Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 37
Текст из файла (страница 37)
В примере 2 (стр. 156) при малом !г в окрестности окружности ралиуса 6 с центром в начале координат, являющейся траекторией порождающего уравнения, воаникает предельный цикл. В приложениях устойчивым предельным циклам обычно соответствуют автоколебательные процессы, т. е. периодические процессы, в которых малые возмущения практически не изменяют амплитуды и частоты колебаний. $ 5. Признаки отрицательности действительных частей всех корней многочлеиа В предыдущем параграфе вопрос об устойчивости тривиального решения широкого класса систем дифференциальных уравнений был сведен к исследованию знаков действительных частей корней характеристического уравнения. Если характеристическое уравнение имеет высокую степень, то его решение представляет значительные трудности, поэтому большое значение имеют методы, позволяющие, не решая уравнения, установить, будут лн все его корни иметь отрицательную вещественную часть или нет. Теорема 4.6 (теорема Гурвицае)).
Необходимым и дотматочным условием отрицательности действительны» частей всех корней мкогочлена г" + а,в"-'+ + а л+ а ) « ч * « г1р и «р * \ алгебры, например в «Курсе вывшей алгебрыя А Р. Куроша. 228 [ГЛ. 4 теояня ястончнности с действительными ' коэффициентами является аолоокительность всех главных диагональных миноров матрицы Гурвица а, 1 0 0 ...
0 аз аз а, 1 ... 0 1 аб 454 453 452 457 иб аб 454 0 0 0 0 ...а„ а, 1 0 аз аз аг а5 ' 454 аз а, ! Ь,= !аь~, Ь,= Ьз = аз а, ! 0 ... 0 аз а, а, а5 454 аз 000...а„ Ь, =- Заметим, что так как Ь,=Ь„,а„, то последнее из условий Гурвица Ь, > О, Ьг > О, ..., Ь„> 0 может быть заменено требованием а,>0*), Применим теорему Гурвицз к многочленам второй. третьей и четвертой степени. а) ге+а,г+а,. Условия Гурвица сводятся к а, > О, аз > О.
Эти неравенства в пространстве коэффициентов а, и аз определяют первую четверть (рис. 4.16). На рис. 4.16 изображена область асимптотической устойчивости тривиального решения некоторой системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющей условиям теоремы 4.1, если гг+а,а+аз является ее характеристическим многочленом. *) Заметим, что из условий Гурвица следует, что все аь > О, однако положительность всех коэффициентов недостаточна для того, чтобы действительные части всех корней были бы отрицательными, По главной диагонали матрицы Гурвица стоят коэффициенты рассматриваемого многочлена в порядке их нумерации, начиная с а, до а,.
Столбцы состоят поочередно нз коэффициентов только с нечетными или только с четными индексами, включая и коэффициент аб — — 1, следовательно, элемент матРицы ды — — аы ь. Все недостающие коэффициенты, т. е. коэффициенты с индексами, большими и или меньшимн О, заменяются нулями.
Обозначим главные диагональные миноры матрицы Гурвица: Б Б1 пРизнАки ОтРицАтельнОсти депствительных чАстей 239 61 гз+ ~,~' + а,л + оа, Условия Гурвица сводятся к а, ) О, и,и, — а, ) гд аа) О. Область, определяемая этим неравенством в пространстве .коэффициентов, изображена на рис. 4.17. в) ее+ анаа+ атла+ааг+ ач. Условия Гурвица сводятся к а,) О, а,ая — аа) О, (агвт — аз)аз — а1а, ) О, ач) О Зля рассмотренных многочленов условия Гурвица очень удобны и легко проверяемы, однако с возрастанием степени многочлена условия Гурвица быстро усложняются н часто вместо них удобнее прн- Рис.
4.17. Рис. 4.16. менять другие признаки отрицательности действительных частей кор- ней многочлена. П р и и е р. При каких значениях параметра а тривиальное решение х, =О. х, =О, ха=о системы дифференциальных уравнений кх,' лх, кх, — = х,, — = — Зх„— = ах, + 2х, — ха лг ' ег ' и'г асимптотнчески устойчиво? Характеристическое уравнение имеет вид ! — Д О 1 — 3 — а О =О или да+да — ай+6=0.
а 2 — 1 — а По признаку Гурвица условияни асимптотической устойчивости будут а, > О, а,аа — аз > О, аа > О. Эти условия в данном случае сводятся к — а — 6> О, откуда а < — 6. ~гл. л ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ф 6. Случай малого коэффициента прн производной высшего порядка Теорема о непрерывной зависимости решения от параметра (см, стр. 54) утвер'кдает, что решение дифференциального уравнения х(г)=у(г, х(г), ц) непрерывно зависит от параметра (г, если в рассматриваемой замкнутой области изменения С х и р функция У' непрерывна по совокупности аргументов и удовлетворяет условию Липшица по х: где Л' не зависит от С х и (г. В задачак физики и механики условия этой теоремы обычно выполнены, однако один случай разрывной зависимости правой части от параметра, изучению которого и посвящается этот параграф, встречается в приложениях сравнительно часто. рассмотрим уравнение р —,=у(г х) лх (4.28) где й — малый параметр.
