Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 30
Текст из файла (страница 30)
та тл, лг лт л'т лг и. интегрируя, получим енсе один первый интеграл Аврт + Вари + Стгт = ст Если исключить случай А = В С, при котором система интегрируется непосредственно, то найденные первые интегралы независимы и, следовательно, пользуясь втими первыми интегралами, можно исключить две неизвестные $6 системы линенных диФФВРенциАльных уРАВнениЙ 181 функции, причем для определения третьей функции получим одно уравнение с разделяющимися переменными. Для нахождения интегрируемых комбинаций часто удобно переходить к так навываемой симметрической форме ааписи системы уравнений (3.1): лх, Лха йа (д Хь Ха, .
„Ха) та (й «а, Ха..., ха) (3.1 б) Ча„(д «ь «Р ..., «„) Чаа(Г, «ь «ь .... «„) где ара(д х,, ха, ..., х„) уа(1, хп ха, ..., х„)= ' ! " (1=1, 2, ..., п). <Га(! хь ха...., х„) Пример 4 лх уа а Интегрируя уравнение Лу (3.18) 2ху йхг лг 2«у 2«г ' находим — = сь Умножая числители и знаменатели первого из отношений у г системы (3.16) на х. второго иа у, третьего иа г и составляя производную пропорцию, получим «их+у аау+ ге» Лу х(ха+ уа+га) 2ху ' откуда (п(ха-)-у-'-)-г') = !п! у!+ !пс„ или ха ! уа ! га у = с,. Найденные независимые первые интегралы у ха+ уа+ га а =с, определяют искомые интегральные кривые.
ф 4. Системы линейных дифференциальных уравнений Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она лннейна относительно всех неизвестных функций и их производных. Система и линейных уравнений первого порядка. записанная В системе, заданной в симметрической форме, переменные входят равноправно, что иногда облегчает нахождение интегрируемых комбинации. 182 системы диФФеРенциАльных уРАВнения !Гл. а в нормальной форме, имеет вил — а!1(1)хт.+У!(Ю), (1=1, 2, ..., и), (3.17) 1 или в векторной форме — = АХ+ Р, (3.18) где Х есть и-мерный вектор с координатами х!(1), х2(1), ..., х„(!), Р есть и-мерный вектор с координатами у1(г), уа(г), ..., у„(г), которые удобно в дальнейшем рассматривать как одностолбцовые матрицы: ах! иг Согласно правилу умножения матриц строки первого множителя должны умножаться на столбец второго, следовательно, АХ+ г" = ~~х! ) Х= аи аж а21 а22 ''' атл ~ ал! ал2 ' ' ' ала 1~ аых! 1=1 хл "м 1=1 ~и~~ аыхт+ у', ! 1 ю ~ а21хт-+ У"2 !=1 $ е! системы линейных лиФФеРенпиАльных УРАвнения 183 равенство натрии означает равенство всех их элементов, следовательно, олно матричное уравнение (3.18) или Х [ ~аых +7, /=1 ~!'".
2~~ ажху+ уэ ! ~ а,7х!+ух А 7=1 йх, йг Их, йг эквивалентно системе (3.17). Если все функпии аы(Г) н 7',(Г) в (3.!7) непрерывны на отрезке а ( Г ( К то в достаточно малой окрестности каждой точки (~в х1о хзв ° ° ., х„з), где а (!в (о, выполнены условия теоремы сушествования и единственности (см. стр, 169) и, следовательно, через кажлую такую точку проходит единственная интегральная кривая системы (3.17).
Действительно, в рассматриваемом случае правые части системы (3. 17) непрерывны. и их частные производные по любому х7 ограничены, так как эти частные производные равны непрерывным на отрезке а (г (й коэффициентам а,7(Г). Определим линейный оператор 7. равенством 7. [Х[ = — „— АХ, Если все Д,(!)=0 (1=1, 2, ..., п), или, что то же самое, матрица АР=О, то система (3.17) называется линейной однородной. В краткой записи линейная однородная система имеет вил Ь[Х)=0.
(3.20) Оператор 7. обладает следуюшими двумя свойствами: !) 7.[сХ[=с(.[Х[, гле с — произвольная постоянная. 2) 7.[Х, + Ха[=7.[Х,[+7.[Хз[. Действительно, — — А(сХ)= — с~ — — АХ~, й (еХ) гйХ йг 1 йт — А~Х А-ХЗ [ — — АХАА.[ — АХ) й (Х|+ ХА) гйх ! гйх йА — ~йг з~ ~й( тогла уравнение (3.18) еше короче можно записать в виде 7. [Х[ = )Р. (3. 19) СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕННИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 1гл. а Следствием свояств 1) н 2) является Л [ ч",,Х,1= — ч'„,С (Х,], [.ь=! ,1 1=! где с, — произвольные постоянные.
