Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Теорема 2.У (об аналитичности решения). Если Ра (х) р! (х), рз (х) являются аналитичеснижи фуннйияжи х 138 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО !Гл. а в окрестности точки х = хз и рз(хь) чь О, то решения уравнения р >(х) у" + р, (х) у'+ рг (х) у = О (2.91) также являются инилитическими функциями в некоторой окрестности той же точки и, следовательно, решения уравнения (2.91) можно искать в виде у = из+ и, (х — хз) + из (х — хе) + ... +. и„(х — хь)" + ... Теорема 2.Л) (о разложимости реигения в обобщенный степенной ряд).
Если уравнение (2.91) удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, но х=х„является нулем конечного порядки е функции рз(х), нулем порядки е — 1 или выше функции р,(х) (если в > 1) и нулем порядки не ниже з — 2 ковффициенти рг(х) (если е.Р 2), то существует по крийней мере одно нетривиальное решение уриенения (2.91) в виде сумма обобщенного степенного ряди у=аз(х — х )" + и,(х — х )"+ + ... + В„(х — х,) +"+..., (2.92) где й — некоторое действительное число, (!второе может быть кик целым, тик и дробным, кик положительным, тик и отрицительным.
Второе пикейно независимое с (2.92) решение, как правило, имеет тоже вид суммы обобщенного степенного ряда, но иногда может еще. содержать произведение обобщенного степенного ряда на 1п(х — хз). Впрочем, в конкретных примерах можно обойтись без формулированных выше двух теорем, тем более, что Вти теоремы в указанной формулировке все равно не уетанавливают области сходимости рассматриваемых рядов.
Чаще всего в конкретных задачах подбирают степенной или обобщенный степенной ряд, формально удовлетворяющий дифференциальному уравнению, т. е. при подстановке обращающий рассматриваемое уравнение (2.90) порядка и в тождество, если предполагать сходимость ряда и возможность почленного лифференцирования и раз. Получив формально рещение в виде ряда, исследуют его на сходимость и на возможность почленного дифференцирования и раз.
В той области, где ряд сходится и допускает и-кратное почленное дифференцирование, он не только формально удовлетворяет уравнению, но его сумма действительно является искомым решением. Пример 1. (2.93) у" — ну=О Ищем рещение в виде степенного рада у ~ ичх". вез интвгрировднир крапивниц при помощи рядов 139 Опираясь на теорему 2.9 илн формально дифференцируя этот ряд почленно два раза н подставляя в уравнение (2.93) получим ~Ч~„"аел(л — 1)хе-в х ~3~ алхл О в=т е=о Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой ао, частях тождества, получим: ат = О, 3 2ав — ао = О, откуда а, = — ! 2 3' а, а, 4 ° За — а, = О, откуда а = — ; 5 ° 4ав — аг †††О, откуда ав =- 3 4' 4 5 л (л — 1) а„— ав, = О, откУда ае = " в, ... Следовательно, (л — ) л' ав 2 ° 3 5 6 ..
(Зл — !) Зл ' а) 3 ° 4 6.7... Зл(За+1) а, и а, остаются произвольными. Итак, .о х' хор 2 3 2 3.5 6 ''' 2 3 5 6...(Зл — !)Зл+ '''!+ х' х' .ввт| +3 4+3 4 6 7 ''' + 3.4 6 7 ... Зл(Зл+ !) + '''~' Радиус сходимости етого степенного ряда равен бесконечности. Следовательно, сумма ряда (2.94) при любых значениях х является решением рассматриваемого уравнения.
!!Ример 2, хту" + ху'+ (хт — л') у = О. Это уравнение называется уравиением Бессели порядка л, хотя впервые оно встречается в работах Л. Эилера и Д. Бернулли. К уравнению Бесселя сводятся многие задачи математической физики, поэтому мы исследуем его несколько подробнее. По теореме 2.10 по крайней мере одно нетривиальное решение уравнении Бесселя может быть наидено в виде суммы обобщенного степенного ряда ,аер р=о Дифференцируя этот ряд два раза почленно и подставляя в уравнение (2.95) получим Х' ~Ч~ ар(а+ р) (а+р — 1) Хаэр + р-о +х ~~ ар(а+р) х"+Р '+(хэ — л ) ер', арх"+' О. р о р о <гл. я УРАВНЕНИЯ ПОРЯЛКА ВЫ!ПЕ ПЕРВОГО сравнивая козффициеопы при одинаковых степенях х в левой н правой ча- стях равенства, получаем ао [й' — и'] = О, а, [(й+!)о — и'] О, [(Л+ 2)о — и'! ао+ ао О, [(й+ 3)о — и'] ао -1- а, = О, [(<о+ р)о ио] ал+ ал о =. О.
йо — и«= О, откуда Л = ш и Для определенности будем пока считать й= и>О; тогда из вторшо уравнения а,[(и + 1)' — и'] = 0 получим: а, = 0 п, следовательно, все а.. . О, ао ао (п+2)' — и' 2'(и+1) ' ао ао ао (и+4)о — и' 2«(и+2)2 2'(и+1)(и+2)1 ° 2 ' ( — 1)Р ао 2тл р!(и + 1) <и -1- 2) ... (и + р) При Л вЂ” и совершенно анало~ично получаем ( 1) но а«а+о О, аол тр 2тлр<( — и+ 1)( — и+ 2) ...
