Главная » Просмотр файлов » Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление

Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 16

Файл №947330 Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление) 16 страницаЭльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330) страница 162013-09-15СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Доказательство. Дано Е[у,1=0 и С[у,]=0. Надо доказать, что Е 1у! + Ут[ Пользуясь свойством 2) оператора Е, получим: Е ]у + у ]†= С[у 1+ Е [уз[= О. Следствие теорем 2.2 п 2.3. ь7инейная 1сомбинация с прот извольными постоянными коэффициентами ~ь с,у, решений !=1 уи уг, ..., у линейного однородного уравнения С[у]=0 является ре!пением того же уравнения. Теорема 2.4. Если линейное однородное уравнение Е[у] =0 с действительными козффициенгпами р,(х) имеет комплексное рви!ение у(х)=и(х)+!о(х), то действительная часть злого решения и(х) и его мнимая часть о(х) в отдельности являются решениями того же однородного уравнения. Д ок азат ель ство. Дано Е[и(х)+го(х)[=0. Надо доказать, что А[и[=0 и Е[о]==0.

Пользуясь свойствами 1) н 2) ойератора Е, получим: Е [и + (о] = Е [и[+ (7. [о[ = О, откуда Е[и]= — 0 и С[о[в = О, так как комплексная функция действительного переменного обращается тождественно в нуль тогда и только тогда, когда ее действительная и мнимая части тождественно равны пулю.

3 а м е ч а н и е. Мы применили свойства 1) и 2) оператора к комплексной функции и(х)+го(х) действительного переменного, УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО [гп. г что, очевидно, допустимо, так как при доказательстве свойств 1) и 2) были использованы лишь следующие свойства производных (су)' = су', где с — постоянная, н (у>+ уг)' = у, + у', остающиеся справедливыми и для комплексных функций действительного переменного, Функции у,(х), уа(х), ..., у„(х) называются линейно зависимыми на некотором отрезке изменения х, а (х (/>, если существуют постоянные величины ан а,, ..., а„такие, что иа том >ке отрезке ау,+аауэ+ ...

+а„у,=О, (2.12) причем хотя бы одно а; =,' О. Если же тождество (2.12) справедливо лишь при а, = а> = ... = и, =- О, то функции ун у>, ..., у„называются линейно неэаеигиммми на отрезке а (х (/>. Пример 1. Функции 1, х, х', ..., хл линейно независимы на любом отреаке а (х( З, так как тождество а, +а,х+а,х'+ ... +а«,л« вЂ”.=О (2. 13) возможно лишь, если все а;=О. Ес.«и бы хоть одно а>~О, то в левой части тождества (2.13) стоял бы иногочлен степени не выше н, который может иметь не более и различных корней и, следовательно, обращается в нуль не более чем в и точкзх рассматриваемого отрезка. а,х л к >г х Пример 2. Функции е', е',...,е«, где Л>~Л/ при /~У, линейно независимы на любом отрезке а (х (/>.

Допусти». что рассматриваемые функции линейно зависимы. Тогда лх лх з к ае' +ае'+ ... +ае" О, (2.14) где хоти бы одно а;~О. напРимеР дли опРеделенности агг-РО. Разделив тождество (2,14) на е"'х в продифференцировав, получим. аг(аг — Л>) е( ' ') + ... +Ш,(/㫠— lг,) е( ' ') — О (215) — линейную зависимость между л — 1 показзтельнымн функциями вида елх с различными показатсляии. Деля тожлсс>во (2.15) на е«' '>х и лифферены,-г,>.г >[ гр.н:щ>т,»'»,и»й гую з шн г>»гч>г.

>из д> « —" г>егин>з>е > ш н»;[у»кииникес раз нгчнылп и >гга>атг«>лм>г. !!ро >а щ,.>я г>з> нроц. -: -1 р >.. и» >учим и [Л Л )(Л Л ) [/г /„)е «г㫠— > имн (г -гг )г что невозможно, так как а«, по предположению, отлично ог нуля, а Лг «ь Л/ при /~/1 доказательство остается снравеллнвым при комплексных Лг. П р н и е р 3. Функции агх г г .«. >г г Лк хх л х Ел,хел...„хеел, где л, чь а/ при /~ /, линейно независииы на любом отрезне л (х(ь. Допустим, что эти функции линейно зависвмы Тогда а,х г г х Р,(х)е ' +Р,(х)е ' + ... +Р (к)е Р: — О, (2,16) й з1 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ где Р1 (х) — мно1очлеи степени не выше п1, причем котя бы один полипом, например Рр(х), не равен нулю тождественно.

Разделим тожлество (2.16) на еа'» и продифференцируем л, + 1 рак Тогда первое слагаемое в тождестве (2.16) исчезнет. и мы получим линейную зависимость такого же вида, но с меньшим числом функций: 01(х)е( ' ') + ... +(Рр(х)е( и ') =О. (2.17) что невозможно. так как степень многочлена )7р(х) ранна степени миогоч~ена Рр (х) и, следовательно, многочлен Рр (х) не равен нулю тождественно. доказательство не изменяется и при комплексных аь Теорема 2.5. Если функции ун у,, ..., Ул линейно зпеисимы нп отрезке а (х (д, то нп том же отрезке определитель У1 Уг Ул У! Уг » » У1 Уг ' У„ (Т» (х) = %' (у,, у...

