Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Отсюда следует, что преобразованное урзвнение будет линейным однородным уравнением с постоянными коэффипиентами ба — „+ В, — „, + ... (-Д,,— ч- Г~ьУ=о. (2.46) где все р, — постоянные. и при подстановке в уравнение (2 44) множители е "' сокращаются с множителями х =е"'. Справедливость равенства (2.45) легко может быть доказана методом индукпии.
Действительно, допустив, что равенство (2Л5) справедливо, и нроднфференпировав его еще раз по х, докажем справедЛь+ ~у ливость равенства :2.45> и лля и'хь Ли, У, гму Л У Ла лх" ' ' лр йн ига — ие ' ~Р, — +-ба — +,, +б,— в а. ~г~ "У и'У и У~ а'! лн игл иу и2У Лат!У 1 е — ы.~ьс (,, где все у, — постоянные. Итак. справедливость формулы (2 45) доказана, и следовательно. линейно входящие в уравнение Эйлера квлвиеиия повадка вьипе пегвого !гл. я 112 Получающееся при этом после сокращения на х уравнение леус (ус — 1)... ()с — и+ 1)+ а И (ус — 1)...
1/г — и + 2) -1- ... + аь О !2 47) для определения ус должно совпадать с характеристическим уравнением для преобразованного уравнения (2.46). Следовательно, корням Ус, уравнения (2.47) кратности а; соответствуют решения л,.г ! «Р Га ьу .. „1ч«1е преобразованного уравнения нли х ', х ~!п х, х '!п х, ..., х 1!и ' х ь. л. л, я ы а — 1 исходного уравнения, а комплексным сопряженнын корням р + д! уравнения 12.47) кратности а соответствуют решения е~~создт, 1ел сов 41, ..., Г" е'~созоу, е" гбпОГ, уе' з!псу!, ..., Г е' з!пс)1 преобразованного уравнения или хл сов 14!их), хл!и х сов!д!их), ..., хл!п'-' хсоз!у!их), хаз!п(д!их), х"!п ха!п(су!их), ..., хл!пч-' хз1п(д!их) исходного уравнения Эйлера. Пример 7.
х'у' + — ху' — у = ш 5 2 у = х"; а 1л — ц -)- — л — ! = о, б 2 общее решение прн х > О имеет 1 у = с,х + с,х-'. 1 откуда А, = — ,, вил Ищем решение в виде ас = — 2. Следовательно Пример 8. х'у" — ху'+у=о. у = х'! д 1Л вЂ” ц — Л + ! = О, общее решение при х > О будет у = (с, + с, ! п х) х. Ищем решение в виде аь, = 1. Следовательно, или 1Л вЂ” Цс О, Пример 9.
леул+ ху'+у =О. Вместо того чтобы преобразовывать уравнение Эйлерз в линейное уравнение с постоянными коэффициентами, частные решения которого имеют вид у = е", можно сразу искать решения исходи ного уравнения в виде у =х, так как Ф е =- хл. ы линенныв нводнояодныв твлвнения ищем решение в виде у=ха; а(л — 1)+а+ ! =О, откуда Следовательно, общее решение при х > О имеет вил у=с, сов!их+с,з!и!пх Уравнения вида аа(ах+Ь)" уои+а!(ах+Ь)" 'у!ч н+ .. а„,(ах+ Ь) у'+ алу =0 (2.48) также называются уравнениями Эйлера и сводятся к уравнению (2.44) зал!еной независимого переменного ах+Ь=хн Следовательно, частные решения этого уравнения можно искать в виде у = (ах+ Ь)ь или преобразовать уравнение (2.48) к линейному олнородному уравнению с постоянными ноэффициентами заменой переменных ах+Ь=е' (нлн ах+Ь= — е', если их+Ь (0).
9 5. Линейные неоднородные уравнения Линейное неоднородное уравнение имеет вид аа(Х) уГл!+а,(Х)у!"-и+ ... +-а„(Х)у=ср(Х) Если аа(х) Ф 0 на рассматриваемом интервале изменения х, то после деления на ае(х) получим уы!+ р,(х) у!"-'!+ ... + р„(х) у =~(х). (2.49) Это уравнение, сохраняя прежние обозначения, кратко запишем в в>ше Г.[у[= г(х). Если при а ( х (Ь в уравнении (2.49) все коэффициенты р, (х) и правая часть у(х) непрерывны, то оно имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям «!Ю(ха)=У'," (Ь=О 1 "" и — ') где УГю — любые действительные числа, а ха — любаЯ точка интеР- о вала а(х(Ь. Действительно, правая часть уравнения у!"'= — р,(х)у!"-'! — р,(х)у!"-'! — ...
— р„(х)у+у'(х) (2.49,) в окрестности рассматриваемых начальных значений удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности: 1) правая часть непрерывна по всем аргументам; 2) имеет ограниченные частные производные по всем уГа' (Гс = О, 1, ..., н — !), так как эти производные равны непрерывным по предположению на отрезке а ( х (Ь коэффициентам — рл а(х). УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО 114 !Гл. г Еше рав отметим, что на начальные значения у)ь никаких ограничений. Из двух основных свойств линейного операторз Е [су! = сь [у[, )-[у!+у,[=([у![+ С[уз), не налагается где с — постоянная, непосредственно следует: 1] Сумма у+ у, решения у неоднородного уравнения Е Ь! = ((х) 2.
49) и решения у, соответствующего однородного уривнения 1. [у! = О является региением неоднородного уравнения (2.49). )1оказательство. г [У+ У!! = ~ Ь[-+ ( Ь ! ио ( [у! — = /(х), а Е [у,) — = О, следовательно. ). Ь + у ! == т' (х). где а, — настоянные. Йок азательство. ( и и гь Е ~ ~ а,у,~ = — У, (. [а,у,!= — ~ а(.[у,!.
