Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 28
Текст из файла (страница 28)
е<ех — — 1 лге етех емх !4. — — 2 — + х Га — 3. л<е ига 1а у" + 4ху 0; проинтегрировать с помощью степенных рядов 1 ! !6. хау" + ху' + ~9ха — †) у 0; проинтегрировать путем сведении 25) к уравнению Бесселя. !7 у" +<у')а-<, у<О)=О, у <О) !. !3. у" =Кк, у<О)-1, у (О)-2. 1 19. у" + у ! — —. $1п х ' сеем 20.
—,+ — — О. аега г е!Г 21. Найти скорость, с которой тело упадет на поверхность Земли, если считать, что оно падает с бесконечно большой высоты и движение проис- твлвнвния поппдкл нышя пнпвого [гл. з ходит только под влиянием притяжения Земли. Радиус Земли считать равным 6400 км. ',й.
Найти закон движении телз, падающего без начальной скорости, допуская, что сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости и что скорость имеет своим пределом при Г-ь со величину 75 м/сек. 23. Цепь длиной б м соскальзывает со стола. В момент начала движения со стола свисал 1 и цепи. Во сколько времени со стола соскользнет вся цепь. (Трением пренебрегаем.) 24.
Цепь переброшена через гладкий гвоздь. В момент начала движения с одной стороны свисает 8 и цепи, а с другой стороны 1О м цепи. Во сколько времени вся цепь соскользнет с гвоздя? (Трением пренебрегаем.) 23. Поезд движется по горизонтальному пути. Вес поезда Р. сила тнги паровоза Р, сила сопротивления при движении (р = а + Ьо, где а и Ь вЂ” по. стоянные, а и — скорость поезда; з — пройденный путь. Определить закон движения поезда, считая, что при т = О з = О и и = О. 26. Груз в р кг подвешен на пружине и оттянул ее на а сдс Затем пружина оттягивается еще па А см и отпускается без начальной скорости.
Найти закон движения пружины, пренебрегзя сопротивлением среды, 27. Двз одинаковых груза подвешены к концу пружины. Йайти закон движения одного из грузов, если другой оборвется. Дано, что удлинение пружины под влиянием одного из грузов равно а см. 28. Материальная точка массы и отталкивается оз центра О с силой, пропорциональной расстоянию. Сопротивление среды пропорционально скорости движения. Найти закон движения.
29. Найти периодическое решение с периодом 2п уравнения х+ 2х = У (Г), где функция у(г) = пят — Р при — и < г (и и далее продолжена периодически. 30, "(( )г УУ У + 'У + у = зй х. 30 уу +(у')' = У1+ х' ' 34. у"' — у = г", 31. ууУ=( )., („«) 36 У" — 2У' + 2у = хе» соз х. 32. х+ Ох =- Г зШ Зг. 36. (х' — 1) у" — бу = 1.
Частное решение соответствующего однородного уравнения имеет вид многочлена. 37. Найти решение и = и(х' + у') уравнения д'и д'и — + — =О, дх' ду' зависящее лишь от х'+ у'. 38. Найти решение и =и(ха+у'+з') уравнения дги дги дги — + — + =О, дхг дуг дхг являющееся функцией х'+ у'+за. 39. Материальная точка медленно погружается в жидкость. Найти закон движения, считая, что при медленном погружении сопротивление жидкости пропорционально скорости погружения. влдлчи к Главп я 167 46.
Проинтегрировать уравнение движения юх У(Е, х, х), считая, что правая часть является функцией только х или только х: а) шх=у(х)! 6) шх = у (х). 41. уЧ! — ЗуЧ+Зупв — уги Х. 42. хЕЧ+2х + х = соя !. 43. (! + х)' у" + (1 + х) у' + у = 2 соа ! и (1+ х). 44. Определить периодическое решение уравнения х+ 2х+2х у 4 Ъ~ и!плг л4 а 1 45. Определить периодическое решение уравнения х+ а,х+ а,х у (Е), где а, и а,— постоянные, а у(Е) — непрерывная периодическая функция периода 2п, разлагающаяся в ряд Фурье, а! ть О н ат Ф О. 46.
х+Зх= сов Е+рхт, р — малый параметр. Приближенно определить периодическое решение. 47. х'у" — ху' + у О; проинтегрировать уравнение, еслиу, х является частным решением. 46. Найти линейное однородное уравнение, имеющее следующую фунда- 1 ментальную систему решений: у, х, у, х' 49. хЕч+ х = Еа 55. бу"у!Ч вЂ” 5 (у")Я Ог 56.л' (У)+у +1 56 х !и 51. х+1Ох+25х=2Е+Ее а!.
