Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 18
Текст из файла (страница 18)
В этой сумме только последний определитель при ( = и, совпадающий с определителем (2.32у, может быть отличен от нуля. Остальные определители равны нулю, так как их (-я и 1+-1-я строки совпадают. % з) линвиныв диееагенцилльныв ягавнвния 105 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО !ГЛ. 2 и»' Следовательно, р,(х)= — —. Отсюда, умножая на дх н ннте'ч» грируя, получим (п(((7~= — ~'р,(х)дх+)пс, Ф=се ! Рыю ' или — ) Рых>Е» у(» се х, (2.33) При х=ха получим с=(р'(х„), откуда » - ! р,(»1лх (у» (х) = (у'(хо) е (2.34) формулы (2.33) или (2.34), впервые полученные М. В. Остроградским и независимо от него Лнувиллем, называются формулами Остроградского — Лиузилля. формула Остроградского — Лиувилля (2.34) может быть использована для интегрирования линейного однородного уравнения второго порядка у" + р, (х) у'+ р, (х) у = О, (2.35) если известно одно нетривиальное решение этого уравнения у,.
Согласно формуле Остроградского — Лиувнлля (2.34) любое решение уравнения (2.35) должно быть также решением уравнения ! У1 У ~ — !'РнхГЕ» =с,е у1 у или — ( р, ~»~л» у,у' — уу,' = с,е Для интегрирования этого линейного уравнения первого порядка проще всего воспользоваться методом интегрирующего множителя. ! умножая на р = — .
получим 2 ' откуда - Гр <х'р» — дх+ с,. у усе l у', или — (р, (х> ех (е» У = сгу, + с1у,р! 2 дх. У1 В <! одиоиодиыи килвиииия с постоянными коэееициинтлми 1Оу $4. Линейные однородные уравнения с постоянвымн коэффицневтями н уравнения Эйлера 1. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Если в линейном олнородном уравнении а,у1'1+ а,у1" и +... + а„у=О (2.36) все коэффициенты а, постоянны, то его частные решения могут быть найдены в виде у= е»", где а — постоянная.
действительно, подставляя в уравнение (2.36) у = с»к и у1»1 =Лале»к (р= 1,2, ..., а), будем иметь: аейке»к+ а,йк 'е»'+... + аке» = О. Сокрзщая на необращающийся в нуль множитель е»'. получим так называемое харакаеристичсское уравнение аей" + а,ак '+ ... + а„,lг+ а„=О. Это уравнение п-й степени определяет те значения а, при которых у = е»" является решением исходного линейного олнородного уравнения с постоянными коэффициентами (2.36). Если все корни ап )см..., )»„ характеристического уравнения различны, то, тем самым, найлено а линейно независимых решений е ', с '", ..., е к уравнения (2.36) Мч жк » к (см.
стр. 96, пример 2). Следовательно. у = с,е"~'+ сзе»»" +... + с„е~кк, где с, — произвольные постоянные, является общим решением исходного уравнения (2.36). Этот метал интегрирования линейных уравнений с постоянными коэффициентами впервые был применен Эйлером. Пример 1. у' — Зу' + 2у О. Характеристическое уравнение имеет внл Е» — ЗА + 2 О, его корни Е, = 1, Е, 2.
Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет внд у = с,е'+ с»еьк. Пример 2. у' — у -а Характеристическое уравнение Ф» — Е = О имеет корни », = О, Е, = 1, а, = — 1 Общее решение рассматриваемого уравнения у = с, + с,к" + с»е Так как коэффициенты уравнения (2.36) прелполагаются действительными, то комплексные корни характеристического уравнения могут появляться лишь сопряженными парами.
Комплексные решения »шкап' и Е1Я-Ш1к, соответствующие паре комплексных сопряженных корней *1 а-(-(У и Ламма — 61, УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО |ГЛ. в 1ОЗ могут быть заменены двумя действительными решениями: действительной и мнимой частями |см. стр. 95) одного из решений Е(в'вз(>» = Е»»(СОЗ ВХ+ | В!П ВХ), е(~-щ» — ви» |сов |(х (а|о Вх) или Таким образом, паре комплексных сопряженных корней (в, в= а + й( соответствуют два действительных решения: е"»совбх и е "з!пбх. При мер 3.
у" + 4у' + бу = О. Характеристическое уравнение имеес внд ав+4а+О=0, его корни (г, в= — 2ша Общее решение у = е '" (с, сов х+ с, в|п х). Пример 4. у"+ау=О. ХаовктеРистическое УРавнение ав+ав =О имеет коРни Ль в = ц. а(. Общее решение у = с, сов ах+ с, в|п ах. Если среди корней характеристического уравнения имеются кратные, то число различных решений вида ев» меньше и и.
следовательно, недостающие линейно независимые решения надо искать в ином виде. Докажем, что если характеристическое уравнение имеет корень а( кратности ап то решениями исходного уравнения будет не только в» в» а.-1 в г е (", но и хе (, хве (, ..., х ' е г. Предположим вначале, что характеристическое уравнение имеет корень а(=О кратности а,. Следовательно, левая часть характеристического уравнения (2.3У) имеет в этом случае общий множитель а а, т. е. коэффициенты а„= а„, = ... = а„„„, = О, и характеои! стическое уравнение имеет вид а~А" + а,ав '+ ...
