Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 34
Текст из файла (страница 34)
в) Корни нратны А, = йя. 1) й,=й,со. Общее решение имеет внд х (1) = (с»а, + с»Р11) е» ', У(г) =(с,а»+ с»Р Г)е"', причем не исключена возможность того, что (),=8»=О, но тогда а, и сь» будут произвольными постоянными. Из-за наличия быстро стремящегося к нулю множителя е" ' при 1-«со произведение (с,а,+вар»ф)е»н (1=1, 2) стремится к нулю при 1 — «оо, причем при достаточно большом 1 все точки любой Ь-окрестности начала ноординат попадаю~ в заданную е-окрестность 21! ПРОСТЕЙП1ИЕ ТИПЫ ТОЧЕК ПОКОЯ начала координат и, следовательно, точка покоя асимптотнчески устойчива.
На рис. 4.7 изображена точка покоя рассматриваемого вида, так же как и в случае а) 1), называемая устойчивым узлом. Этот узел занимает промежуточное положение между узлом а) 1) и фокусом б) 1), так как при сколь уголно малом изменении действительных коэффициентов ап, аж, аан а,г он может превратиться как в устойчивый фокус, так и в устойчивый узел типа а) 1), потому что прн сколь угодно малом изменении коэффициентов кратный корень может перейти как в пару комплексных сопряженных корней, так и в пару действительных различных корней.
Если ))1=(1г= О, то тоже получаем устойчивый узел (так называемый дииритичесссий узел), изображенный на рнс. 4.8. 2) Если йс=иг ) О, то замена с на — г приводит к предыдущему случаю. Следовательно, траектории не отличаются от трвессторий предыдущего случая, изображенных на рис. 4,7 и 4.8, но двпмсение по ним происходит в противоположном направлении. Б этом случае точка покоя называется, так же как и в случае а) 2), неустойчивым узлом. Тем самым исчерпаны все возможности, так как случай а!=0 (или йг= 0) исключен условием "(~о. Замечание 1. Если ап аж =О, аг, атг то характеристическое уравчение имеет нулевой корень и!=0. Предположим, что 11=0, но й, + О.
Тогда общее решение системы (4.6) имеет вид х = с,а, + сгйсев*г, у = с,аг+ сг()гев '. Исключая т, получим семейство параллельны х прямых рс (у — сгиг)= =()г(х — сгаг). При сг=О получаем однопараметрическое семейство точек покоя, расположенных на прямой а,у =агх. Если йг< О, то при г -э со на каждой траектории точки приближаются к лежащей на этой траектории точке покоя х= есаг, у =с,аг (рис, 4.9). Точка покоя х = — О, у = — О устойчива, но асимптотической устойчивости нет.
!4ч ТЕОРИЯ УСТОИЧИВОСТИ 212 Ггл. 4 Если же )зз ) О, то траектории расположены так же, но движение точек нз траекториях происходит в противоположном направлении — точка покоя х = — О. у = О неустойчива. Если же ~, = Гг, = О, то возможны два случая: 1. Общее решение системы (4.6) имеет вид х=с,, у= се — все точки являются точками покоя, все решения устойчивы.
2. Общее решение имеет вид х = с1-+ с С, у = с + сзЕ где с", и с,*,— линейные комбинации произвольных постоянных с, и с . Точка покоя х = О, у: — О неу устойчива. 3 а м е ч а н н е 2. Классификация точек покоя тесно связана с классификацией особых точек (см. Стр. 57 — 59). Действительно, в рассматриваемом случае система дх — = ацх+ аиу, (4. 6) ду — = йиХ + аязу где ФО Рис.
4.9. путем исключения С могла бы быть сведена к уравнению ау аих+ аязу (4. 12) ах а„х+ а„у — а,)х) (1=1, 2, .... а).' аХ4 Чьз аг а'Ы / 4 (4.1 3) интегральные кривые которого совпадают с траектор.лямн дви'кения системы (4.6). При этом точка покоя х=О. у=О системы (4.6) является особой точкой уравнения (4.!2). Заметим, что если оба корня характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть [случаи а) !); б) 1); в) !)), то точка покоя аснмптотически устойчива. Если же хотя бы один корень характеристического уравнения имеет положительную действительную часть (случан а) 2); а) 3); б) 2); в) 2)], то точка покоя неустойчива.
