Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 35
Текст из файла (страница 35)
дэ %1 де — = — +,7 —,у(1, х[, хэ, .... х ). дт д лй дХ! [=! 2!т втооои метод ь м ляпкновл аз! Схема доказательства остается прежней, кало сально принять во внимание, что, в силу условия 1), подвижная при изменяющемся ! поверхность уровня о(1, хп хг..., х„) =с остается при всех изменениях !)~ге внутри поверхности уровня то(хо х,, ..., х„)=с (рис. 4.12). Теорема А2 (теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости). Если существует дифференцируемая функция Ляпунова о(хп хг, ..., х,), удо- г влетворяющая условиям: 1) о(хо х,, хв! имеет г=ы!ц,гг! строгий минимум в начале координат: о (О, О, ..., 0) = 0; 2) производная, функции о, вычисленная вдоль интегральных кривых системы (4.14) во ь!! = в %1 до — у!(1, хн х,, ..., х ) <О, л'и дх! ! ! причем вне сколь угодно малой Рис.
4.12. окрестности качала коордив г нат, т.е. при ~ хг)~б!>О, г> Т„) 1, производная „— < — р <О, где р — постоянная, то точка покоя х,=О (1=1, 2, ..., и) системы (4.!4) асимптотически устойчива. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как условия теоремы об устойчивости выполнены, то для каждого е ) 0 можно подобрать б(е) > 0 такое, что траектория, начальная точка которой находится в б-окрестности начала координат, при !)~!в не выходит за пределы е-окрестности начала, координат. Следовательно, в частности, вдоль такой траектории при ! ) Т, выполнено условие 2), поэтому вдоль траектории функция о монотонно убывает с возрастанием г, и вдоль траектории существует предел функции о при 1-ьсо: !нп о(г, х,(!), хг(!), ..., х„(!)) =а)~0.
Надо доказать, что а=О, так как если а=О, то из условия 1) следует, что 1ип х,(!)=О (1=1, 2, ..., п), т. е. точка покоя г.+ х,=О (1=1, 2, ..., п) асимптотически устойчива. 1(опустим, что а > 0; тогда траектория при ! ) гв находится и области 'о )~ а', следовательно, вне некоторой б,-окрестности начала координат, т. е. (гл. 4 теооия устоичиности 218 йо там, где по условию 2) — < — Р<0 при Е>Т .
Умножая неравенство йо йŠ— < — р на йЕ и интегрируя вдоль траектории в пределах от Т, до Е, получим: (х(Е)х(Е)х(Е))о(Е(ТО)хг(ТО)х(Т))< Р (Е ТО) нли о(х,(бй х,(Е)...., х„(Е)) < <о(х!(Ть), хг(Тв), ..., х,(Т,)) —.!1(Е Т,) Прн достаточно большом Е правая часть отрннагельна, а следовательно, и о(х,(Е), ха(Е)...., х„(Е)) (О. что ирою!воречит условию !). 3 а м е ч а и и е.
Теорема об асимпзотнческой устойчивости обобщается на случай функции о. зависящей от Е. хо х, ..., х„, если первое условие, как и в предыду- 1 '/' щей теореме, заменить следующим: 'о(Е, х1, хз, ..., хь))~ ) е(х! хз х )>О где функция ш имеет строгий минн-, мум в начале координат, и, кроме того. потребовать, чтобы функция о(Е, хо хо ..., х„) равномерно относительно Е стремилась к нулю ! при ~~ х';.— ьО.
! =. 1 Рнс. 4,13. Теорема АЗ (теорелса Че- таева о неуспгойчивости). Если существует дифференцируеман функция о(хн хз, ..., х„). удовлетворяющая в некоторой замкнутои й-окрестности начала координат условиям: !) в сколь угодно малой окрестности (Е начала координат существует область (о > 0), в которой о > О, причем о=0 на лежащей в (Е части границы области (о > 0); 2) в области (о > 0) производная Ео до — — у!(Е, Х1, хз, ..., х)>0, 1=1 йо причем в области (о)~а), а > О, производная — )~() ) О, то йЕ точка покоя х,= — 0 (Е= 1, 2, ..., и) системы (4.14) неустойчива. 219 итогом мвтол л и ляпкновл Д о к а з а те л ь с ~ в о ! !ачальную точку х, (гв), хз(га) ° ° ха(ге) возьмем в сколь угодно малой окрестности начала координат в области (о) О), о(х,(са), ха((а), ....
х„((е))=а) 0 (рис, 4.!3). Так как л'о вдоль траектории — > О, то функция о вдоль траектории не убыл'Г вает, и следовательно, пока траектория не покинет рассматриваемую й - ок р е стность на ч ала координат, где выполнены условия теоремы, траектория должна находиться в области (о ) а).
Допустим, что траектория не покидает л - о к рестност и начала к оо рди н ат. Тогда в силу л'п условия 2) вдоль траектории при Г )~ Г производная — „)~ р ) О. умножая это неравенство на с!Г и интегрируя, получим: ту (х! ((), хз ((), ..., х„(!) ) — о (х, (Гв), ха ((с) °, хь (Гс) ) )~ Р (! — Гс) откупа следует, что цри Г-ьоа функция о вдоль траектории неограниченно возрастает, что находится в противоречии с прелположением о том, что траектория не выходит за пределы замкнутой л-окрестности начала координат, так как в втой и-окрестности непрерывная функция о ограничена. Замечание. Н.