+ а» в й"(=О. Соответствующее линейное однородное дифференциальное урав- нение а у("| + а,у(" '| + ... + а„ „ у( д = О, очевидно, имеет частные решения 1, х, хв, ..., х'(, так как уравнение не содержит производных порядка ниже чем ан Итак, кратному корню (в(=О кратности а, соответствует и, линейно не- зависимых |см. стр. 96, пример 1) решений !,х,х',...,х( $ К1 ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 109 Если характеристическое уравнение имеет корень 7з;ФО кратности а, то замена переменных у=его (2.38) сводит задачу к уже рассмотренному случаю равного нулю кратного корня.
Действительно, линейное однородное преобразование неизвестной функции (2.38), как указано на стр. 94, сохраняет линейность и однородность уравнения. Постоянство коэффициентов при замене переменных (2.38) тоже сохранится, так как и после подстановки в уравнение (2.38) и сокрашения на е ' при остаются лишь постоянные коэффициенты. Итак, преобразованное уравнение будет линейным одйородным уравнением и-го порядка с постояннымп коэффициентами Лое~л~ + Га1гы Н+ . ° .
+ Сале = О (2.39) причем корни характеристического уравнения аз7зл+ а 7ка-1+ + а 0 (2.37) отличаются от корней характеристического уравнения для преобразованного уравнения (2.39) бзр" + б, р"-'+ ... + б„= О (2.40) на слагаемое (з,, так как между решениями у = екк уравнения (2.36) Ак и а=еек уравнения (2.39) должна быть зависимость у=ее ~ или кк рк ьк е = е е ', откуда 7з = р+ мр Следовательно, корню л = 7е, уравнения (2.37) соответствует корень р, =0 уравнения (2АО). Как нетрудно проверить, при этом соответствии сохранится и кратность корня, т.
е. корень р, =0 будет иметь кратность а,. Действительно, кратный корень л, уравнения (2.37) можно рассматривать как результат совпадения различных корней этого уравнения при изменении его коэффициентов, но тогда в силу зависимости к =р+д, совпадут с р=О и а, корней уравнения (2.40). Корню р = 0 кратности а, соответствуют частные решения а = 1, а.-~ Фк е=х...,, а=х ' .
Следовательно. в силу зависимости у=ее ' корню 7г, кратности а, уравнения (2.37) будут соответствовать а; частных решений Ак Кк а — ! Аак у=е ~, у=хе ~, ..., у=х' е г ° (2.41) Остается показать, что решения е г, хе г, ..., х'~ 'е ~" (1= 1 ° 2 ° т) (2,42) (гл. т УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВ<>ГО ПО где т — число различных корней а, характеристического уравнения, линейно независимы, но зто уже было доказано в примере 3 стр.
96, Следовательно. общее решение уравнения (2.36) имеет вид й МХ у = ~(сс, + с!!х+ ст!Хт — (- ... -(- сч, ! сх ' ) е ! ! —.. 1 тле с„ — произвольные постоянные. Пример 5 у — Зу" +Зу — у=о Характеристическое уравнение И вЂ” Зас + ЗЛ вЂ” 1 = О ялн (Л вЂ” 1)' = О имеет трехкратный корень а, к „= 1. Следовательно. общее решение имеет вил г = (с~+сгх+ ссх )сх Если характеристическое уравнение имеет кратный комплексный корень р+д( кратности и, то, соответствующие ему решения е(Р+с'1", хе(Р "снх, хте(я+СО'; ., х' 'е(" с'1 можно преобразовать по формулам Вилера ещ+с9'= е"'(сов дх -(-(юпдх) и, отделяя действительную и мнимую части, получить 2п действительных решений: елх сов дх, хегхсоздх, х'ел'создх, ..., х' 'ег" создх.
(2.43) ел в!Вдх, хел" ейпдх, х'ег'Шпдх...., х" 'СР" гйпдх Взяв действительные н мнимые части решений, соответствующих сопряженному корню р — д( характеристического уравнения, мы не получим новых линейно независимых решений. Таким образом, паре комплексных сопряженных корней р гд( крагностн а соот. ветствуют 2а линейно независимых аействительных решении ~2,43) Пример б. у'~+2у +у=о.
характеристическое уравнение а" + 2дс + 1 = О илн (л' + 1)' = О имеет двукратные корни х 1. Следовательно общее Решение имеет вил У (с~ + ссх) соз х+ (сг+ с х) з(ах 2. Уравнения Эйлера Уравнения вида аах"у("'+а,х' 'у(" М+ ... +а„,ху'+а„у=О, (2.44) где все а, — постоянные. называются уравненаялси Зйлера. Уравнение Эйлера заменой независимого переменного х=е'е) преобра- ') ((лн с ~ — а', если х < ш в дальнейшем для определенности будем считать х ) О. 4 ч) Одноводные кялвнення с пОстОянными коэФФнпнентлмн 1И зуется е линейное однородное уравнение а постоянными коэффипиентами.
Пействительно, как указано на стр, 93, линейность и однородность уравнения при преобразовании независимого переменного сохраняются, а коэффипиенть становятся постоянными. потому что Ку иу -с — а-с Лх ау — = е " (Р, — + б — -~- ... +- б, — ~, [2. 45) Лау ~ иу сну . «зу т лха ( ~й лр лгь ~ -1 Лау и х" — =0 л-а ь а (2. 44') с постоянными коэффипиентами произведения — =(), — + ба — '+ ... +Є— ' илу и Гъу да лха и ' лн и(а линейно (с постоянными коэффициентами~ выражаются через производные функпин у по новой независимой переменной г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
