Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 39
Текст из файла (страница 39)
13. х+2х+ 5х+Зх= соя й Устойчиво ли периодическое решение етого уравнения. 14. Исследовать на устойчивость точку покоя х О, умяО системы -уб+хб у--тб+уб 15. Исстедовать на устойчивость рсшения системы уравнений х = Зу — 2х + л', у = 5х — 4у+2. 18.
Исследовать на устойчивость тривиальное реш иие уравнения х+ 2х+ Зх+ 7 зй х О. 17. Исследовать иа устойчивость тривнальпое решение уравнения х+(а — 1) х+(4 — аб) х =. О, где а — параметр. 18. Устойчиво ли решение х О, у=О системы х Зу — хб у — 4х — Зуб чри постоянно действующих возмущениях.
240 ТЕОРИЯ УСТОИЧИВОСТИ 19. Устойчиво ли тривиальное решение системы х (т) = Ах(т), где Х(т) — вектор в трехмерном пространстве, а А 0 ! 1 20. Исследовать на устойчивость решения уравнения х+ 4х+йх 21. Исследовать на устойчивость решения уравнения х+9х = а1пй 22. х+х= соей Найти периодическое решение и исследовать его иа устойчивость. 23.
Найти область устойчивости х+ ах+(1 — а)х =-О. 24. х+ х+ а'х+йпх = О. Найти область устойчивости. ГЛАВА 5 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА я 1. Основные понятия Как уже отмечалось во введении (стр. 10), дифференциальными уравнениями в частных ароизводных называются дифференциальные уравнения, в которых неизвестные функции являются функциями более чем одной независимой переменной.
Очень многие физические явления описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Уравнение ( — ~ +~ — ) +~ — ) =а(х, у, г) описывает распространение световых лучей в неоднородной среде с показателем преломления а(х, у, е); уравнение ди деи — = аз— дг — дхе описывает изменение температуры стержня; уравнение д'и д'и ае ар дх' являетсв уравнением колебания струны; уравнению Лапласа деи деи деа — + — + —,=0 дх' ду' дее удовлетворяет потенциал поля в областях, не содержащих ззрядов, и т. д. В этой главе мы кратко рассмотрим лишь методы интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, теория которых тесно связана с интегрированием некоторых систем обыкновенных уравнений. Уравнениям в частных производных более высокого поравка.
интегрирующимся' совсем иными методами. посвящается отдельнаи книга серии. 16 Л, в. вльегольч 242 твлвнвння в частных п»онзводных па»ного по»ядкл [гл.а Рассмотрим несколько простейших примеров. Пример 1. ч~ у+ х. де(х, у) дх Интегрируя по х, получаем х» л (х, у) . у+ — + ф (у), 2 где ф (у) — произвольная функция у. Пример 2.
она(х, у) д 1 де) =О или — ~ — ~=0. дх оу дх(ду ~ дг Интегрируя по х, получаем — =ф(у), где ф(у) — произвольная функция у. ду Интегрируя теперь по у, получим = ~ ф (у) ау + ф~ (х) где ф, (х) — произвольнав функция х. Или. обозначая ~ф(у) еу=ф (у), окончательно будем иметь е (х. у) = ф, (х) + фь (у), где ф,(у), в силу произвольности функции ф (у), гоже является произволь- ной дифференцнруемой функцией у.
Приведенные примеры наводят на мысль, что общее решение дифференциального уравнения в частных проиаводных первого порядка зависит от одной проиавольной функции, общее решение уравнения второго порядка зависит от двух произвольных функций, а общее решение уравнения р-го порядка, вероятно, аависит от р произвольных функций. Эти предположения оказываются справедливыми, но нуждаются в уточнении. Для их уточнения сформулируем теорему С. В. )(овалевской о существовании и единственности решения уравнения в частных производных.
Теорема б.у (теорема Ковалевской). Суи(ествует единственное аналитическое в окрестности точки хю, хге, ..., хаз решение уравнения, разрешенного относительно одной из производных максимального порядка д»л / дл дгл д» ге де дге дх" ( дхг дхг дх, дхг дхг дхг дге д»е 1 дхгя дх») линейные и квлзилиссеииые гвлвнения 243 удовлетворяющее условиям дг п,ои х=хсо, Я=фг(хг, хз, ..., х„), д =фс(хг, хз, . ° .. х„), ° ° ° ~3 де сг ..., —,=-ср„с(х,, х, ..., х„), хс'=' й 2.
Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка Пикейным неоднородным уравнением или квазилинейнылс уравнением первого порядка е часпсных производных называется уравнение вида дг де Х,(х,, хг, ..., х„, г)дх -1- Х,(хн хг ° ° ., Хо г) + ° ° ° ~1 дхс дг ... + Х„(х„хг, ..., х„, г) д —— Е(х„хг, ..., х„. г).
