Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Решение системы (Г), зависящее от двух произвольных функций, можно найти, применяя тот же метод. во взяв первые интегралы системы (Д) в наиболее общем аиде: Ф,(ф, (х, У, и, о), фт (х, У, и, о), ф, (х, У, и, о) ) О, (Е) Ф,(ф (х, у. и. о), фэ(х, у, и, о), фз(х, у, и, о) ) О, гле ф, (х, у, и о), ф, (х, у, и, о) и ф, (х, у, и, о) — независимые первые интегралы системы (Д), а Ф, н Ф,— произвольные функции (см.
стр. 249). Уравнения (Е), если сложные ф)н.ции Ф, и Ф, независимы относительно и и о, определяют решения и(х, у) и о(х, у) системы (Г) как неявные функции х и у, зависящие от выбора произвольных функций Ф, и Фэ. ф 3. Уравнения Пфаффа В 9 2 мы рассматривали две аадачи, естественно возникающие при изучении непрерывного векторного поля г = Р( г, у, я)1+(~(х, у, х)1+ )т(х, у, г))г. Это — задачи о нахождении векторных линий и векторных поверхностей. Почти так же часто возникает задача о нахождении семейства поверхностей (у(х, у, г) = с, ортогональных к векторным линиям. Уравнение таких поверхностей имеет вид (г ° 1) = О.
где 1 — вектор, лежащий в касательной плоскости к искомым поверхностям: 1=1дх+) Иу+ й г(л, нли в развернутом виде Р(х, у, г)г(х+(З(х, у, г)с(у+)с(х, у, г)с)я=О. (5.21) Уравнения вила (5.21) называются уравнениями Пфаффа. 25б квлвнення в частных п>«онзвопных пвввого повалил Если поле Г=Р1-(-ьг)-+ >сн потенциально: Г=дгад(), т. е. Р= —, ()= —, )(= —, д(>' д(>' д(>' д» ' ду ' дл ' гле криволинейный интеграл берется по любому пути между выбранной фиксированной точкой (х,. уе, гз) и точкой с переменными коорднкатамк (х, у, г), например, по ломаной, состоящей из прямолинейных отрезков, параллельных осям коорлннат.
Если же поле Г не потенциально, то в некоторых случаях можно подобрать скалярный множитель р(х, у, г), после умножения на который вектора Г поле становится потенциальным. Если такой множитель существует, то )>Г=цгад У нли д(«' д(.> дб> иР= —, (>(,> = —, рй =— и, следовательно, д(НР> дд(н()) ду дл д(н(;>) д(рй) д(рй) д(нР) ду ' л» или дР д(» ! > дк д>«> Р ду дх Н 1, дк ду )' дЕ дЛ д» ду !«(, ду д»)' д)! дР ! ! дн «>н ! — — — = — Р— — И вЂ” . дх д» н (, д» дл)' Умножая первое из этих тождеств на й, второе на Р, третье на (;) и складывая почленно все три тожлества, получим пеобхолнмое условие существования интегрирующего множителя рл или (Г го! Г) = О, тле вектор го! à — вихрь поля — определяется равенством (д~ д(;> ),. ~ дР д)! ~. ( д() дР ~ Если это условие.
называемое условием полной интегрируемости уравнения (5.21), не выполнено, то не существует семейства поверх- то искомыми цоверхностями являются поверхности уровня ()(х, у, г)=с потенциальной функции ЕГ. В этом случае нахождение искомых поверхностей не представляет затруднений, так как >«, т, «> (1 = ~ Р г(х+ Я г(у + )с с(г, и„ж «,> 257 Э з1 УРАВНЕНИЯ ПФАФФА ностей (Г(х, у. г)=с. Г(х, у, д). Действительно, если ствовало, то левая часть ортогональных векторным линиям поля бы такое семейство (г'(х, у, г)=с суще- уравнения (5.21) могла бы отличаться от дУ д(Г г(х + — г(у + — г1я ду дз дсГ дх (1,(х, у, г)=0 и Ут(х, у, х) =О.