( — и + р) При й и получаем решение ПР то+о у- Ъ,,„ ' 2т р!(и+ !)<и+2) ... (и+р) Этому решению можно припать более удобный вид, если выбрать произволь! нос постоянное а, „, + 1, где à — аахха-<йуккпия Эйлера; напомним, что Г(р) ~ в «х" о(х при р>0, Г(р+1) рГ(р). о Тогда - -"й)"" Х р! Г (и+ р+ 1) о (2.96) Так как коэффициент а, при низшей степени х иожно считать отличным от нуля, то первое уравнение сводится к й т\ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРИ ПОЫОЩИ РЯДОВ 141 Это решение обычно обозначается У„(х) и называется функцией Бесселя первого рода порядка и.
При Л вЂ” и, выбирая а, 1 , аналогично получаем гулун- 2 "Г ( — л+1! кцию Бесселя первого рода порядка — л: (2) У „(х) Л Е р(Г( — и+ р+1) (2.97) и=с Ряды (2.96) и (2.97) сходятся при любых значениях х (в (2.97) х чь О) и допускают двукратное почленное дифференцирование. следовательно У„(х) У п(х) являются решениями уравнения Бесселя (2.95). При л, не равном целому числу решения У„(х) и У „(х), очевидно, линейно независимы, тзк как их разложения в ряды начинаются с различных степеней х и, следовательно, линейная комбинация а,У„ (х) +а,У ,(х) может тождественно равняться нулю лишь прн а, = а, = О. Если лке л равно целому числу, то, так как для целых отрицательных значений р и для р = 0 функция Г (р) обращается в бесконечность, разложения в ряды функций У„(х) и У ,(х) начнутся с одинаковых степеней х и, как нетрудно проверить, функции У„(х) и У „(х) будут находиться в следующей линейной зависимости: у, (х) ( — !)и ув (х).
У„(х) соз пя — У, (х) „ 1'„(х) з(п пя затем, переходя к пределу при л, стремящемся к целому числу, получают линейно независимое от У,(х) частное решение уравнения Бесселя 1'„(х), определенное уже и для целых значений л. Итак, общее решение уравнения Бесселя при л, не равном целому числу, имеет вид у слУи(х)+сгУ „(х), а при а, равном целому числу, у с,у„(х) + ступ (х), где с, и с,— произвольные постоянные.
Функции Бесселя первого и второго рода изучены весьма детально е, в частности, составлены подробные таблицы их значений. Позтому, если какая-нибудь задача сведена к функциям Бесселя, то ее можно считать Следовательно, при целом и вместо У „(х) надо искать другое решение, которое было бы линейно независимо от У„(х). Такое решение можно получить различными способами, например, можно, зная одно частное решение У, (х). понизить порядок уравнения (2.95) подстановкой, указанной на стр. 101, или сразу искать решение в виде сумллы обобщенного степенного ряда и произведения обобщенного степенного ряда на 1п х. Получаемое любым из зтик способов линейно независимое от У„(х) решение при вполне определенном выборе произвольного постоянного множителя называется гулункЧией Бесселя второго рода и обозначается 1'„(х). Чаще всего, однако, уг(х) определяют так; считая пока п не равным целому, числу рассматривают решение Уп(х) уравнения Бесселя, являющееся линейной комбинацией решений У„(х) и У „(х): !Гн.
т решенной в такой же мере, в какой мы считаем решенной задачу, в которой ответ дан, например, в тригонометрических функциях. Часто в приложениях приходится рассматривать уравнение хзу + ху' + (штх' — и') у О. (2.98) Это уравнение сводится к уравнению Бесселя заменой переменной х, тх. Действительно, при такой замене переменных лу 5(х~ с(у пту нч)' — = — — = — ш. те Их сх1 пх пх1 ех пх1 2 з и уравнение (2.98) переходит в уравнение Бесселя: х1 —,+х, +(х1 — п)У=О з 5('У пу пх1 8х, Следовательно, общее решение урзвнения (2.98) при и, не равном целому числу, имеет вид у = с,/„(тх)+ с,у .„(тх), а при и целом у с,У„(тх) + с,)'„(тх).
Пример 3. 9 т х'у" + ху'+ (4х' — —,~ у О. 28) Общее решение уравнения имеет вид У = с,уз (2х) + сзу з (2х), 5 5 П р и и ер б. Проинтегрировать уравнение х'у + ху' + ~4хз — — ~ у = О 9! при условии, что решение должно быть непрерывно в точке х О и у(О, 3) 2.
Общее решение имеет вид у= с11, (2х)+сзй (2х). з з Функция 1 ~ (2х) разрывна при х О, так как ряд (2.97) начинается з с отрицательных степеней х. Следовательно, решение у непрерывно в точке х О лищь при сз О.' у с,./, (2х). 3 Пример 4. Общее решение УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО х'у" + ху' + (Зх' — 4) у = О. у = с /з(х р3)+ сту,(хргЗ). $ т1 интегРиРОВАние уРАВнений пРи пОмОщи РядОВ 143 Удовлетворяя второму условию у(0, 3) = 2, получим 2 з'з (0,6) з В таблицах Бесселевых функций наладим 7, (0,6) = 0,700, следовательно, з с,жж857 н у Рз 2,857/1 (2х). В приложениях часто требуется найти периодические решения некоторого дифференциального уравнения.
В этом случае обычно целесообразно искать решение в виде суммы некоторого рядз Фурье: х(() = — + 7 ~А„соз — Г+ В„з(п — "1). лп и=! Заметим, что если уравнение х1ш=г (7, х, х, ..., хы И) (2.99) имеет периодическое решение хз(т) периода Т, то правая часть уравнения (2.99) вдоль рассматриваемой интегральной кривой является периодической функцией периода Т по первому аргументу. Действительно, подставляя в уравнение (2.99) периодическое решение х = =хо(7), получаем тождество х1,>(7)=7-.(7, х,((), х,(7), ..., х~,-»(7)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