х ' 52 хуу" — х(у')т — уу' О 57. у" +у а!пЗхсоях, 53. уч! — у =сел. 58. У" =2УД У(1) 1, у'(1) =1. 54 УЧ!+2УЕЧ+У" + . 59. уу" — (у')'=у'. ГЛАВА 3 СИСТЕМЬ$ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ $ Е Общие понятия Уравнение движения материальной точки массы т под действием силы Е(Е г, г) дат т — =Г(Е г, г) ЛР путем проектирования на оси координат может быть заменено систе- мой трех скалярных уравнений вгорого порядка: Фх т †„, = Х (Е х, у, з, х, у, з), дау т †„, = Г (Е х, у, г, х, у.
г), — Лаз — = Е Н, х, У з, х. у з) или системой шести уравнений перяого порядкз, если за неизвестные функции считать не только координаты х, у, г движущейся точки, в'г . но и проекции х, у, а ее скорости —. лг ти = Х(Г, х, у, з, и, о, т). то = )'(С х, у, г, и, о, т). тгв= Е(Е х, у, 2, и, о, тв). При ятом обычно задаются начальное положение точки х(ге) = ха, у(гз)=уз, «(гз)=аз и начальная скорость и(тз)=из, о(Гз)=оз, тв (Гз) = те. $ и оешие понятия Эта основная задача с начальными значениями уже рассматривалась в й б главы 1 (стр.
31). Там была доказана теорема существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений дх, — '=уг(г, хн хг, ..., х„).. (3.!) — =у'„(Г, хг хг... „х„). дхп удовлетворяющего нзчальным условиям хг(га)=кга (г=1 2. ° ° ° л) (3.2> Напомним. что достаточными условиями существования н единственности решения системы (3.1) прн начальных условиях (3.2) являются: !) непрерывность всех функций Г', в окрестности начальных значений; 2) выполнение условия Липшица для всех функций У, по всем аргументам, начиная со второго в той же окрестности.
Условия 2) можно заменить более, грубым, потребовав существования ограниченных по модулю частных производных — (г, /=1. 2...., и). дх~ Решение системы дифференциальных уравнений х,(г), хг(Г), ... ..., х„(г) является к-мерной вектор-функцией, которую мы кратко будем обозначать Х(г).
В этих обозначениях система (3.1) может быть записана в виде — = Р((, Х), дХ дг где Р— вектор-функция с координзтами (Дп уг, ..., У„), а начальные условия в виде Х(га)=Ха, где Х„есть а-мерный вектор с координатами (хин хга, ..., х„а). Решение системы уравненяй х| х1 (Г) хг хг (С) хх хд (г) илн кратко Х = Х(Г), определяет в евклидовом простраястве с координатами г, хо хг, ..., х„некоторую кривую, назызземую иклгагралькод кривой. При выполнении условий 1) и 2) теоремы существования и единственности через каждую точку этого пространств: проходит единственная интегральная кривая и их совокупность образует н-параметрическое семейство, в качестве параметров этого семейства могут быть взяты, например, начальные значения хы, хга, ..., хвг СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ !Гл.
3 Воаможна и лругая интерпретация решений х, ='х,(г), ха=ха(1), ..., х„=х„(г), или кратко Х = Х(1), особенно улобная. если правые части системы (3.1) не зависят явно от Г. В евклиловом прострзнстве с прямоугольными координатами хи хм ..., х, решение х,=х,(1), ха=ха(Ф), ..., х„=х„(1) определяет закон движения по некоторой траектории в зависимости от изменения параметра ~, который прн этой интерпретации мы будем аХ считать временем.
При такой интерпретации производная — будет аг ах, ах, ах„ скоростью движения точки, а —, —, ..., —" — координатами ае ' ж ' ' ' '' аг скорости той же точки. При этой интерпретации, весьма улобной н естественной во многих физических и механических задачах, система †' = У~(1, хн хз, ..., х„) (1 = 1, 2, ..., а), (3.1) их~ обычно называется динамической, пространство с координатами х,, хм ..., х„называется фазовых, а кривая Х = Х(1) — фазовой )лраекглориеа. Динамическая система (3.1) в заданный момент времени Г определяет в пространстве х,, хз, .... х„поле скоростей.
Если вектор- функция р зависит явно от Г, то поле скоростей меняется с течением времени и фазовые траектории могут пересекаться. Если же вектор-функция г", или, что то же самое, все функции уР ие зависят явно от 1, то поле скоростей стационарно, т. е. Ие изменяется с течением времени, и движение будет установившимся. В последнем случае, если условия теоремы существования и единственности выполнены, через каждую точку фазового пространства (хи хм ..., х„) булет проходить лишь одна траектория.