(5.1) Это уравнение линейно относительно производных, но может быть нелинейным относительно неизвестной функции г. Если правая часть тождественно равна нулю, а коэффициенты Хс не зависят от г, то уравнение (5.1) называется линейным однородным. Для большей наглядности геометрической интерпретации рассмотрим вначале квазилинейное уравнение с двумя независимыми переменными: Р(х. у г) д +Ю(х, у. ) д =)((х. у. ). дг де дх ду ФуНКцИИ Р, СЕ И ст будЕМ СЧнтатЬ НЕПрЕрЫВНЫМИ В раССМатрнзаЕМОй области изменения переменных и не обращающимися в нуль одновременно.
(5.1 ) 1бв если функнии сро, суп ..., сре, являются аналитическими функИиями е окрестности начальной точки хго, хзо, ..., хлш а у' является аналитической функцией е окрестности начальных значений своих аргументов хю, хго, ..., хоо со= = сро (хго хзо ° ° ° хоо) (=")='- "" ( — ":~=( — "-") Решение определяется заданием начальных функшсй фте сун ... произвольно меняя которые в классе аналитических функций, мы получим совокупность аналитических решений исходно~о уравнения (А), зависящую от р произвольных функций. Доказательство этой теоремы, требующее применения теории аналитических функций, мы опускаем. рассмотрим непрерывное векторное поле Р=Р(л-, у, )[+(е(х, у, «))+)с(х, у, «))с, где ), ), )г — единичные векторы, направленные по осям координат. Векторные линии этого поля (т, е.
линии, касательная к которым в каждой точке имеет направление, совпалающее с направлением вектора Г в той же точке) определяются из условия коллинеарности вектора ! = )Т[х +)[[у + [[ д«, направленного по касательной к искомым линиям, и вектора поля р: Р(х, у г) [)(х, у. г! [т(х, у, е) Поверхности, составленные из векторных линий, точнее, поверхности, целиком содержащие векторные линии, имеющие хотя бы одну общую точку с поверхностью, называются векл[орными иоверхноси[ими (рис. 5.!). Очевидно, векторные поверхности можно получить, рассматривая множество точек, лежащих на произвольно выбранном, непрерывно зависящем от параметра, однопараметрическом семействе векторных линий.
Векторная поверхность характеризуется тем, что вектор М, направленный по нормали к поверхности, в любой точке поверхности ортогонален вектору поля р[ ([ь[. В) =(). (5.2) Если векторная поверхность опрелеляется уравнением « =у'(х, у), то вектор де . , Ое Р[= — ! -[- — ) — )с дх ду и условие (5.2) принимает вил Р(х, У «) д +([ х' У' «) д )Е(х >Ч «). (5.3) де де Если векторная поверхность залается ди . ди и, следовательно, вектор Р[ = — ! -[- †) дх ду приобретает вил ди ди )д ~ 'У' д + уравнением и(х, у.
«) =0 ди -[- — [с, то уравнение (5.2) де й(х, у, «) — =О. (5.4) ди де Следовательно, для нахождения векторных поверхностей надо проинтегрировать квазилинейное уравнение (5.3) или линейное одно- 244 уРАВнения В чАстных пРОНЗВОдных пеРВОГО пОРядкА [Гл. а ЛИНЕПНЫЕ И КВАЗИЛИНЕИНЫЕ УРАВНЕНИЯ 245 $2! родное уравнение (5.4) в зависимости ог того, ищем лн мы уравнение искомых векторных поверхностей в явном нли неявном виде. Так как векторные поверхности могут быть составлены из зекллоримх линий, то интегрирование уравнения (5.3) (или (5,4)) сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений векторных линий.
Составляем систему дифференциальных уравнений векторных линий (5.5) Р (х, у..) <>(х, у, х) Р (х, у,г) ' Пусть ф,(х, у, г)=с, и фз(х, у, г)=с2 — два независимых первых интеграла системы (5.5). Выделяем нз лвухпараметрического семейства векторных линий ф1(х, у, г) =сн фз(х, у, г) =с2, называемых характеристиками уравнения (5.3) (или (5.4)), произвольным способом однопараметрическое семейство, устанавливая какую- нибудь непрерывную зависимость Ф(с,, с2) = О между параметрами с, и с,. Исключая из системы ф,(х, у, г) = сн ф,(х, у, г) = с, Ф<сн с ) = О параметры с, и ся, получаем искомое уравнение векторных поверхностей: Ф (фл(х, у, г), ф,(х, у, г)) = О, (5.6) где Ф вЂ” произвольная функция. Тем самым найден интеграл квази- линейного уравнения (5.3), зависящий от произвольной функции.
Если требуется найти не произвольную векторную поверхность поля Е=Р(х, у, г)!+9<х, у, г)) +)с(х, у, г))г. а поверхность, проходящую через заданную линию, определяемую уравнениями Ф, (х, у, г) = О и Ф2 (х, у, г) = О, то функция Ф в (5.6) уже ие будет произвольной, а определится путем исключения переменных х, у, г из системы уравнений Ф, (х, у, г) = О, Ф,(х, у, г) = О, ф,(х, у, г)=с,, ф2(х, у, г)=ся, которые должны одновременно удовлетворяться в точках заданной линии Ф,=О и Фа=0, через которую мы проводим характеристики, определяемые уравнениями фл(х, у, г)=с,, ф,(х, у, г)=ся. Заметим, что задача станет неопределенной, если заданная линия Ф,(х, у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
