Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 40
Текст из файла (страница 40)
г) = О, Ф,(х, у, г) = О является характеристикой, так как в этом случае эту линию можно включить в различные однопараметрические семейства характеристик и тем самым получить различные интегральные поверхности, проходящие через эту линию. 246 уРАВнения В чАстных пРОизВОдных пеРВОГО пОРядкА 1Гл. а Итак, интеграл квазилинейного уравнения Р(х, у, г) — + 1',)(х, у, л) — =)с(х, у, г), дл дл дх ' ' ду зависящий от произвольной функции, может быть получен следую- щим методом: интегрируем вспомогательную систему уравнений Лх ду Р (х, у, х) 1;1 (х, у, л) Й(х, у, л) и, найдв два независимых первых интеграла этой системы; ф1(х, у, л)=с,, ф (х, у, г)=сз, получаем искомый интеграл а виде Ф(ф1(х, у, л), 1фа(х, у, я)) =О, где Ф вЂ” произвольная функция. Уравнение интегральной поверхности того же квазилинейного уравнения, проходящей через заданную линию, определяемую уравнениями Ф,(х, у, л) = 0 и Фз(х, у, л) = О, можно найти, взяв упомянутую выше функцию Ф не произвольно, а определив функцию Ф(сн са) путем исключения х, у, л из уравнений Ф,(х, у, г)=0, Фя(х, у, г)=0, ф1(х, у, г)=сн фз(х, у, л)=сз, в результате чего получим уравнение Ф(сн с,)=0, и искомым интегралом будет Ф(ф(х, у, г), ф,(х, у, г))=0.
При мер 1. Определить зависящий от произвольной функции интеграл уравнения дг дтл — + — = 1. дх ду = Составляем вспомогательную систему уравнений дх =- ду = дю Ее первые интегралы имеют вид х — у = со л — х= с,. Интеграл исходного уравнения гй(х — у, л — х) = О, где Ф вЂ” произвольная функция, илн в разрешенном относительно л виде а = х + е (х — у). где гà — произвольная дифференцируемая функция. П р и и е р 2. Нанти интегральную поверхность уравнения дл дл к — — у — =О, ду дх проходящую через кривую х= о, л= уч Интегрируем систему уравнений дх ду — у х О отяуда л си ха+ у'= с,.
Исключан х. у н л из уравнений х'+у'=с,, а=си х=о, л=у', получаем с, с„откуда х = х'+ у'". ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИННЙНЫН УРАВНЕНИЯ 247 П р и и е р 3. Найти интегральную поверхность того же уравнения дл дл х — — у — =О, ду дх проходящую через окружность х'+ у' = 4. (5.7) Так как заданная линия (5.7) является векторной линией (характеристикой), то задача неопределенна. Действительно, интегральными поверхностями рассматриваемого уравнения являются всевозможные поверхности вращения х = Ф(х' + у'), ось вращения которых совпадает с осью Ол. Очевидно, существует бесковечное множество таких поверхностей вращения, проходящих через окружность (5.7), например параболоиды вращения л = = х'+у' — 3, 4х=х'+у', х= — х' — у'+5, сфера х'+у'+л'=5 и т.
д. Если уравнение кривой, через которую требуется провести интегральную поверхность уравнения (5.1,) дано в параметрической форме: хэ = хо (а) уэ = уо (з) ло = ло (з) то обычно и решение удобно искать в параметрической форме: х = х (А з), у = у (Г, з), х = х (й з). В систему (5.5), определяющую характеристики, вводим параметр Д полагая дх ду Р(х, у, х) О(х, у, л) )7(х, у, л) Для того чтобы характеристики проходили через заданную кривую, ищем решение системы (5.51), удовлетворяющее при Г=О (или Г=гэ) начальным условиям: х = хэ(з) у = у (з) л = а (а).
При таких начальных условиях при фиксированном з получим характеристику, проходящую через фиксированную точку кривой (Б). Прн переменном з получим семейство характеристик х=х(йз), у=у(5 г), х=л(д з), (в) проходящих через точки заданной кривой (Б) (при этом предполагается, что заданная кривая (Б) не является характеристикой). Множество точек, лежащих иа этом семействе характеристик (В), и образует искомую интегральную поверхность. Пример 4.
дх дх — — — = 1. дх ду Найти интегральную поверхность, проходящую через кривую хэ з, уэ=з' ха=э'. Система уравнений, определяющая характеристики, имеет вид дх = — ду = дл =' дй Ее общее решение х=т+си у — Ф+сь а=г+са Пользуясь начальными услоииями, определяем протювольные постоянные и окончательно получаем у 4+аз л 4+аз 248 УРАВНения В ЧАСтных ПРОИЗВОДНЫХ ПеРВОГО ПОРЯДКА 1ГЛ. а Перейдем теперь к случаю п независимых переменных. Естественно ожидать, что указанная выше для трехмерного случая схема решения может быть распространена и на (и+1)-мерный случай. Начнем с исследования однородного линейного уравнения дл дл Х! (х! хя, хл) + Хз (х! хт' ' ' хл) д + дх! дхл + Хл(х!' хгл ', хл) д — — О, (5.8) дл где непрерывные функции Х,(хн хю ..., хл) не обращаются в нуль одновременно ни в одной точке рассматриваемой области и имеют в той же области ограниченные частные производные.