Действительно. в этом случае по кажлой траектории Х = Х (1) совершается бесконечное множество рзэличных движений Х = Х (Г + с), где е — произвольная постоянная, в чем легко убедиться, совершив замену переменных 1, = 1 + с, при которой динамическая система не изменит своего вида: — = Р(Х). ах ае, и следовательно, Х = Х(1,) булет ее решением, или в прежних переменных Х = Х(1 + с].
интегРНРСВАние системы уРАВнении Если бы через некоторую точку Х„ фззового пространства в рассматриваемом случае проходили две траектории Х2 (г) и Х Хз (г)' Х2 (гэ) Хз (гз) Хс' то, взяв на каждой из них то движение, при котором точка Хэ постигается в момент времени г=гз, т. е., рассматривая решения Х = Х,(à — Г,+7,) и Х = Х,(à — ус+72), получим противоречие с теоремой существования и елинственности, так как два различных решения Х,(à — Ге+ге) и Хз(à — гс+Гэ) удовлетворяют одному и тому же начальному условию Х (гс) = — Х . П Р и м е р. Система уравнений — =у, — „= — х лх лу кт ' кг (3.3) имеет, как нетрудно проверить непосредственной подстановкой, слелующее семейство решений: х = с, соз (2 — с,), у = — с, мп(г — с,).
рассматривая г как параметр, получим на фазовой плоскости х, у семейство окружностей с центром в начале координат (рнс. 3.1). Пра- Рис. 3.1. вая часть системы (З,З) ие зависит от Г и удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности, поэтому траектории не пересекаются. Фиксируя сь получим определенную траекторию, причем различным с, будут соответствовать Различные движения по этой траектории, уравнение трзектории х + у = с, не зависит ат с,, так что все движения прн фиксированном с, 2 2 совершаются по одной и той же траектории. Прн с, =О фазовая траектория состоит нз одной точки, называемой в этом случае точкой покоя системы (3.3). ф 2. Интегрирование системы дифференциальных уравнений путем сведения к одному уравнению более высокого порядка Олин из основных метолов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений системы (3.1) и из уравнений, получающихся дифференцированием урзвненнй, входящих в систему, исключают все неизвестные функции.
кроме одной, для определения которой получают одно дифференциальное уравнение более высокого порядка. Интегрируя зто уравнение более высокого порядка, находят одну из неизвестных функций, а остальные неизвестные функции, по возможности без интегрзций. определяются из исходных уравнений и уравнений, получившихся в результате их дифференцирования. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНБИАЛЬНЫК УРАВНЕНИЙ (гл. а Иллюстрируем сказанное примерами.
Пример 1. сгх лсу у. — х. с(с ' лс "х лу Дифференцируем одно из уравнений, например первое. †. = — и, исклюльч с(с сссх чая — с помощью второго уравнения, получим —. — х = О. откуда ссг ли х с,ес+ ссе . Используя первое уравнение, получаем у — = с,в — сяе с -с с(с Мы определили у без интеграций с помощью первого уравнения. Если бы мы определили у из второго уравнения — х= с,е +ссе сту с -с ет ! у с,е — с,с + с,, лх — = Зх — 2у, ссс (3.4!) ссу — = 2х — у. с(с (3.4с) Дифференцируем второе уравнение: лсу лх ссу — = 2 — — —. стас с(1 (3.5) лх Из уравнений (3.4,) и (3.5) определяем х и —; л) ' (3.6) Подставляя в (3.4,), получим псу с!у — — 2 — + у = О. с(С с с(С Интегрируем полученное линейное однородное урзвнение с постоянными коэффициентами у= лс(с, + ссТ) н. подставляя в (3.6).
находим х(С)! 1 х= —,е'(2с,+с,+ 2с,с). 2 ' Пример 3. Лх леу — =у, — х. ли ' ли то ввели бы лишние решения, так как непосредственная подстановка в исходную систему уравнений показывает, что системе удовлетворяю~ функции х = с,с!+с!в ', у с,с' — с,е с+с! не прн произвольном си а лишь прг сз О. Пример 2. 173 ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ еру их 1(ифференцнруя первое уравнение, получим — — , я, подставляя во ли Ф' ' вчх второе уравнение, будем иметь — х. Интегрируя ето линейное одно- Ж" родное уравнение с постоаннымв коэффициентами, получим х с,е'+е,е '+с,созе+с,в!пд и, подставляя в первое уравнение, находим у е,е'+ е,е — с, сое т — е, в!па Опишем теперь более точно процесс исключения из системы уравнений всех неизвестных функций, кроме олной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