Аналогичные утверждения справедливы н для систел4ы п линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами ПРОСТЕПГНИЕ ТИПЫ ТОЧЕК ПОКОЯ 213 Если действительные части всех корней характеристического уравнения системы (4.13) отрицательны, то тривиальное решение х,=О (1= 1, 2, ..., и) асимптотически устойчиво.
Действительно, частные решения, соответствующие некоторому корню уг, харзктеристичесйого уравнения, имеют вид (стр. !93 и 196) х! = а!е е (! = 1, 2, ..., п), если л, лействительпы, х, = е'Р (Р! сов !?,Г + у! Е)п !?,(), если Ф, = р, + !?,1, и, нзконец, в случзе кратных корней решения такого же вида, но е!це умноженные на некоторые мпогочлены Ру(().
Очевидно, что все решения такого вида, если действительные части корней отрицательны (р, ( О, или если л, действительно, то Тг, ( О), стремятся к нулю при ! †>ОО не медленнее, чем се "', где с — по- стоянный множитель, а — ш ( О и больше наибольшей действитель- ной насти корней характеристического уравнения. Следовательно, при достаточно большом Т точки траекторий, начальные значения которых находятся в любой Ь-окрестности начала координат, попа- дают в сколь угодно малую е-окрестность начала координат и при ! — ь ОО неограниченно приближаются к началу координат — точка покоя х, = О (! = 1, 2, ..., л) асимптотически устойчива.
Если же действительная часть хотя бы одного корня характери- стического уравнения положительна, !?е л! = р, ) О, то соответ- ствующее этому корню решение вида ху — — са е ', или в случае кома,.! плексного л! его действительнзя (или мнимая) часть сел' (русов!у!г+ + у? з(п!?!Т)0= 1 2 ..., л) при сколь угодно малых по модулю значениях с неограниченно возрастает по модулю при возрастании 1, и, следовательно, точки, расположенные в начальный момент на этих траекториях в сколь угодно малой Ь-окрестности начала координат. покидают при возрастании ! любую заданную е-окрестность начала координат. Следовательно, если действительная часть хотя бы одного корня характеристического уравнения положительна, то точка покоя х! = — О (у' = 1, 2, ..., и) системы (4.13) неустойчива. П р ям е р 1. Какого тннз точку покоя имеет система уравнений лк — =к — у Ж вЂ” = 2к+Зу? л'у л! Характеристическое уравнение ~1 — л — 1) нли З! — 4З+ 3= О 2!4 ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ !ГЛ.
4 имеет корни Ь,л = 2 1, следовательно, точка покоя х =- О у = О являетси неустойчивым фокусом. П р и м е р 2. х = — а'х — 2Ьх — уравнение упругих колебании с учетом трения или сопротивления среды (при Ь > О). Переходя к эквивалентной системе уравнений, получим х=у, у =- — а'х — 2Ьу. Характеристическое уравнение имеет вид — Ь ! =- О или Ьт+ 2ЬЬ+ аз=О. — а' — 2Ь вЂ” Я откуда Ььэ — Ь ж УЬэ — 'г'.
рассмотрим следующие случаи: !) Ь вЂ”.— О, т е. сопротивления среды не учитываются. Все движения периодические. Точка покоя в начале координат является центром. 2) Ьт — ат < О, Ь > О. Точка покоя являегся устойчивым фокусом. Колебания затухают. 3) Ьт — а'и> О, Ь > О. Точка покоя является устойчивым узлом. Все решения затухающие, неколеблющиеся. Этот случай нзступает, если сопротивление среды велико (Ь > а).
4) Ь < О (случай отрицательного трения), Ь' — а' < О. Точка покоя является неустойчивым фокусом. 5) Ь < О, Ьт — а' > О (случай большого отрицательного трения). Точка покоя является неустойчивым узлом. П р н и е р 3. Исследовать на устойчивость точку покоя системы уравнений г(х — =2у — х, лт — = Зх — 2л. пт г(г — = 5х — 4у. пт Характеристическое уравнение имеет вид — А 2 — 1 3 — А — 2 =О 5 — 4 — Ь или Л' — Од+3= О.