Г. Четаев доказал теорему о неустойчивости в предположении, что о может зависеть также и от (, при атон условия теоремы несколько изменяются и, в частности, приходится требовать ограниченности функции и в области (о )~ О) в рассматриваемой л-окрестности начала координат. П р н и е р 1. Исследовать на устойчивость тривиальное решение системы: л'х — = — у — к', л'г — =х — у. лу в лг лх, Лу — = — ху', — = ухч лг ' йг Функция о(х, у) = х" + уч удовлетворяет условиям теоремы А. М.
Ляпунова об устойчивости: 1) и(х, у) = х" + у" > О, о(О, О) = О; 2) — — 4х'у' + 4х'у' нч О. ва Функция п(х, у) = х'+ у' удовлетворяет условиям теоремы А. М. Ляпунова об асимптотической устойчивости: !) о(х, у) >О, п(0, 0) = О; 2! — = 2х( — у — х')+ 2у(х — у') — 2(х" + у') (О. Вне окрестности и'Г л'и начала координат — ( — р ( О. Следовательно, решение хнчо, унабзснмпцг тотнчсскп устойчиво.
П р и и е р 2. Исследовать на устойчивость тривиальное решение хняо, ужб системы: (гл. з теОРия устоичивости Следовательно, тривиальное решение хмзО, у 0 устойчиво. Пример 3. Исследовать на устойчивость точку покоя х — О, уылО системы уравнений — =у +х', !тх дт — =хз( уз ду дт Функция о= х' — у" удовлетворяет условиям теоремы Н. Г. Четаева! 1) о>0, при 1х1>1уй 4хз (уз+ха) — 4уз (ха+ уз) 4 (хз уз) > 0 при 1х ~ > 1у1, Л ззо причем при о) а > О, — )~)) > О. Следовательно, точка покоя х=О.
у 0 ' зй неустойчива. Пример 4. Исследовать на устойчивость тривиальное решение х,=О (1=-1, 2, ..., и) системы уравнений з(хз ди(х,, х,, ..., хл) дт дх! если дано, что функция и(хь х,, х„) имеет строгий максимум в начале координат. В качестве функции Ляпунова возьием разность о(хь х,, ..., х„) = и(0, О, ..., О) — и(хь х„..„х„), которая, очевилно, обращается в нуль при х1=0(1=-1, 2, ..., а), имеет строгий минимум в начале координат и, следовательно, удовлетворяет условию 1) теоремы Ляпунова об устойчивости. Производная вдоль интегральных кривых 1=! з=! Итак, условия теоремы Ляпунова об устойчивости выполнены, следовательно, тривизльное решение устойчиво. Пример 5.
Исследовать на устойчивость тривиальное решение х,=О (! = 1, 2, ..., л) системы уравнений ах, цт — '=,т ац(т)Х, ГдЕ а;у(т)= — ад(т) Прн !чЬУ И ВСЕ ан(т) О. /=! л Тривиальное решение устойчиво, так как функция о= ~~ хз удовлетво- С 1 ряет условиям теоремы Ляпунова об устойчивости: 1) о) 0 и о(0, О, ..., 0) м О1 л л 2) „— = 2 ~~~~~ х; — „' = 2 )~~~ ~З~ а„(т) хзх) = 2 ~~) аы (т) хт! ц', О, 1! 1 221 нсслвдовлнне нл ястончнвость $ 4. Исследование на устойчивость по первому приближению При исследовании на устойчивость точки покоя х,=О(!=1, 2, ..., и) системы лифференцнальных уравнений — „' =У!(Г, хп х,, ..., х„) (1=1, 2, ..., и), (4.!4) / я где Й! имею г порялок выше первон> относительно ~/ ~г хп и 11 вместо точки покоя х,= — О(г=1, 2, ..., и) системы (4.15) исследуют на устойчивость ту же точку покоя линейной системы — '= ~! агг(!) х, (!'=1, 2..., и), г=! (4.! 6) называемой системой уравнений первого приблизкения для системы (4.!5).
Условия применимости этого метода, которым долгое время пользовались без всякого обоснования, были детально исслелованы А. М. Ляпуновым и в дальнейшем расширены трудами многих других математиков, среди которых следует в первую очередь отметить работы О. Перрона, И. Г. Малкина, К. П. Персидского, Н. Г. Четаева. Исследование на устойчивость системы уравнений первого приближения, конечно, является задачей значительно более легкой, чем исследование исходной, вообще говоря, нелинейной системы, однако даже исследование линейной системы (4.!6) прн переменных коэффициентах ач(г) является задачей весьма сложной. если же все агт постоянны, т.
е. система стацяонарна в первом приближении, то исследование на устойчивость линейной системы (4.16) не представляет принципиальных затруднений (см. стр. 212 — 213). Теорема я.4. Если система уравнений (4.!5) стационарно в первом приблизкеяии, все члены )т, в достаточно малой окрестности начала координат при Г )~Т )~!е,удовлетворяют ! я ! — ча неравенствам (А!г( ~(АГ ~~ х,.), где Аг и а — постоянные, ~=! причем а) О (т. в., если )т! яе зависят от 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
