Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 25
Текст из файла (страница 25)
если решение х ((, (А) имеет постоянный период 2п (или 2тп, пг — целое число) при любом достаточно малом по модулю )А, то хз(~)+ !Ах, П)+ ... +(г"х„(!)+ ... = — хо(!+2п)+ + Рх, (1+ 2п) + ... + !г" х„(Г + 2л) + ... (2.111) Следовательно, коэффициенты при одинаковых степенях 9 в левой и правой частях тождествз (2.111) должны быть равны, т. е. х„(!) = х„((+ 2п), а это и означает периодичность функций е„(() (в=О, 1, 2, ...).
Совпадение. коэффициентов при одинаковых степенях 9 в левой и правой частях тождества (2.110) можно обнаружить, например, дифференцируя тождество (2.! !О! а раз по !А, после чего, полагая 9 =О, получим лл (2п + ~) = х„(!) (и = О, 1, 2, ...). Итак, нам надо найти периодические решения уравнений (2.109). При этом целесообразно отдельно рассмотреть следующие случаи. 1.
Нерезонансный случай: а отлично от целого ч и с л а. Если а не равно целому числу, то первое нз уравнений (2.109) имеет елинственное периодическое решение хз=грз(!), которое находим метолом предыдущего параграфа (см. стр. 144). Затем тем же методом находим х,(!), хя(() и т. д. Если бы этим методом мы нашли общий член ряда (2.1!0), установили сходимость этого ряда и законность его двукратного почленного лифференцировання, то сумма ряда (2.! 10) являлась бы искомым периодическим решением периода 2п. Однако обычно нахождение общего члена ряла (2.110) является крайне сложной задачей, в силу чего приходится ограничиваться вычислением лишь нескольких первых членов ряда, что было бы достаточным для приближенного нахождения периодического решения.
если бы была уверенность в том, что рял сходится и его сумма является периодическим решением. В связи с этим большое значение имеют теоремы А. Пуанкаре о существовании периодических решений, позволяющие, в частности, найти условия, при которых заведомо существует единственное периодическое решение уравнения (2.107), стремящееся при !А-Р 0 к периолическому решению порождающего уравнения. Если условия теоремы А.
Пуанкаре выполнены и, следовательно, существует единственное периодическое решение уравнения (2.107), стремяшееся при р- 0 к периодическому решению порождающего уравнения. то сумма единственного ряда с периодическими козффи- УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЪ|ШЕ ПЕРВОГО !Г.Я. Э 160 циентами (2.110), формально удовлетворяющего уравнению (2.!07), должна существовать и должна совпадать с искомым периодическим решением. При этом отпадает необходимость нахождения общего члена ряда (2.110) для исследования ряда на сходнмость и можно, найдя несколько первых членов ряда (2.110), утверждать, что при малом р их сумма приближенно равна искомому периодическому решению.
Теоремы А. Пуанкаре, опирающиеся на сведения из теории аналитических функций, довольно сложны, поэтому мы приводим в конце этого параграфа лишь простейшую из этих теорем, которая, однако, уже позволяет утверждать, что в рассматриваемом иерезонансном случае уравнение (2.107) всегда нчеег единственное периодическое решение прн достаточно малом р. П р н м е р 1. Приближенно определить периодическое решение уравнения х+ 2х = з!п Г+ рх', где р — малый параметр (определять два члена ряда (2.!10)).
Ищем решение в виде х(д !г) =х,(Г)+Их, (!)+ ... +!гяхя(Г)+ ... Находим периодическое решение порождающего уравнения х,+2х,=мпд хя(!)=з!ВГ Периодическое решение уравнения 1 — соа 2Г х, -(-2х, = з!п'Г илн х, -1-2х, = 2 имеет анд 1 соа 2! х,= — + 4 ' 4 Следовательно, периодическое решение 1 х (1, р) ге з!и г + — (1 + соа 2!) и. 4 2. Р е з о н а н с и ы й с л у ч а й. Метод малого параметра может быть применен и в резонансном случае, т. е. в случае, когда В уравнении (2.! 07) а равно целому числу и или стремится к целому числу и при р — ьО.
Если в уравнении (2.107) а мало отличается от целого числа и, . точнее. равность а' — ит имеет порядок малости не ниже чем рл аз — и' = а,р, (2.1!2) где а, ограничено при р -ь О, то уравнение х+атх=у'(Г).+)ггч(1, х, х, )4) можно переписать в виде х+итх=у (1)+(ит — ат) х+!АГ(!. х, х, !А), метод мАлОГО пАРАметРА з 8] откуда в силу (2.1121 х+птх =)'(Г)+ 122Е2 (г, х, х, 1А), где функция Р, удовлетворяет тем же условиям, которым по предположению удовлетворяет функция гч.
Следовательно, в дальнейшем в резонансном случае можно считать а равным целому числу: х+лзх=у'(1)+рР(1, х„х, 1А). Применяя метод малого параметра, ищем периодическое решение з виде ряда х(1, 1А)=хв(1)+12х,(1)+ ... +!А~ха(Ю)+ ... Для опрелеления функций хв(1) опять получаем уравнения (2.109), в которых аз=из, но в данном случае порождающее уравнение ха+' и хо =У(1) (2.! 13) имеет периолическое решение лишь в случае отсутствия резонирующих членов в правой части. т. е. при выполнении условий (см. стр. 145) ~У(г)созл1 (1=0, о 2л ~ У (г) з1 и п1 Г11 = О. е (2.