Задача заключается в том, чтобы выяснить, лх можно лн при малых значениях ~р~ пренебречь членом р —, т. е, лг лх приближенно заменить решение уравнения р — =/'(С х) решением лг так нааываемого вырожденного уравнения г'(г, х)=0. (4.29) Мы не можем здесь воспользоваться теоремой о непрерывной зависимости решения от параметра, так как правая часть уравнения — = — у(г, х) ах ! лг (4. 28,) разрывна при ц = О. Предположим пока для упрощения, что вырожденное уравнение (4.29) имеет лишь одно решепие х=ф(Г), предположим также для определенности, что гг ) О. При стремлении параметра р к нулю л'х лх 1 производная — решений уравнения — = — у(г, х) в каждой точке, ш лт в в которой у'(Г, х)+О, будет неограниченно возрастать по абсолютной величине.
имея знак, совпадающий со знаком функции у'(С х). Следовательно, касательные к интегральным кривым во всех точках, в которых У(С х) чь О, стремятся при )г-ьО к направлению. параллельному оси Ох, причем если у'(г, х) ~ О, то решение х(Г, р) лх уравнения (4.28,) возрастает с возрастанием г, так как †„ ) О, а если случАЙ мАлОГО иоэФФициентА 281 у'(Г, х) < О, то решение х(1. 1А) убывает с возрастанием 1, так как лх — ( О. кг Рассмотрим изображенный на рис. 4.18 случай а), при котором знак функции у(1, х) с возрастанием х при фиксированном г меняется при переходе через график решения х=ф(1) вырожденного уравнения с + на — . Стрелкамн показано поле направлений касательных к интегральным кривым при достаточно малом р.
Поле направлений устремлено к графику корня вырожденного уравнения. Поэтому каковы бы ни г~', ежа Рис, 4,!9. Рнс. 4.И были начальные значения х(С ) = х, интегральная кривая, определяемая этими начальными значениями, будучи почти параллельной оси Ох, устремляется к графику корня вырожденного уравнения и при возрастании 1 уже не может покинуть окрестность этого графика. Следовзтельно, в этом случае при Г)~1, ) 1, при достаточно малом р можно приближенно заменять решение х(Г, 1А) уравнения (4.28) решением вырожденного уравнения, В рассмотренном случае решение х =<р(Г) вырожденного уравнения называется устойчивым. Рассмотрим случай б) — знак функции г'(1, х) при переходе через график решения х=ф(Г) вырожденного уравнения с возрастанием х при фиксированном 1 изменяется с — на +.
14а рис. 4.19 изображено поле направлений, касательных ь интегральным кривым при достаточно малом р. В этом случае о1свидно, что каковы бы ни были, начальные вначеняя х (1р) = х, удовлетворяюшне лишь Условию г (гш хв)+О. интегРальнаЯ кРиваЯ, опРеделаемаа этими значениями, при достаточно малом р, имея почти параллельную оси Ох касательную, удаляется от графика решения х=гр(~) вырожденного уравнения.
В этом случае решение х=<р(1) уравнения (4.29) называется неустойчивым. В неустойчивом случае нельзя заменять решение х = х(1, (А) исходного уравнения решением вырожденного ТЕОРИЯ УСТОИЧИВОСТИ мх уравнения, другимн словами, нельзя пренебречь членом )ь — в уравне- лг лх нии )ь — = У(Г, х), как бы мало )т ни было. л'г' Воаможен еще третий, так называемый полуустойчивый, случай в): знак функции у(1, х) при переходе через график решения вырожденного уравцения не изменяется. На рнс.
4.20 изображено поле направлений в случае полуустойчивого решения х=ф(Г). В полуустойчивом случае, как правило, тоже нельая приближенно заменять решение исходного уравнения х=х(1, ц) решением вырожденного уравнения, так как, во-первых, интегральные крнвые, определяемые начальными ( «4О значениями, лежащими с одной 1 стороны от графика решения х=ф(Г), удаляются от этого.
1 графина, во-вторых, интеграль( ные кривые, приближающиеся к графику решения х=~р(1), могут перейти через него ,О~ )~, г,~ г на неустойчивую сторону (рис. 4.20) н после этого удаРис. 4.20, литься от графика решения х = ф (1). Наконец, если даже интегральная кривая х = х(1, (г) остается в окрестности графика решения с его устойчивой стороны, то неизбежные в практических задачах возмущения могут перебросить график решения х=х(1, ц) на неустойчивую сторону графика решения вырожденного уравнения, после чего интегральная кривая х = х (1. И) удалится от графика решения х=ф(1).
Заметим, что если на графике решения вырожденного уравнения — ( О, то заведомо решение х = ф(1) устойчиво; если же — ~ О, ду ду дх дх то решение х=ф(Г) неустойчиво. так как в первом случае в окрестности кривой х=ф(Г) функция у' убывает с возрастанием х и, следовательно, меняет знак с + на †, а во втором случае возрастает с возрастанием х и, значит, при переходе через график решения х =ф(() функция Г" меняет знак с — на + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