(5. 22) Для нахождения таких линий мо>нно одно из уравнений (5.22) задать произвольно, например У1(х, у, а) = О, (5.23) и, исключив из уравнения (5.2!) с помощью уравнения (5.23) одно из переменных, например з, получим дифференциальное уравнение вида М(х, у)ах+И(х, у)ггу= 0, интегрируя которое, найдем искомые линии на произвольно выбранной поверхности У,(х, у, г) =О. Покажем, что условие (Г ° го1Г)=0 является не только необходимым, но и достаточным для существования семейства поверхностей, ортогональных векторным линиям. Заметим, что па искомых поверхностях У(х, у, з)=с должно обращаться в тождество уравнение Рг(х+Оггу+)ссЫз =0 или, что то же самое, на этих поверхностях криволинейный инте- грал ~ Рг(х+(дг(у+ й г1я (5.24) лишь некоторым множителем 1г(х, у, г), который и был бы интегрирующим множителем уравнения (5,21).
итак, для существования семейства поверхностей сг(х, у, а) =с, ортогональных векторным линиям векторного поля Г, необходимо, чтобы векторы Г и го1Г были бы ортогональны, т. е. (Г го1Г)=— О. Замечание. Условие (Г го1Г)=0 называется. также условием интегрируемостн уравнения Пфаффа Р дх + Гд ду + )с г(х = 0 одним соотношением У(х, у, г)=с. Иногда требуется определить не поверхности, ортогональные векторным линиям поля Г, а линии, облалающие тем же свойством, другими словаки, надо проинтегрировать уравнение Пфаффа не одним, а двумя соотношениями: 258 уРАВнения В чАстных пРОизВОдных пеРВОГО НОРядкА (Гл. в должен быть равен нулю по любому пути (в том числе и по незамкнутым путям).
Рассмотрим всевозможные вихревые поверхности, т. е. векторные поверхности поля го1Г, Очевидно, что в силу теоремы Стокса ~ Гр(г= ~ ~ го1Г пс(о, где г(г =1дх+1 ау+ (с ~(г, и интеграл (5.24) по любому замкнутому пути на вихревой поверхности равен нулю (так как скалярное произведение единичного вектора нормали к поверхности п и вектора го1Г равно нулю). Выберем теперь среди вихревых поверхностей те, нз которых все интегралы ~ Г г(г = ~ Р Й х + ьг гг у + Й 1Гя по незамкнутым путям также равны нулю, Для построения такой Рис, 5.2. поверхности, проходящей через за- данную точку М(хр, ур, яр), проведем через эту точку М какую-нибудь линию, ортогональную векторным линиям поля Г. Такие линии определяются уравнением (5.2!) гог(х+1',)г(у + ЙИг=О, к которому добавлено уравнение произвольной проходящей через точку М поверхности в=у(х, у) (чапае всего уравнение этой поверхности берут в виде я= у,(х) или а= г",(у) нли даже в виде я=а, где а — постоянная).
Подставляа а=Г'(х, у) в (5.21), получим обыкновенное уравнение вида М(х, у)г(х+ И(х, у)г(у=О, интегрируя которое и учитывая начальное условие у(хр)=у, получим искомую кривую Е проходящую через точку М(хр, ур, гр) и ортогональную векторным линиям (рис. 5.2). Если эта линия не является линией вихря, то, проводя через каждую точку линии 1 линию вихря, получим искомую поверхность 5, ортогональную векторным линиям поля Г, Действительно, взяв любую незамкнутую кривую 1.
на поверхности 5 (рнс. 5.2) и проведя через ее граничные точки вихревые линии до пересечения с кривой 1 в точках р, и ря получим замкнутый контур, состоящий из отрезка линии 1 между точками р, и ря, кривой 1. и двух вихревых линий, 259 УРАВНРНИЯ ПФАФФА а 3! Криволинейный интеграл ~ Рсух + (сс!у + Йг!г, ваятый по этому с заквснутому контуру С, равен нулю, так как контур лежит на вихревой поверхности, причем тот же интеграл, взятый на отрезке дуги 1, и по отрезкам вихревых линий равен нулю, так как дуга 1 н вихревые линии ортогональны векторным линиям поля Г (вихревые линии ортогональны векторным линиям поля Г в силу условия (Г ° го! Г) = 0).
