Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 46
Текст из файла (страница 46)
24. х= р4+1 при у=2, «=2х+1. 25. 2х= Рд — Зху при х= 5, х=15у. 26. 4л = Рт+ ф орн х = О, л = у'. введение Моменты инерции, статические моменты, координзты центрз тяжести некоторой однородной кривой илн поверхности также являются функционалами, так как их значения определяются выбором кривой или поверхности, т. е. выбором функций, входящих в уравнение эгой кривой или поверхности. Во всех этих примерах мы имеем характерную для функционалов зависимость; функции (или вектор-функции) соответствует число, в то время как прн задании функции в = 7'(х)числу соответствовало шсло.
Вариииионнов исчисление изучает метошн позволяющие находить максимальные и минимальные значения функционалов. Задачи, в которых требуется исследовзть у функционал на максимум или минимум, называются вариакионныли задавали. Многие законы механики и физики сводятся к утверждению, что некоторый функционал в рассматриваемом процессе должен достигать минимума или максимума. В такой формулировке эти законы носят название вариапионных приниипов люханики или физики.
К числу таких вариационных принципов или простейших следствий из них прннадлежзт: принцип наименьшего Рис. Б действия, закон сохранения энергии, закон сохранения импульса, закон сохранения количества движения, закон сохранения момента количества движения, различные варнацнонные принципы классической и релятивистской теории поля, принцип ферма в оптике, принцип [(астилиано в теории упругости и т. д.
Варнационное исчисление начало развиваться с !696 года и офориилось в самостоятельную математическую дисциплину с собственными методами исследования после фундаментальных работ действительного члена Петербургской Академии наук Л. Эйлера (1707 †17 г.), которого с полным основанием можно считать создателем вариационного исчисления. Бал~шов влияние на развитие вариационного исчисления оказали следующие три задачи: 3 а д а ч а о б р а х и с т о х р о н е. В 1696 году Иоганн Бернулли опубликовал письмо, в котором предлагал вниманию мателватиков задачу о линии быстрейшего ската — брахисгпохроне.
В этой задаче требуется определить линию, соединяющую две заданные точки А и В, не лежащие на одной вертикальной прямой, и обладающую тем свойством, что материальная точка скатится по этой линии из точки А в точку В в кратчайшее время (рис. Б). 282 вввданив Легко видеть. что линией быстрейшего ската не будет прямая, соединяющая точки А я В, хотя она и является кратчайшим расстоянием между точками А и В, так как при движении по прямой скорость движения будет нарастать сравнительно медленно; если же мы возьмем кривую, более круто спускающуюся около точки А вниз, то хотя путь и удлинится, но значительная часть пути будет пройдена с большей скоростью.
Решение задачи о брахистохроне было дано И. Бернулли, Я. Бернулли, 1. Лейбницем, И. Ньютоном и Г. Лопиталем. Оказалось, что линией быстрейшего ската является циклоида (см. стр. 304 — 305). 3 а д а ч а о г е о д е з и ч е с к и х л и н и я х. Требуется определить линию наименьшей длины, соединяющую две заданные точки иа некоторой поверхности е(х, у, г) = О (рис. В). Такие кратчайшие линии называются геодезическими. Мы имеем типичную вариационную задачу иа так называемый связанный или условный зистремум.
Необходимо найти минимум функционала с= ~ у'1+у'з+з"с(х, причем функции у(х) и з(х) Рис. В. должны быть подчинены ус- ловию ф(х, у, г) =О. Эта задача была решена в 1698 году Я. Бернулли, но общий метод решения задач такого типа был дан лишь з работах Л.
Эйлера н Ж. Лагранжа. Из о нериметр иче ск а я задача. Требуется найти замкнутую линию заданной длины 1, ограничивающую максимальную площадь В. Такой линией, как было известно еще в древней Греции, является окружность. В атой задаче требуется определить зкстремум функционала 5 при наличии своеобразного дополнительного условия — длина кривой должна быть постоянна, т. е. функционал ~=~Уха'+у(с)з и сохраняет постоянное значение.
Условия такого типа называются ивопернметрнческими. Общие методы решения задач с изопериметрическими условиями были разработаны Л, Эйлером. ВВЕДЕНИЕ Ниже излагаются методы решения различных вариационных задач. причем в основном исследуются на экстремум следующие часто встре- чающиеся в приложениях функцноналы: к, ~ Р(х.
у(х), у'(х))а'х, к, т, ~ Г(х, у(х), у'(х), ..., усо(х))Фх, о ) Р(х, у|(х), ..., у,. (х), у((х)...., у,(х)) дх. 4 ~; (, у),— ", — '~~,~~. о в которых функции Г заданы, а функции у (х), у, (х) ... у„(г), х (х, у) являются аргументами функционалов. ГЛАВА б МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ ф 1. Вариация н ее свойства Методы решения варнационных задач, т. е. залач на исследование функционалов на максимум и минимум, весьма сходны с методамн исследования на максимум и минимум функций. Поэтому целесообразно напомнить кратко теорию максимума и минимума функций и параллельно ввести аналогичные понятия и доказать сходные теоремы для функционалов.