Определить корни кубического уравнения в общем случае довольно трудно, однако в данном случае один корень Ь, =- ! легко подбираегся. и так как этот корен~ имеет положительную действительную часть, то можно утверждать, что точка покоя х = О, у = О, х = О неустойчива. 2!д ВТОРОЙ МЕТОД А. М. ЛЯПУНОВА В 3. Второй метод А. М. Ляпунова Выдающийся русский математик Александр Михайлович Ляпунов в конце Х1Х века разработал весьма общий метод исследования на устойчивость решений системы дифференциальных уравнений — С' — — Ус(Е х<, хм ..., х„) (1=1, 2, ..., и), (4.!4) получивший название второго метода Ляпунова, Теорема 4.с (теорема Ляпунова об устойчивости). Если существует дифференцируемая функция о(х,. хг, ..., х„), на- зываемая функцией Ляпунова, удовлетворяющая в окрест- ности начала координат следующим условиям: !) О(хо хг, ..., х„) )~ О, причем о = О лишь при х, =О (1=1, 2, ..., а), т.
е. функция о имеет строгий минимум в начале координат; е до ъч до 2) — „=у — д,сс(Г, хо .... х„) <О при г)~гь, п<о точка 3 <=1 по!соя х,= — О (1=1, 2, ..., п) устойчива. до Производная — в условии 2) взята вдоль интегральной кривой, т т. е. она вычисленз в предположении, что аргументы х! (!= 1, 2, ... ..., и) функции о(хо х,, ..., х„) заменены решением хс(Г) (<= =1, 2, .... и) системы дифференциальных уравнений (4.14).
е до Ч ! до дх! Действительно, в этом предположении — = ~ — — илп зад!,йв дх< д< с=! дх< меняя — правыми частями системы (4.! 4), окончателы<о получим дг до %'< до — с!(г, х!. хм, х„). < 1 Доказзтельство теоремы Ляпунова об устойчивости. В окрестности начала координат, как и в окрестности всякой точки строгого минимума (рис. 4.10), поверхности уровня О(х<, хз, ..., х„)=с фУнкции о(хп хз, ..., х„) ЯвлЯютсЯ замкнутыми поверхностями, внутри которых находится точка минимума — начало координат. Зададим е ) О.
При достаточно малом с ) О поверхность уровня о = с целиком лежит в е-окрестности начала координате), но не проходит через начало координат, следовательно, можно выбрать 6 ) О такое, что 6-окрестность начала ') Точнее, по крайней мере одна замкнутар компонента поверхности уровня о с лежит в е-окрестности начала координат. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ [ГЛ. Ф координат целиком лежит внутри поверхности о=с, причем в этой окрестности и ( с. Если начальная точка с координатами х, (Рэ) (1= 1.
2...., и) выбрана в Ь-окрестности начала координат (рнс. 4.11) и, следовательно, т[(х[((э), хэ(го), хл(го))=с! Сс то при 1) гэ точка траектории, определяемой этими начальными условиями, не может выйти за пределы е-окрестностн начала координат и даже эа пределы поверхности уровня о=с. так как, в силу , Рис. 4.10. Рис. 4.11. условия 2) теоремы, функция о вдоль траектории не возрастает и, следовательно, при ! )~1э Ф(х! (1), хэ (1), ° ..
хл(Е) ) ~( с! ( с. Замечание. А. М. Ляпунов доказал теорему об устойчивости в более общих предположениях, в частности, он считал, что функция о может зависеть и от й о=о(Г, хн хэ, ..., х„). При этом для справедливости теоремы об устойчивости первое условие надо заменить следующим о(1, хн хэ, ..., Х„))~тв(х[, х,, ..., х„))~0 в окрестности начала координат при 1)~1э, где непрерывная функция тв имеет строгий минимум в начале координат, о(1, О, О...., 0) = де =тд(0, О, ..., 0)=0, а второе условие остается прежним — . О, дт но только в этом случае л дэ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
