Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 15
Текст из файла (страница 15)
В этом случае легко находим так называемый первый иншезрал, т. е. дифференциальное уравнение (и — !)-го порядка, солержащее одну произвольную постоянную, эквивалентное данному уравнению и-го порялка, и тем самым пони>каем порядок уравнения на единицу. Действительно, уравнение (2.4) можно переписать в виде — Ф(х, у, у', ..., у>л '>) =О. лх (2,4,) Если у(х) является решением уравнения (2.4,), то производная функции Ф(х, у, у',..., у'"-'>) тождественно равна нулю. Следовательно, функция Ф(х, у.
у', ..., у<"-'>) равна постоянной, и мы получаем первый интеграл Ф(х. у, у', ..., уш-'>)=с. Пример 5, уу" + (у') О. УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО 1Гл. э Это уравнение можно записать в виде л'(уу') =О, откуда уу' с, влн у лу = с, лх. Следовательно, общим интегралом является у' с,х+ с, Иногда левая часть уравнения Р(х, у, у', ..., уы1)=0 становится производной дифференциального выражения (и — 1)-го порядка Ф(х, у, у', ..., уш-") лишь после умножения на некоторый множитель ц(х, у, у', ..., у'э-'1). Пря и ер 6. Умножая на множитель Н вЂ”, получим О нли — ( — 1 О, 1 уу (у) /уц уэ уэ лх (,у) у' откУда — = спили — 1п1У1 сь Следовательно,1п1У~ эх+~псе с, > О, у ' л'х откуда у = с,а"х, с, ф О. как и в примере 3 этого параграфа.
Замечание. При умножении на множитель 1А(х, у. у', ..., у"-н могут быть введены лишние решения, обрашаюшие этот множитель в нуль. Если множитель р разрывен, то возможна и потеря реше- 1 ннй. В примере6 при умножении на )т= —, было потеряно решеуэ ние у=0, которое, однако, можно включить в полученное решение у=сте ', если считать, что сз может принимать аначенне О. 4.
Уравнение Г'(х, у, у', ..., у1э)=0 однородно относительно аргументов у, у'...„ уы'. ПОрядОК ОдНОрОдНОГО ОтНОСИтЕЛЬНО у, у',, .. уго уразпсиня р' (х у у' уы1) — 0 (2.5) т. е. уравнения, для которого справедливо тождество Г'(~, лу, йу', ..., ху("') =лРР'(~, у, у', ..., уОН), может быть понижен на единицу подстановкой у = е, где ( э лх х' — новая неизвестная функция.
Действительно, дифференцируя, получаем у"=е)'~ (г'+ г'), у"'=е( ~(ха+ Зхг'+ г"), урн=а('л"Ф(х, г', г г1А-11) (убедиться в справедливости этого равенства можно методом индукции). $ з) пяоствпшив слепли понижвния повадка 91 Подставляя в (2.5) и замечая, что. в силу одпородностп, множитель ее< можно вынести за знак функции Р, получим ее< '~~у'(х, г, с', ..., л<' н) = О или, сокращая на е °, будем иметь е (хах /(х, л, л'..., з'" и)=О. Прив<ер 7 уу" — (у')' = бху'.
(х ех (<зх' с,<к Полагая у = е", получим с' = бх. е = Зхв+ сп у = е" ' ' илн с е(х'хпх< Особенно часто в приложениях встречаются дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижения порядка. 1) Г(х, уе) =О. (2.6) В этом уравнении можно понизить порядок подстановкой у' = р и свести его к уравнению Г(х, — < =О, рассв<отреш<ому на стр. 69. «Р '< «х< Можно разрешить уравнение (2.6) относительно второго аргумента у" = / (х) и два раза проинтегрировать или ввести параметр и заменить уравнение (2.6) его параметрическим представлением .„<ву —., = <р (г), х = ф(О, откуда '=/ )') с(у — у с(х, у — Г [ ~ <р (г) ф'(с) л<г + с<1 ф' (г) <<с+ см 2) Р(у', уе)=О.
(2.7) Полагая у' = р, преобразуем (2.7) к уравнению (1.61), стр. 70, или представим уравнение (2.7) в параметрическом виде: у,'= р(г), у„"х=ф((). откуда чг(бп< 1' т'(с)лс с(х= — „=, х=/ ( +с, после чего у определяется квадратурой: ау=у'(х=р(1) — '(Р, у=/ ' " (+с,. <р' (с) ч< (с) <р' (О р(с) ' = ,/ р(с) 3) Р(у, уе)=О. Можно понизить порядок, полагая 4Р <ту лР— =Р— = — =Р— с<х ' ех' <гу <(х <гу (2.8) повидал выши 1гл, я Если уравнение (2.8) легко разрешимо относительно второго аргумента у" = у (у), то, умножая зто уравнение почленно на 2у' с(х = 2с(у, получим с( (у') = 2 г' (у) с(у, откуда — „У =+$/ 2 ~ г(у)с(у+со + ' ~ =с(х.
2 1 гу)СУ+с~ х+с,=": ( 1/ 2 ~ г(у)ау+с, Можно уравнение (2.8) заменить его параметрическим предстзвленнем у=<р(Г), у" =ф((); тогда из с(у =у сХх и гКу=у нх получим у'су'=у" Ну или — ((у')с = р(г) р'(р) д(, 2 (у')' = 2 ') гр(() гр'(() г((+со у' = + ~I 2 ~ ~р (Г) р' (() с(Г + со после чего из с(у=у'с(х наяодим с(х, а затем и х: ср' (г) с'г У х ~/ 2 ~ Ф (т) т' (г) сг + х= ' / ™М — -)-са. (2.9) 1/ 2 ~ 4 (г) р'(г) ггс + с, Уравнение (2.9) и у=гр(г) и определяют в параметрическом зиле семейство интегральных кривых. Пример И.