Теорема 3.1. Если Х является решением линейной однородной системы 1.[Х]=0, то сХ, где с — произвольная постоянная, является решением той же системы. Доказательство. Дано Е(Х]= — О. надо доказать, что А(сХ]=0. Пользуясь свойствои 1) оператора Е, получим Е [сХ] = сЛ [Х] = О. Теорема 3.2. Сумма Х,+ Хе двух решений Х, и Ха однородной линейной системы уравнений является решением той же системы. Доказательство. Дано ЫХ!(= — 0 и 1,[ХЕ]=0. Требуется доказать, что Е (Х, + Хь] = О.
Пользуясь свойством 2) оператора Ь, получим Л(Х!+Х,! ==1.[Х!]+С[Х,]=— О. Следствие теорем З.ь и 3.2. Линейная комбинация ~ с,Х, !=! с произвольными постоянными коэффициентами решений ХР Х,, ..., Хи линейной однородной системы Л(Х(= 0 является решением той же системы. Теорема З.З. Если линейная однородная система (20) с действительными коэффициентами аы(1) имеет комплексное решение Х= У+1]с, то действительная и мнимая части и, и„ в отдельности являются решениями той же системы. Доказательство.
Дано ь]е!+11']=0 паап аоказать, что А[[у]=— 0 и Аяе— т О. Пользуясь свойствами 1) и 2) оператора Е, получаем У. [и+ И[=). [и]+ 1).т = О. Следовательно, А[У]=0 и Ь[["]=О. я а смстпмы линейных днааяиянпилльных аялвнянии Векторы Х,, Хз,,... Х„, где х1с (й) хш (й) 'Х/— х„, (() называются линейно зависимыми на отрезке а (1(Ь. если существуют постоянные а,, аз, ..., а„такие, что а,Х,+а Х + ...
+а,Մ— = 0 при а (г (К причем по крайней мере одно а; Ф О. Если же тождество (3.21) справедливо лишь при а, =аз = ... =а„=О, то векторы Хн Х,, ..., Х, называются линейно независимыми. Заметим, что одно векторное тождество (3.21) эквивалентно и тождествам: ~~ а,хы (т)— = О, 1=1 лл а,хы(т)=--0, 8=1 (3. 21,) ~ а,х„, (т) = О. Если векторы Х,(1 = 1. 2, ..., и) линейно зависимы и значит существует нетривиальная система а, (т. е. не все а, равны нулю), удовлетворяющая системе и линейных однородных по отношению к а, уравнений (3.21,).
то определитель системы (3.21,) 1~ 6 (р ~~~ хы хш ° ° ° хз„ хю Хт хле должен быть равен нулю лля всех значений г отрезкв а (1 (Ь. Этот определитель системы называют определителем Вронского для системы векторов Х,, Хы ..., Х„. Теорема 3.4. Если определитель Вронского (т' решений Хн Х...., Х„линейной однородной системы уравнений (3.20) с непрерывными на отрезке а ~,т (ф коэффициентами аш(г) равен нулю хотя бы в одной точке 1=1е отрезка ай С (о, то решения Хн Х, ..., Х„линейно зависимы на том зке отрезке, и, следовательно, на рассматпривавмом отрезке Ф' — О, Ф снствмы днеэвианцилльныя кялвняннп 186 1гл.
а Доказательство. Так как коэффициенты а,~(С) (1, /= 1, 2, ..., и) непрерывны, то система (3.20) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности. Следовательно, начальное значение Х (Се) = 0 (или, подрОбнее, х, (те) = О, ха (Сс) = О, ..., х„(те) = 0) определяет единственное решение рассматриваемой системы и этим решением, очевидно, является тривиальное решение системы (3.20) Х(т)— = 0 (или, подробнее, х,(С)= — О, ха(т)=0, ..., х„(с) им О).
Определитель Ж'(тс) = О. Следовательно, существует нетривнальнав система сн см ..., с„, удовлетворяющая уравнению с, Х, (Се) + сеХ, (Се) + ... + с,Х„(Се) = О, так как это одно векторное уравнение эквивалентно системе а линейных однородных относительно с, уравнений с равным нулю определителем: ~ с,хы (Сс) = О, Г-1 Х с Ры (то) = 0 1=! с;х„,(Се) = О. ЧД 1=! Соответствующее этой нетривиальной системе с,, са, ..., с„реше- П ние уравнения (3.20) Х(Ю)= ~с,Х,(С) удовлетворяет нулевым на1=1 чальным условнвм Х(тр)=0 н, следовательно, совпадает с тривиальным решением системы (3.20): ~~с,Х~ (т) — О, 1=1 т. е.