„у,! = !л-1) „1»-Н и!л-Н называемый определителем Вронского:"), тождественно равен нулю. 1(ок аз атель ство. Дано, что . +а„у„==О (2. 18) все а, равны нулю. 1(ифферен- получим а1У1 + агут + на отрезке а ( х ( д, причем не цнруя тождество (2,!8) п — 1 раз, а,у, + агут+,, +а„у„— = О, а,у,' + а,у,'+ ... + а,у„' =О. (2.19) а у(л-Н ( а у(»-1 + ! а у(л-И=О 1 ") По имени польского математика Г. Вронского (1775 †18). 7 Л.

н, нль»гол»и При этом степени л1ногочленов О1 и Р1(1=2, 3, ..., р) совпадают, так как при дифференцировании произведении Р; (х) ел', р Ф О. получим !Р1 (х) р+ + Р,(х)] ел», т. е. коэффициент при старшем члене многочлена Р;(х) после дифференцирования произведеш1я Р,(х)ел» приобретает лишь пе равный нулю множитель р. В частности, совпадают степени многочленов Рр(х) и ОР(х), и следовательно, лшогочлен О„(х) не равен нулю тождественно. Пела ~ождество (2.17) на е'"' а'» и дифференцируя л, +1 раз, получим линейную зависил1ость с еще меньшим числом функции. Прололжая этот процесс р — 1 раз, получим 77р(х) е( л л 1) =О игьзняння пояяпкь вып<т пгяяого <гл.

2 Этв линейная олнородная по отношению ко всем а, система и уравнений имеет нетривиальное решение (т. к. ие все а, ровны нулю) при любом значении х на отрезке а (х (д. Следовательно. определитель системы (2.19>. являющийся опрелелителем Вронского )р'[ун уг, ..., У„[, равен нулю в каждой гочке х отрезка а (х ((<.

Теорема 2.6. Если линейно независимые функции уп Уг, .... у„ являл<тел ре<иениями линейного однородного уравнения у" + р,(х) уч< и+ ... + р„(х)у=0 ,2.20> с непрерывными на отрезке а л х с. й коэффициентами р,(х), то определитель Вронского У1 У2 ''' Уч У< Уг У, Ж(х) = ч(ь-П Шь-П .,гь-1> а<у<(хз) а,у,'(х ) + ... +а„у„(х„) =О, + ... -1- а„у„'(х ) = О, + а2уг ( ео) + агу2 <хо) а у(л- и (х ) -1- а У(л-1< (х ) + .. + <г у(л- и (х ) = О и чтобы ие все а, равнялись нулю, Такой выбор возможен, так как определитель линейной однородной системы (2.21) и уравнений с и неизвестными а, равен нулю, Ф'(хз) =О, и следовательно, существуют нетривиальные решения этой системы При таком выборе а, линейная комбинация у = а,у, (х) .+ а,у, (х) + ... + а„у„(х) булет решением линейного однородного уравнения (2.20), удовлетворяющим, в силу уравнений системы (2.21), нулевым начальным условиям у(хз)=0, у'(хо)=0 ° ° ..

У("-'1(хо)=0 (222> Таким начальным условиям, очевидно, удовлетворяет тривиалы<ое решение У=О уравнения (2.20) и по теореме о единственности решения начальным условиям (2.22) удовлетворяет только это решение. не мигнет обратиться в нуль ни в одной точке отре<нси а х <(1.

Доказательство. Напустим, что в некоторой точке х ==х, отрезкз а .( х (д определитель Вронского ))2(хз) = О. Выберем постоянные а,((=1, 2...., и) так, чтобы удовлетворялась система уравнений ЛИЫГПНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 99 у, (х) =(х — 1)' при 0. х (1 1 ( х:, 2. 0(х< ! у,(х) =-О при у (х)=0 при уг(х) =гх — 1)' при ! (х. 2 (рис, 2.

!! !У~ Уг Очевидно... = — О при 0 (х < 2, так как на отрезке 1У~ Уг 0 ( х ( 1 второй столбец состоит из нулей, а при 1 ( х ( 2 цз нулей состоит первый столбец. Однако функции у,(х) и уг(х) линейно независимы на всем отрезке 0(х (2, так как, рассматривая тождество а,у, + агуг = О, 0 ( х ( 2.

вначале ца отрезке 0( х (1, приходим к выводу, что ц, = О, а затем, рассматривая зто тождество на отрезке 1 (х < 2, находим, что и ив =О. Теорема 3.7. Обгиим решением ири а ( х я, Ь линейного однородного уравнения у(ю+ р,(х)у!"-Н+ ... + р„(х)У=О (2.20) с непрерывными на отрезке а (х (Ь ноэффиииентамй р;(х) в (1=1, 2, ..., а) является линейная комбинация у= 2~ с!у! Следовательно, ц,у, !х)+ агу, (х)+ ... +а„у„(х)==0 и решения у,, уг, ..., у„, вопреки условию теоремы, линейно зависимы.

Замечание 1. Из теорем 2.5 и 2.6 следует, что линейно независимые на отрезке а (х (Ь решения ун у,, ..., у, уравнения (2.20) линейно независимы также на любом отрезке а, (х <Ьн расположенном на отрезке и (х (Ь. Замечание 2. В теореме 2.6 в отличие от теоремы 2.5 предполагалось, что функции ун у...,, у, являются Решениямц линейного олнородного уравнения (2.20) с непрерывными коэффициентами. Отказаться от этого требования и считать функции у,.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6417
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее