Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 36
Текст из файла (страница 36)
то их порядок где у! — лифференцируемые в окрестности начала координат функции, часто применяется слелующий метод: пользуясь дифференцируемосгью функций Г!(г, хп х,, ..., х,), представляют систел!у (4.14) в окрестности начала координат х; = О(1= 1, 2, ..., п) в виде 1 — '= У ар,(Г)ху+й!(Г, хп х,, ..., х„)(!'=1, 2, ..., и), (4.15) 1=! 222 1гл. ° теОРия устойчивости выше пеРвоао относительно ~7 лг хзг) и все коРни хаРакте'ч\ ! ! ристического уравнения оп й а~г ам азз — Й ... аз„ =О (4.17) а„ а„...
а„„вЂ” я имеют отрицательные действительные части, то тривиальные решения к~=О((=1, 2, ..., и) системы уравнений (4.15) и системы уравнений (4.16) асимптотически устойчивы, следовательно, в етом случае возможно исследование на устойчивость по первому приближению. Теорема 4.5. Если система уравнений (4.15) стационарно в первом приближении, все функции й, удовлетворяют условиям предыдущей теоремы, и хотя бы один корень характеристического уравнения (4.17) имеет положительную действите гьную часть, то точки покоя х;=О(1=1. 2, .... п) системы (4.15) и системы (4.!6) неустойчивы, с,тедовательно, и в етом случае возможно исследование на устойчивость по первому приближению.
Теоремы 4.4 и 4.5 в отношении ограничений, налагаемых на корни характеристического уравнения, не охватывают лишь так называемый критический случай: все действительные части корней характеристического уравнения неположительны, причем действительная часть хотя бы одного корня равна нулю. В критическом случае на устойчивость тривиального решения системы (4.15) начинают влиять нелинейные члены )сг и исследование на устойчивость по первому приближению, вообше говоря, невозможно, Локазательство теорем 4.4 и 4.5 можно найти в книге И. Г.
Малкина !2!. Лля того чтобы дать представление о методах доказательства таких теорем, мы приведем доказательство теоремы 4.4 в предположении, что все корни характеристического урзвнения д, действительны и различны Д,<0(! 1,2,...,п),и,фдзприг+7. В векторных обозначениях система (4.15) и система (4.16) примут соответственно вид — АХ+ й, йХ йт (4 15в) (4.16ь) исследовании нл кстопчивость 223 где х, ' ан аы ." а2Л И Ла ам а22 ... аал!, 2О ~ал, опт ° .. апл1 ~Р )'! У~( 'бн Ь„... Ь,„~ ) Ул', В ам Ь22 ...
Ьлл 1. ~ЬЮ (222 ''' бпл) ~ Ул~ преобразуем систему (4.16 ) к виду  — =- АВ)' или — = В АВ)'. Подбепу' 2 2(т ' и рем матрицу В так, чтобы матрица В ' АВ была диагональной: 0 0 ... 0 О ... 0, !)д, )о О Лл ... О 0 О ... а„~ При атом система (4.16) преобразуется в — =д2У2 ((=1, 2, ..., л), "У2 пт а система (4.15) при том же преобразовании переходит в Луг — = Л,у,+Юг (й уо ул,,...
Ул)(2 = 1, 2, ..., и), лт (4.18) 1 п — +а 12 где 1 Р2~ < п2 д.а уг) , дг †постоянн величина, а > О, г'в. т. 12=1 Для системы (4.!8) функцией Ляпунова, удовлетворян2п(ей условиям теоремы об асимптотической устойчивости, является 2 2=2 Действительно, 1) " (У Ум °... У ) > О, о (О, О, ..., О) = 0; л л л л 2) т =2 у У,— „=2 У л,у,+2 У лгузй,( У й,у <О 2 1 С помогцьв невырожденного линейного преобразования с постоянными коэф- фициентами Х = В)", где !Тл. з ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ л'о — ( — 8 < О. л! Пример 1. Исследовать на устойчивость точку покоя х=О, у=О системы зх ) нг — = х — у+ ха+ ут з!и т, ) — =х+у — уд зт Нелинейные члены удовлетворяют условиям теорем 4А и 4.5.
Исследуем на устойчивость точку покоя х=- О. у=О системы первого приближения йх — =- х — у. з'т Ту (4.20) 1 — Д вЂ” 1~ Характеристическое уравнение ~ 1 — — 0 имеет корни к, т — — 1 ж 1, 1 Л1= следовательно. в силу теоремы 45 точка покоя сне~ем ~4 !Ч: я (4.20) неустойчива. П р и м е р 2. Исследовать иа устойчивость точку покоя х = О, у = 0 системы зх — =- 2х+8юп у, оз 1 и'у — = 2 — е" — Зу — соху лг (4.21) Разлагая з!пу, е" и соз у по формуле Тейлора, представляем сне~ему в виде лх тту л! = 2х+ Зу+ ЛР— = — х — Зу+ )1,, т(! где тт, и ттз удовлетворяют условиям теорем 4А и 4Л. !2 — й 8 Характеристическое уравнение ~ = 0 для системы пер— 1 — 3 — Д! ного приближения и'х — = 2х+Зу, — —.— — х — Зу т(Г ' тт( (4.22) имеет корни с отрицзтелштыми действительными частями.
