Е) в степенях не ниже р+ 1. В силу зависимости между делимым, делителем.
частным и остатком получим Р (В) О,(Е1)+ )Е(Е)) = — !. (2.85) Это тождество справедливо для обычных (не операторных) много- членов, но так как правила сложения и умножения операторных многочленов не отличаются от правил сложения и умножения обычных многочленов, то тождество справедливо и для операторных многоч тенов. Лействуя правой и левой частями тождества (2.85) на многочлен Асхр+ А,хр '-+ ... -+ А, получим [Р(Е)) Я (О)+ )2(Е))](Аехр-!- А!хе '+ ... + А,)= — = Аехр+ А1хр 1+ ... + А или, принимая во внимание, что Й(Е!)(Азхе+А,хе-г+ ... + А )жО, 136 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫ1ПГ ПЕРВОГО !гл.
я так как й(/Э) содержит О в степенях не ниже р+1, будем иметь Р (О) [Я (О) (А хл+ А,хР 1+ ... + А,)) = =АсхР+ А,хл '+ ... + Ар, т. е. А) (О) (А,хР+ А,хР-'+... -+ А ) является решением уравнения Р(О)у =Аахя+ А1хР-1.+ ... + А, Итак, 1 Ь (О) ('4охл+ А,хл-'+ ... + АР) = =1~р(О)(Аехл+А,хл-1+ ...
+ 4 ) Например: 9) у" + у= хя — х+2, (О'+!) у = х' — х-1-2 у =, (х' — х-)-ху О'+! Разлелив 1 на ! + О', получим 1;!т(О) = 1 — О', Следовательно, у = (1 — О') (х' — х+ 2) = х' — х. 10) у + 2у'+ 2у = к в х, (ОЯ+ 2О+2) у = х~я ", ~а х я х т «(! О~) Я х( т 2) 11) у"-)-у=хсояк, (О'+1)у=хсоях. Перейдем к уравнению (О1+!) у = кеы и поток возьмем действительную часть решения ,1х а1х ю О'+1 О(О+21) О !2! ! 4 ) О!21' 4) ' !4! хь к Взяв действительную часть — з!и х+ — соя х, получим искомое решение. 4 4 3 а м е ч а н и е. Послелний пример показывает, как надо лейство! вать оператором „( на многочлен, если а,=О. Прелставив Ь'(О) в виде О'Ф(О), тле своболный член многочлена Ф(О) у1ке не равен 1 нулю, действуем на многочлен вначале оператором, а затем 1 0!(О) ' оператором — .
О' ' Неоднородные у ра авенид Эйне р а аех"У!"1+а,х" 'У1" '1+ ... +а„У=7(х) (2.88) или а (ах+Ь)" у1" + а,(ах+Ь)" 'у!" '!+ ... +а„у=7(х) (2.87) можно интегрировать путем решения соответствующих олноролных уравнений (см. стр. 110) и подбора одного частного решения неолно- э и интеггиговлние уРАВнениЙ пРи помощи РядОВ 187 родного уравнения, или применяя метод вариации постоянных.
Однако обычно проще вначале проинтегрировать однородное уравнение, а для подбора частного решения преобразовать уравнение Эйлера (2.86) заменой переменных х = + е' (для уравнения (2.87) ах+Ь= Ь е') к уравнени!о с постоянными коэффициентами. для которых хорошо разработаны методы нахождения частных решений. Пример 11. х'у" (х) — ху' (х) + у (х) = х1п' х. (2.88) Ищем решение соответствующего однородного уравнения в виде у=х" Дк — 2н+1 = 0; (2.89) й!,, =1, следовательно, общее решение однородного уравнения имеет внд у =(е, -(-с,1пх)х.
Заменой переменных х=е' преобразуем уравнение (2.88) в уравнение с постоянными козффицве!нами у(г) — 2у(!)+у =! е (левая часть этого уравнения сразу может быть написана по характеристическому уравнению (2.89) ). Операторным методом легко находим частное решение преобразованного уравнения 1 !з ! 1 ! ер х1пзх (Π— 1)к ЕР 20 ' У 20 Следовательно, общее решение уравнения (2.88) имеет вид 1п' х! т = '(е!+ск1пх+ ) х. ф 7. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов Задача иктегрирования линейных олнородных уравнений и-го порядка р (х)у1"!+р (х)у!" '!+ ... +р„(х)у=О. (2.90) сводится к подбору и нли хотя бы и — ! линейно независимых частных решений.
Однако частные решения легко подбираются лишь в исключительных случаях. В более сложных случаях частные решения ищут в виде суммы некоторого ряда ~'.~ а!ф!(х), особенно часто !=1 в виде суМмы степенного илн обобгценного степенного ряда. Условия, прн которых существуют решения в виде суммы степенного или обобщенного степенного ряда, обычно устанавливаются методами теории функций комплексного переменного, знакомства с которыми у читателя мы не предполагаем, поэтому основные теоремы этого параграфа даны без доказательства в применении к наиболее часто встречающимся в приложениях уравнениям второго порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