Х, линейно зависимы. Замечание. Эта теорема, как показывают простейшие примеры, не распространяется на произвольные векторы Хо Х,, ..., Х„не являющиеся решеннямн системы (3.20) с непрерывными коэффициентами. Пример 1. Система векторов Х, =(( !) и Ха=(! линейно независима, так как иэ а,Х, +ааХэ~о в »1 системы линейных ДНФФеРенинАльных уРАВнения 187 или об+ аэР— О, аб+оэР »О следует, что а, = а, = О (см. стр. 96, пример 1). В то же время определитель р Вронского ~ ~ тождественно равен нулю.
Следовательно, векторы Х, н Хэ 1с с не могут быть решениями одной и той же линейной однородной системы (3.20) с непрерывными коэффициентами а,. (С)(1', З'= 1, 2), » Теорема З.б. Линейная комбинация ~„с!Х! а линейно нева!=1 висимых решений Хн Хз, ..., Х линейной однородной системы (3.20) с непрерывными на отрезке а (1 (Ь козффициентами аы(1) является общим решением системы (3.20) на том зке отрезке. Доказательство. Так как коэффициенты аы(1) непрерывны на отрезке а ( 1 ( е, то система удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности и, следовательно, для доказа!ель- ства теоремы достаточно обнаружить, что подбором постоянных с, » в решении ~ с,Х! можно удовлетворить произвольно выбранным 1=1 начальным условиям Х (10) = Хо, ~ 1«10 ! «20 ХО 'С»0 где 10 — одно из значений 1 на отрезке а (1(д, т.
е. можно удовлетворить олному векторному уравнению » ~ с1Х, (8 ) = Х или эквивалентной системе п скалярных уравнений: ~ с!«1! (10) = «10, ! 1 Х с!хы(10) = «20 Х ' 1х. (10) = «» . 1 СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕННИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 133 !гл. з Эта система разрешима относительно с, при любых хю, так хак определитель системы является определителем Вронского для линейно независимой системы решений Хи Ха...., Х„и, следовательно, не обращаетсв в нуль ни в одной точке отрезка аи;.сл,Ь. Пример 2.
ех — =у /г/ (3.22) /!у — = — х. й! Нетрудно проверить. что системе (3.22) удовлетворяют решения х, =сов/. у, — в!и/ и х, в!пг, у,=сов/ Эти решения линейно независимы, тан нан определитель Вронского соя / — в!и / ~ ! =1 в!и Г сов / отличен от нули. Следовательно оешее Решение имеет анд х= с, сов г+ с, в!Вг, у = — с, в!я/+ с, сов!, где с, и е, — произвольные постоянные.
Теорема 3.6. Если Х является решением линейной неоднородной системы Е1Х)= Р, !3.19) а Х, — решением соотеетстзуалцей однородной системы Е(Х)=О, то сумма Х,+Х также будет решением неоднородной системы Е(Х] = Р. Доказате льстя о. Дано, что Е(Х)иш Р и ь(Хг1аш О. Надо доказать, что ь(Х, + Х)= — Р. Пользуясь свойством 2) оператора Е, получим Е(Х! -1- Х1=Е(Х!1-1- Е(Х1 — Р, Теорема 3.7. Общее решение на отрезке а ((~Ь неоднородной системы (3.19) с непрерывными на том же отрезке козсбсбициентами аы(1) и правыми частями 7/(г) равно сумме И общего решения ~~~~ с,ХН соответствующей однородной системы /=! а частного решения Х рассматриваемой неоднородной системы, Доказательство, Так как условия теоремы существование и единственности выполнены (см.
стр. 133), то лля доказательства теоремы достаточно обнаружить. что подбором произвольных по- Во! системы линейных диеовпиниилльных хиавнзнии 189 стоянных с, з решении Х = ~ сгХ, + Х можно удовлетворить ! 1 произвольно заданным начальным условиям хю т. е. надо аоказать, что одно матричное уравнение .з; сгХг(го) + Х (Го) = Хо г=! или эквивалентная система уравнений ~ч'„с,хы(во)+ х, (го) = хкг, ! ! ~~', с!хо! (Го)+ хз (го) = хзо (3.23) Х сгхы(го) + хх(го) = хоо г=! всегда имеет решение сн сз, .... с„, каковы бы ни были правые части.
Оаиако в такой форме это утверждение очевидно, гак как определитель системы (3,23) является определителем Вронского в точке !=со для линейно независимых решений Хн Хм ..., Х„ соответствующей однородной системы н по теореме.3.4 отличен от нуля. Следовательно, система (3.23) имеет решение си с,..... с„ при любых правых частях. Теорема 3.8 (принцип суиериозиции).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