Составляем вспомогательную систему уравнений (5 9 Х,(х„х,, ..., хл) Х,(хь х„..., х„) ''' Хл(х!,хл, ...,хл)' которая при указанных выше ограничениях удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности. Находим и — 1 независимый первый интеграл системы (5,9): ф!(Х!, Х,...,, Хл)=СР ф,(хн х, х)=с,, фл-!(х! хт' ' ' '' хл) =ел-! В ПрОСтраНСтВЕ С КООрдИНатаМИ ХР ХР ..., Хл Вта СИСтЕМа ИН- тегралов определяет (и — 1)-параметрическое семейство линий, называемых характеристиками уравнения (5.8), Докажем, что левая часть любого первого интеграла ф(хн хю ..., хл)=с системы (5.9) является решением исходного линейного однородного уравнения' в частных производных (5.8).
Действительно, вдоль любой интегральной кривой системы (5.9) функция ф=с. Следовательно, вдоль любой интегральной кривой (5.! О) Но вдоль интегральной кривой системы (5.9) дифференциалы с(х! пропорциональны функциям ХР следовательно, в силу однородности относительно г(х! левой части тождества '~ — !(х! = О, %! дф .Аы дх! ! ! ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 249 дифференциалы бх1 могут быть заменены пропорциональными нм величинами Х1, при этом получим, что вдоль интегральных кривых системы (5.9) л ')~ — Х, = б.
(5.11) 1=1 Интегральные кривые системы (5.9) проходят через каждую точку рассматриваемой области изменения переменных хн х, ..., хл и левая часть тождества (5.11) не зависит от постоянных сн см ..., сл и, следовательно, не меняется при переходе от одной интегральной кривой к другой, значит, тождество (5.11) справедливо не только вдоль некоторой интегральной кривой, но и во всей рассматриваемой области изменения переменных хн хг, ..., хл, а это н означает, что функция ф является решением исходного уравнения л 11 Очевидно, что Ф(ф1. фг, ..., фл,) =с, где Ф вЂ” произвольная функция, является первым интегралом системы (5.9), так как вдоль интегральной кривой системы (5.9) все функции фи ф,, ..., фл, обращаются в постоянные, следовательно, и Ф(ф,, ф, ..., фл,) обращается в постоянную вдоль интегральной кривой.
системы (5.9). Значит, Е=Ф(фн ф,, ..., ф,,), где Ф вЂ” произвольная дифференцируемая функция, является решением линейного однородного уравнения (5.8). Докажем, что Е=Ф(ф1( ',, ..., Хл), фг(Х1, .... Хл), ..., ф„,(Х1, ..., „)) является общим решением уравнения (5.8). Теорема б.2. е =Ф(ф1, фг, ..., фл,), где Ф вЂ” нроизволлнан функция, является общим решением уравнения Х дв Х,(хн ха, ..., хл) — = О, 1 (5.
8) т. е. решением, содержащим все бев исключения решения этого уравнения. Доказательство. Допустим, что я=ф(хн хг, . „хл) является некоторым решением уравнения (5.8), и докажем, что существует функция Ф такая, что ф=Ф(ф1, фг, .... фл,). 2571 уРАвнения В чАстных БРОизВОдных пеРВОГО поРядкА 7тл.
а ТаК Каи ф И фм фэ, ..., фл 1 ЯВЛЯЮТСЯ РЕШЕНИЯМИ УРаВНЕ- ния (5.8). то л '~',х,— '" =о, л дх, (5.12) Рассматривая систему (5.!2) как линейную однородную систему и уравнений относительно Х, (1 = 1, 2, ..., и) и замечая, что эта одно- РОДНаЯ СИСтЕМа В КажДОй ТОЧКЕ ХР Х7, ..., Хл РаССМатРИВаЕМОй области имеет нетривиальное решение, так как Х,(хн ха, ..., хл), по предположению, не обращаются в нуль одновременно, приходим к выводу, что определитель этой системы д1л-~ д717л 1 дфл 1 дх, дх7 ' ' д.лл тождественно равен нулю в рассматриваемой области.
Но тождественное обращение в нуль якобиана функций ф ф1, ф7... ° , ф„ указывает на наличие функциональной зависимости между этими функциями: Г (ф, ф,, ф,, ..., фл ,) = О. (5.1 3) 77 силу независимости первых интетралов ф,(хо хэ, ..., хл) = с, (1 = 1, 2.. . и — 1) системы (5.9) по крайней мере один из миноров (и — 1)-го порядка якобиана 77 (Ф 21, Ч77. ° ° °, ф -Н О(х1, х7 х7, ..., хл) д7Р дч1 дх, дх, д7э1 дч11 дх, дх7 д1)7 д7ь7 дх, дх7 д11 дхл де1 дх» д717 дхл ЛИНЕННЫЕ И КВАЗИЛИНЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ 251 4 г! вила О (фь фь ", фи) ии(ха, ха- '' ха ) отличен от нуля. Следовательно, уравнение (5.! 3) можно представить в виде ф=Э(фп ф,, ..., ф.,). П ример 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