!2.50) но 0[у,! = — г!(х), следовательно, м г. ~„а!у! =,г! а,(! (х). 1 !=! ) !=1 Это свойство, называемое часто аринциаом супернозиции (или нринцииом наложения), очевидно, остается спраиеаливь!м и при т-ьоэ. если рад У, а,у, сходится и допускает и-кратное почлен!=! иое диффереипирование, так как в атом случае возможен предельный переход в тождествах (2.50). 3) Если уравнение Е [у[ = (г'(х)-1- Ф (х), где все коэффициенты р!(х) и функции У(х) и Р(х) действительны. имеет решение у =и(х) + ре(х), то действительная часть реше- 2) Если у, является решением уравнения Е [у) = Г', (х) и ((= 1, 2, ..., т), то у = ~г а,у, является решениел! уравнения 1=! О[у! = ~г~ а,("!(х), 1!5 линейные иеолнОРОлные яРгянгния ния и(х) и мниман часть о(х) являются соответственно решениями уравнений Е[у[=и(-), Е[у[=[ (х). )(оказательство.
Е[и+ го[= — О(х) + Ь'(х) или Е [и[ + )5 [о[ = Е)(х) + 1[г (х). Следовательно, отдельно равны действительные части Е[и[ = О (х) и мнимые части Е[о| =— Ь'(х). Теорема 2.8. Общее решение на отрезке а (х < Ь уравнения 5[у|=у(х) с непрерывными на том же отрезке коэффициентами р, (х) и правой частью ) (х) равно сумме общего и решения У, с,уь соотеетстеук!щего однородного уравнения и ~= ! какого нибудь частного решения у неоднородного уравнения.
Е(ок аз а тельство. Нала доказать. что у= ~ с,у;+у, (2.51) где с, — произвольные постоянные, а у, (1 =1, 2... „п) — линейно независимые решения соответствующего одноролного уравнения, является обшим решением неолноролкого уравнения Е[у[ =/ (х). Принимая во внимание 1) (стр. 114) и справедливость лля рассматриваемого уравнения теоремы существования и единственности, надо доказать, что подбором постоянных с, в (2.51) можно удовлетворить произвольно залапным начальным условиям у!г!(»е) — у!Ог' Ж вЂ” О, 1, 2, ..., п — 1). гле а ( хе ( Ь. Требуя, чтобы решение (2.51) удовлетворяло началь- ным условиям (2.52), прихолим к системе уравнений и ~ с;у, (хз) + у (х„) = уе, ~=1 2~~ с,у,' (х ) + у'(хе) = у'.
(2.53) и Х сьу!(хз)+'у (хв)=уе ~~~~ с )!ьи-1!гхе)+гиии-1)г» ), у~и-11 ~-1 тялвнения поеядкл выше пгявого 1ГЛ. Э Эта линейная по отношению к постоянным с, система и уравнений с и неизвестными при произвольных правых частях допускает единственное решение относительно с; (( = 1, 2, ..., и), так как определитель системы (2.53), будучи определителем Вронского 11т (ун уз, ..., у„) для линейно независимой системы решений соответствующего однородного уравнения, отличен от нуля при любых значениях х из отрезка и .. х < Ь и, в частности, прн х =...
х, Следователыю, интегрирование линейного неоднородного уравнения сводится к нахождению одного частного реше>шя этого уравнения и к интегрированию соответствующего линейного однородного уравнения. Пример 1. у +у== х. Одно частное решение этого уравнения у= х. очевидно, общее решение соответствующего одноролного уравнеши имеет внл у= с, сов х+ с, з1пх (см. стр, 108, пример 4). Следовательно, общее решение исходного неолиородного уравнения у =- с, сов х+ с, з!их+к.
Если подбор частного решения неоднородного уравнения труден, ио общее решение соответствующего однородного л уравнения у= ~ с,у, найдена, то лгожяо проинтегрировать !' = ! линейное неоднородное уравнение методом вариации постоянных. Прн применении этого лгетода решение неоднородного уравнения ищем в виде у= ~ с;(х) у„т. е. по существу вместо неизвестной 1=! функции у вводим и нензвестных функций с,(х).
Так как подбором функций с,(х) (!'=1, 2, ..., п) надо удовлетворить лишь однолюу уравнению у!ю+р,(х)у<"-и+ ... +р„(х)у=у'(х), (2.49) то можно потребовать, чтобы эти и функций с;(х) удовлетворяли бы еще каким-кибудь и — 1 уравнениям, которые мы выбираем так, ! чтобы производные функции у = ~г сг(х)у,(х) имели бы по воз!! можности такой же вид, какой они имеют при постоянных с,.
Выберем с;(х) так, чтобы вторая сумма в правой части у' = ~ с, (х) у', (х) + ~ с,' (х) у, (х) г=! 1=1 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ равнялась нулю. х.', с,(х) у,(х) = О, 4=1 и, следовательно, у = Х с, (х) у, (х) !=1 т. е. у' имеет такои же впд, как и при постоянкык с!. Точно так же у второй производной и и уи= ~~ с,,(х)у +,~ с,,(х) у,. !=1 !и! Продолжая вычислять производные функции у = ~,' с!(х) у; до по!=1 рядка а — 1 включительно и требуя каждый раз обращения в нуль суммы ~ с,. '(х) у1."'(х): !=1 „'Р~ с,'.(х)у!"'(х)=0 (!1=0, 1, 2, ..., п — 2), (2.54) !=1 получим с!(х)ун с,(х) у,', с! (х) у',.', (2.55) с!(х) у1л '1, у!и 1! 1=1 и у1л! с, (х) у!и'+ ~ с,(х)у',д '!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