у"=2уь, у(О)-1. у (О)=1. Умножая обе части уравнения на 2у'ах, получим с(у')' 4у'лу, откуда (у')'= у'+ с, Принимая во внимание начальные условия находим. что лу 1 с = О и у' = у" Следовательно, — ссх, — — = х+ сь с, = — 1, 1 у' ! у 1 — х' а з! ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ф 3. Линейные дифференциальные уравнения н-го порядка Линейным дифференциальным уравнением н-го порядка называется уравнение, линейное относйтельно неизвестной функции и ее производных и, следовательно, имеющее вид аэ(х) ум+ а,(х) у'"-'!+... + а„,(х) у'+ а„(х) у =ф(х). (2.10) Если правая часть й!(х)= — О, то уравнение называется линейным однородным, так как оно однородно относительно неизвестной функции у и ее производных.
Если коэффициент ае(х) не равен нулю ни в одной точке некоторого отрезка а ( х ( Ь, то, разделив на аэ(х), приведем линейное однородное уравнение при х, изменяющемся на этом отрезке, к виду у'"'+ р, (х) у!О '1+ ° + ри-! (х) у + рь (х) у = О (2.11) илн у "~= — ) р,(х)угв (2.11,) Если коэффициенты р,(х! непрерывны на отрезке а (х (Ь, то в окрестности любых начальных значений У(хэ)=УО УО(хэ)=УО ". У'"-и(хь)=У!-и.
где хз — любая точка интервала а < х <Ь, удовлетворяются усло- вия теоремы существования и единственности. Действительно, правая часть уравнения (2.11,) непрерывна по совокупности всех аргументов и существуют ограниченные по модулю частные производные —,„, = — р„„(х) (!г = О, 1, ..., (п — 1)), ОУ ду" так как функции р„ь(х) непрерывны на отрезке а (х (Ь и, следовательно, ограничены по модулю Заметим.
что линейность и однородность уравнения сохраняются при любом преобразовании независимого переменного х = у (1), где ф(1) — произвольная и раз дифференцируемая функция, производная которой !р'(г) Ф О на рассматриваемом отрезке изменения г. Действительно, ау д» ! дх иг ~р'(г) ' дьу ~'у 1 иу В' (Г! дань аи (в (г))ь аг (, О)1э рьу Производная любого порядка — является линейной однородной дхь ау иьу дау функцией производных —,. —, ..., —, и следовательно. пря аг ать игь 94 твлвнгния пояядкл выше пьявого 1гл. г подстановке в уравнение (2.11) его линейность и однородность сохраняются. Линейность и однородность сохраняются также при линейном однородном преобразовании неиавестной функции у(х) = а(х) г (х). Лействительно, по формуле дифференцирования произведения у»'= а(Х) гыи+ йа'(Х) г1» "+, ал (Х) г1»-Ю +...
+ аып(Х) г, 21 т. е. производная у'»' является линейной однооодной функцией г, г', г", ..., г'»'. Следовательно, левая часть линейного однородного уравнения ав(х) УЫ'+ а, (х) у'" "+... + а„(х) у = О после замены переменных будет линейной однородной функцией г, г', ..., г!"'. Запишем линейное одноролное уравнение у но + р, (х) уьл - н + ... + р„(х) у = О кратко в виде ~(у]=О где с. (У] = У он + Р, (х) У Ы " + ... + р (х) у, Будем называть»'.
]У] линейным дифференциальным оператора.и. Линейный дифференциальный оператор обладает с 1еаующнми двумя основными свойствами: 1) Постоянный мпожипгель выноси»ноя за знак линеиного оператора: 1. ]су! == с1. (у! Действительно, (су)'"'+ р, (х) (су)" + ... ... +р„(х)(су)==с (уын+ р,(х)ушьн+ ... + р„(х) у]. 2) Линейный дифференциальный оператор, примененный к сумме двух функций у, и уг, равен сумме результатов применения того же оператора к каждой функции в отдельности: б !У + Уг! = б !У ]+ 1- (Уг! Действительно, (У|+ Уг) + Р1(~)(уг+ Уг) + ] Рл(х)(У|+уз): = ~У1»Ю+ р, (Х) 4л " + ° +, „(Х) У,~ + ~4' -]- р, (Х) УГ " + ° ' ' + рл (х) уг]' ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Следствием свойств 1) и 2) является Г '" и е | У с,у1[ — = ~ с,(.[у,[, 1=! 1=! гле с! — постоянные.
Опираясь на свойства линейного оператора Е, докажем ряд теорем о решениях линейного однородного уравнения. Теорема 2.2. Если у, является ре1иением линейного однородного уравнения Е[у1= О, то и суп где с — произвольная постоянная, является решением того же уравнения. Доказательство. Дано Е[у,[=0. Надо доказать, что Е [су,]= О. Пользуясь свойством 1) оператора 7., получим Е [су!] — = сй [у,] = О. Теорема 2.3. Сумма у, + у, решений у, и уг линейного однородного уравнения й]у]=.. 0 является решением того же уравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