2. Приращением или вариацией Ьу аргумента у(х) функционала о ]у (х)) называется разность между двумя функциями Ьу = = у(х) — у,(х). При этом предпо- 2. Приращением Ах аргумента х функции у(х) называется разность между двумя значениями этой переменной Ах = х — х,. Если х — неаависимое перемен- 1. Переменная величина е называется функцией переменной величины х, что обозначается так: а = у (х), если каждому значению х из некоторой области изменения х соответствует значение я, т. е. имеет место соответствие: числу х соответствует число я. Аналогично определяются и функции нескольких переменных.
1. Переменная величина о называется функционалом, зависяшим от функции у(х), что обозначается так: о=о]у(х)], если каждой функции у(х) из некоторого класса функций у (х) соответствует значение о, т. е. имеет место соответствие: функции у (х) соответствует число о. Аналогично определяются и функционалы, зависяшие от нескольких функций, и функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных. ан ВАРИАЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА лагается, что у (х) меняется произвольно в некотором классе функций.
3. Функционал о[у(х)] называется непрерывным, если малому изменению у (х) соответствует малое изменение функционала о ]у (х)]. иое, то дифференциал х совпа- дает с приращением лгх=бх. 3. Функция г'(х) называется непрерывной, если малому изменению х соответствует малое изменение функции Г'(х). Последнее определение нуждается в уточнении н разъяснении, так как сейчас же Возникает вопрос, какие изменения функции у(х), являющейся аргументом функционала, называются малыми или, что то же самое, какие кривые у = у(х) и у = у,(х) считаются мало отличающэмися или близкими. Можно считать близкими функции у(х) и у,(х) в том случае, если модуль их рааносгн у(х) — у,(х) мал для всех значений х.
лля которых задаются функции у(х) н у, (х), т. е. считать близкими кривые, близкие по ордннатам. Олнако при таком опрелелении близости кривых часто встречающиеся в приложениях функционалы вида о]у(х)]= ~ с" (х.у, у')Нх к, у (х) — у, (х), у' (х) — у, '(х), у" (х) — у,"(х)..... у!А>(х) — у!!ю(х). В связи с этим приходится ввести следующие определения близости кривых у = у (х) и у = у, (х).
Кривые у=у(х) и у=у,(х) близки в смысле близости пулевого порядка, если модуль разности у(х) — у,(х) мал. нз-за наличия в подынтегральной функции аргумента у' лишь в исключительных случаях будут непрерывными. Поэтому во многих случаях более естественно считать близкими только те кривые, которые близки по ординатам и по направлениям касательных в соответствующих точках, т. е. требовать, чтобы для близких кривых не только модуль разности у(х) — у,(х) был бы мал, но, кроме того.
был бы мал и молуль разности у'(х) — у',(х). Иногда же оказывается необходимым считать близкими только те функции, лля которых малы модули каждой иа разностей: 266 метод ВАРиАции В ВАЛАчАх В неподВижными ГРАницАмн )гл. ь Кривые у=у(х) и у=у,(х) близки в смысле близости первого порядка, если модули разностей у (х) — у, (х) и у'(х) — у,'(х) милы. Кривые у=у(х) и у=у,(х) близки в смысле близости й-го порядка, если модули разностей у(х) — у, (х), у' (х) — у,' (х). у'» (х) — у',»'(х) ма гы.
На рис. 6.1 иаображены кривые, близкие в смысле близости нулевого порядка, но не близкие в смысле близости первого порядка, Рис. 6,2. Рис. 6.1. так как ордннаты у ник близки, а направления касательных не близки. На рис. 6.2 изображены кривые, близкие в смысле близости первого порядка.
Из зтих определений следует, что если кривые близки в смысле близости )г-го порядка, то они тем более близки в смысле близости любого меньшего порядка. Теперь мы можем уточнить понятие непрерывности функпионала. 3'. Функпия у (х) непрерывна при х = х„, если для любого положительного в можно поло- брать Ь) 0 такое, что (у'(х)— — /(хв)~ к,,е при !х — хь) к,б.
3'. Функ пионал о (у (х)] непрерывен при ' у = уь(х) в смысле близости к-го порядка, если для любого положительного е можно подобрать 6 > 0 такое, что ! о(у(х)) — о(ур(х)1 ! (в ВАРИАЦИЯ И ВВ СВОИСТВА 287 При этом подразумевается, чзо при х принимает значения, в которых ! у (х) — уа (х) ~ ч. б, функция Е(х) определена.
]у (х) — уо(х)~ ( б ( у'" ' (х? — у',,"" (х) ) ч., Ь. Можно было бы определить понятие расстояния р(у,, ут) между кривыми у = у,(х) и у = у,(х) (хв ( х:.'х,?, н тогла бливкими кривыми считать кривые, расстояние межлу которыми мало. Если считать р(у,, у)= щах ]у,(х) — у2(х)?, хо схжх т. е. ввести метрику пространства Са (см. стр. 50?, то мы приходим к понятию близости нулевого порядка. Если считать Р(У~ У2)= ~„щах ! У]ю(х? — У~те](х)] 1х,<х х, (предполагается, что у, и у, имеют непрерывные производные до порялка й включительно), то близость кривых понимается в смысле близости й-го порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