Следовательно, точка покоя х О, у 0 систем (4.21) и (4.22) асимптотически устойчива. ч прн достаточно малых ут, так как все й! < О, а улвоенная сумма 2 и.", Дтутйт ~=! при достаточно малых у! может быть сделана по модулю меньше сума мы ~~~~~ Лгу!. т'= 1 Наконец, вне окрестности начала координат исследование нл остопчивость Пример 3. Исследовать нз устойчивость точку покоя х О, у О системы — — 4у — х, ах з аг (4.23) ау аг — = Зх — у'. — Ф вЂ” 4 Характеристическое уравнение ~ ~ = 0 для системы первого приближения имеет чисто мнимые корни — критический случай.
Исследование по первому приближению невозможно. В данном случае легко подбирается функция Ляпунова о = Зхз + чу'. 1) о(х, у) ) О, о(О, 0) О; й'о 2) — = бх( — 4у — х )+ау(Зх — у') = — (бх'+Зу ) к,О, причем вие аг' ло некоторой окрестности нзчзлз координат — < — р < О, следовательно, ~очка аг покоя х = О, у = 0 по теореме предыдущего параграфа зсииптотнчески устойчива. Остановимся несколько подробнее на последнем примере. Система уравнений первого приближения — = — 4у, — =Зх пу а) ' л'г (4.24) имела в начале координат центр. Наличие нелинейных членов в системе (4.23) превратило этот центр в устойчивый фокус. Аналогичная, но несколько более сложная геометрическая картина наблюдаегся и в оббгем случае. Пусть система первого приблизкения для системы Их, — = аих, + а„х, + Й, (хо х ), Их, — = амх, + аззхт+ Йз(хо хз) (4.25) 1б л.
э. эльггольц имеет точку покоя типа центра в начале координат. Предположим, как и на стр. 221, что нелинейные члены Й,(хи х,) и Й,(хо х,) имеют порядок выше первого относительно у'х',+хз. Эти нелинейные члены в достаточно малой окрестности начала координат малы по сравнению с линейными членами, но все же они несколько искажают поле направлений, определяемое линейной системой первого приближения, поэтому выходящая из некоторой точки (ха, уз) траектория после обхода начала координат немного смещается по сравнению с проходящей через ту же точку траекторией линейной системы ТЕОРИЯ УСТОИЧИВОСТИ 1гл. 4 и, вообще говоря, не попадает в точку (лв, уе) — траектория не замыкается. Если после такого обхода начала координат все траектории приближаются к началу координат, то в начале коорлинат возникает устойчивый фокус; если же траектории удаляются от начала коор.
динат, воаникает неустойчивый фокус. В виде исключения возможен также случай, при котором все траектории нелинейной системы, расположенные в окрестности начала координат, остаются замкнутыми, однако наиболее типичным надо считать случай, при котором лишь некоторые (может быть, и ни Рнс. 4,14. Рис. 4.15. одной) замкнутые кривые остаются замкнутыми, а остальные превращаются в спирали. Такие замкнутые траектории, в окрестности которых все траектории являются спиралями, называются предельными циклами. Если близкие к предельному циклу траектории являются спиралями, приближающимися при 1-«со к предельному циклу, то предельный цикл называется устойчивым (рис. 4.14); если близкие к предельному циклу траектории являются спиралями, удаляющимися от предельного цикла при à — «Оо, то предельный цикл называется нвуслгойчивьгм; если же с одной стороны предельного цикла при à — «со спирали приближаются к предельному циклу, а с другой стороны удаляются от него (рис.
4.15), то прелельный цикл называется иолуусглойчивым. Итак, переход от системы первого приближения (4.16) к системе (4.25) приводит, вообше говоря, к превращению центра в фокус, окруженный р (случай р=О не исключается) предельными циклами, На стр. 154, исследуя периодические решения автономной квази.шнейной системы х+ аял= Ру(л. х, р), (4.26) вц пеизнлки отеицлтельностн депствительных члстеп 227 мы уже встречались с аналогичным явлением.
Действительно, заменяя (4.26) эквивалентной системой, получим »=у, у= — азх+ру'(х. у, р). (4.27) Соответствующая линейная система: х=у, у = — а'х имеет в начале координат точку покоя типа центра; добавление малых при малом р нелинейных членов превращает центр, вообще говоря, в фокус, окруженный несколькими предельнымн циклами, радиусы которых н определялись из уравнения (2.!28), стр. !56. Различие между случаями (4.25) и (4.27) заключается лишь в том, что члены Й, и Йг малы лишь в достаточно малой окрестности начала координат, тогда как в случае (4.27) слагаемое !г/(х, у, р) может быть сделано малым прн достаточно малом р не только в достаточно малой окрестности начала координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