Следовательно, интеграл / Рс)х + (,)с(у +Йс)г по про! извольно выбранному нами незамкнутому пути Е равен нулю, т. е. поверхность $ является интегральной поверхностью уравнения (б,2!), проходящей через заданную гочку М Этот метол доказательства достаточности условия (Г . го! Г) = О для сусцествовання семейства поверхностей, ортогональных векторным линиям поля Г, одноврел!енно указывает пугь, правда не кратчайший, для нахонсдения этих поверхностей. Пример « с!«+ (х — у) ду+гу аг О. Условие (Г го! Г) = О. где Г =- г!+(х — у)1+ у«к. не выполнено, следовательно.
рассматриваемое уравнение не интегрируется одним соотношением Пр и мер 2. (бх+ уг) ах + (хг — 2у) с!у + (ху+ 2«) с(г О. Так как го)Г~О, где Г-(Ох+у«))+(хг — 2у))+(«у+2«)М, го Г я!ад К где (г, у, г~ и ~ (Ох+у«)ах+( — 2у)ау+(ху+2)Л. (о, о, о В качестве пути интегрирования выбираем ломаную, звенья которой параллельны осям координат. Интегрируя, получаем () Зхх — ух+«а+ хуг, н следовательно, искомым интегралом яиляется Зхх — ух+ «'+«уг с.
Пример 3. угад+ 2хг а!у+хулл О, Г уг!+ 2««1+ хуй, го! à — «1+ гй. Условие иитегрнруемости (Г.го! Г)-0 выполнено. Находим иа какойиибудь поверхности. например на плоскости г 1, кривые, ортогональиые векторныи линиям. := ! уах+ххау О, хух а. Проводим через кривыс !сисис~ос г =. 1 «ух = а вихревые поееахиостж длв чего интегрируем систему гплвнсинв вихревых линий !х сх сг — — — г.-. сь сг.— с„.
— х О г 17» 26О уРАВнения В ЧАСтНых ПРОиЗВОдных пеРВОГО пОРядкА 1Гл, а Исключая х, у и г из уравнений а= 1, ху' —. а„у с,, ха=. са получаем с ся а. Следовательно, искомый интеграл исходного уравнения имеет я вид ху'а а. Замечание. Другой, обычно применяемый метод интегрирования уравнения Пфаффа Р(х, у, г)г)х+1)(х, у, г) Му+)с(х, у, г)да=О (5.21) заключается в том, что временно считают г (нли другую переменную) постоянной и интегрируют обыкновенное уравнение Р(х. у, г)г1х+Я(х, у, г)ду=О, (5.25) в котором г играет роль параметра.
Получив интеграл уравнения (5.25) У (х, у. г) = с(г), (5.26) в котором произвольная постоянная может быть функцией параметра г, подбирают зту функцию с(г) так, чтобы удовлетворялось уравнение (5.21). Дифференцируя (5.26), получим дУ дУ, 1дУ вЂ” г(х+ — г(у+ ~ — — с'(г)1 с(г = О. дх ду Коэффициенты при дцфференциалах переменных в уравнениях (5.2!) и (5.27) должны быть пропорциональными дУ дУ дУ вЂ” — — — с' (г) дх ду ог Р дУ дУ вЂ” — — с' (а) дх дг Из уравнения — = Р Н можно определить с'(г), так как можно доказать, что при выполнении условия (Р го1 Р) = О зто уравнение содержит лишь г, с'(г) и У(х, у, г) =с(г).
ф 4. Нелинейные уравнения первого порядка Рассмотрим сначала случай, когда искомая функция зависит от двух независимых переменных. Уравнения в частных производных первого порядка с тремя переменными имеют вид Р(х, у, г. р, с)=О, (5.28) где дг дг )г= г)= дх ' ду Дифференциальное уравнение (5.28) в каждой точке (х, у. г) той области, в которой изменяются первые три аргумента, устанавливает $41 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 261 аависимость гр(р, д)=0 между числами р и д, определяющими направление нормали )ч(р, д, — 1) к искомым интегральным поверхностям л = л(х, у) уравнения (5.28). Таким образом, направление нормали к искомым интегральным поверхностям в некоторой точке (х, у, л) не определяется точно, а лишь выделяется однопараметрическае семействе ввзмвжных направлений нормалей — некоторый конус допустимых направлений нормалей Х (р, а, — 1), где р и д удовлетворяют уравнению ф(р, д) = 0 (рис, 5.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