106) хе (1) = сю соз п1+ сзе з1п лг + ф (Г). Функция х,(1) определяется из уравнения х,+лзх, = г (1, хе, х„, 0). (2. ! 14) Это уравнение также имеет периодические решения лишь в случае отсутствия реаонирующих членов в правой части, т. е. при выполнении условий Г" (1, хе, х,, 0) созиг Ш =О, 0 2л Р(~, хе, хв, О) з1п лт лг =О. в (2.115) Если зти условии выполнены, то все решения уравнения (2.113) будут периодическими периода 2п (см. стр, 146) УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО 152 !Гл.
т Уравнения (2.115) содержат сга и сю, которые, вообще говоря, и определяются из этой системы. Пусть сы и сзе удовлетворяют системе (2.115); тогда все решения уравнения (2.114) имеют период 2п: х, (1) = с н соз п1 -1- сю зш пГ + 4~, (Г), (2.!!6) причем сн и с„ опять определяются из двух условий отсутствия резонирующих членов в следующем из уравнений (2.109): к=к, х = ко к=х, Р=О Р=З Р=О ит. д. Следовательно, не каждому периодическому решению х, = с| сов аГ + с, з ! и л1 + ~р (1) порождающего уравнения, а лишь некоторым, значения сю и ст которых удовлетворяют уравнениям (2.115), соответствуют периодические решения уравнения (2.!07) при малых р.
Конечно, и в резонансном случае для того, чтобы, не находя общего члена ряда (2.110), быть уверенным, что указанным процессом будет найдено периодическое решение, надо предварительно доказать теорему о существовании периодических решений. Это замечание относится и к случаям, изложенным в следующих пунктах 3 и 4.
3. Резонанс н-го рода. Иногда в системах, описываемых уравнением х+азх= 7(Г)+рР(1, х, х, р), (2. 107) удовлетворяющим указанным выше условиям, наблюдаются интенсия- 1 ные колебания, когда собственная частота мало отличается от — , л' где а — целое число. Это явление получило название резонанса и-го рода. С математической точки зрения это означает, что при а, мадо 1 отличающемся от —, где и — целое число. большее единицы, уравнение (2.107) может иметь периодические решения периода 2пл, не являющиеся в то же время периодическими решениями периода 2п.
Пусть х+ —, х = 7'(1)+!АР(Г, х, х, р) 1 (2.1! 7) МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА 2 2! Подставляя (2.110) в уравнение (2.117) и сравнивая козффипненты при 1 одинаковых степенях р, получим уравнения (2.109), в которых а = —. в Для определения хо(!) получаем порождающее уравнение хо+ —, хо =.7 и) 1 л !(2.118) котороо имеет периодическое решение периода 2пл лишь при отсут- ствии в правой части резонирующих членов, т. е.
при 2лл 2ЛЯ / (1) сов — Г!! = О и ! 7 (г) в)п — ж = О. / л ',l л Если эти условия выполнены, то все решения уравнения (2.118) имеют период 2пл хо = сю соз + соо 3!п + ГРо (7) где сш и с,о — произвольные постоянные. Уравнение, определяющее хо ! х2+ ло х2 =Р (г хо хо р) (2.119) будет иметь периодические решения периода 2пл лишь при отсутствии в правых частях резонирующих членов, т. е. при выполнении условий алл Р (~, х, х,, р)соа — Г12= 0, л а 2лл Р (!, хо, хо, !2) 21п — Ш = О, л о (2. ! 20) из которых, вообще говоря, определяются с,о и с . ! 2 (если а мало отличается от †, точнее, ло — — = ран где а, остается л по= ограниченной при 9-2 О, то, перенося член (а — — „) х в правую ! ! часть и включая его в рР(1, х, х, )2), получим уравнение вида (2.117) ).
Ищем периодическое решение уравнения (2.117) периода 2пл в виде ряда х(! р)=х (!)+!Ах,(()+ ° .. +р х„(г)+ ° ° ° (2 110) 154 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО !ГЛ. Я Если условия (2.120) удовлетворяются, то все решения уравнения (2.119) имеют период 2пп х,=сн сов — +сп Вш — +ф,(Г). Для определения произвольных постоянных сц и сю пользуемся двумя условиями отсутствия резонирующих членов в следующем из уравнений (2.109): + 1 (др~ +(дР) +(дР') к=к, к=к и=з к=ко Р=о в=з и т.
д. 4. Автономный случай. уравнения (2.107) не зависит явно Предположим. что правая часть от Г, и уравнение имеет внд х+аах=рГ(х, х, р), (2.12! ) х(Г, )ь)=ха(!)+!Ах,(Г)-+ ... +и"х„(!)+ .... (2.110) так как каждая из функций х„(Г) в отдельности не обязана быть периодической функцией и, следовательно, функции хк(С) не могли бы быть найдены рассмотренными выше методами. Поэтому надо преобразовать уравнение (2.121) к новому независимому переменному так, чтобы по новому переменному уравнение имело бы уже постоянный период, а уж ватем искать решение в виде ряда (2.110).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
